Integración de funciones trigonométricas

Transcripción

1 Integración de funciones trigonométricas Por Iván Cruz En ocasiones es necesario integrar diferenciales trigonométricas, para ello, podemos hacer uso de las identidades trigonométricas fundamentales con el objetivo de poder reducirlas y con ello buscar resolverlas por medio de integrales inmediatas. A continuación, se presenta para conocimiento general la tabla de identidades trigonométricas más comunes. Identidades trigonométricas Tabla 1. Identidades trigonométricas fundamentales (Leithold, 1998, p. 1261). 1

2 Ahora, vamos a ver ejemplos de cómo resolver integrales de diferenciales trigonométricas, para lo cual se nos presenta la siguiente, de la forma: Para resolver este tipo de integrales existen tres tipos de casos como los que a continuación se presentan: a) Cuando es impar se aplica la siguiente estrategia: b) Cuando es impar se aplica la siguiente estrategia: Con lo cual el exponente de seno ya es par. c) Cuando y son ambos pares: Integral de la forma: Integral de la forma: 2

3 Integral de la forma: Integral de la forma: Después de analizar las posibles variantes de estas integrales, resolverás algunos ejemplos. Ejemplo 1 Primer paso, separa un poco el término y obtendrás: Ahora, puedes tomar el término, y por identidades trigonométricas, obtener un término de más utilidad que logre disminuir su grado de complejidad, tal como: Y con ello, la integral queda hasta el momento de la forma: 3

4 En este momento puedes usar una estrategia llamada cambio de variable, la cual permite sustituir un término en una variable para un mejor manejo durante el proceso, y al final regresar a la forma original para mostrar el resultado. Para aplicar el cambio de variable, necesitas identificar una función de la integral, que permita sustituir lo más posible cada uno de los términos de la integral, en este caso lo más conveniente es utilizar, ahora tienes que sustituir en las variables y. Para obtener, es necesario sustituir, en la segunda función de la integral, en este caso corresponde a, por lo tanto, sustituyendo obtienes. El siguiente paso para la obtención de, es derivar el nuevo término y ese será el valor de, con lo que tienes: El siguiente paso consiste en sustituir las variables y en la integral, para finalmente integrar, volver a sustituir y resolver como se muestra a continuación: Ejemplo 2 Ahora, utilizando las identidades trigonométricas: 4

5 Desarrollando la expresión, la integral quedaría de la forma: Realizando un cambio de variable, puedes definir: Finalmente sustituyes, integras y sustituyes para obtener el resultado. Ejemplo 3 Aplicas un cambio de variable: 5

6 Ejemplo 4 Ejemplo 5 En este caso, tienes una integral que es resultado del producto de un seno y un coseno con diferente argumento. Para estos casos puedes recurrir nuevamente a las identidades trigonométricas y utilizar las identidades de productos específicamente en la siguiente identidad: Ahora tienes que utilizar la identidad anterior, para resolver la integral del ejemplo: Finalmente integras: 6

7 Ejemplo 6 En este caso, tienes una integral que es resultado del producto de dos senos con diferente argumento. Para estos casos puedes recurrir a la siguiente identidad de productos trigonométricos: Y con esta identidad, procedes a resolver la integral como sigue: Finalmente integras para obtener el resultado: A través de esta lectura, se analizó el proceso de cómo utilizar las identidades trigonométricas para resolver integrales, que involucran el uso de senos, cosenos, tangentes, etc., las cuales pueden estar elevadas a una potencia n, siendo este el caso, se realizaron ciertas factorizaciones para disminuir el orden de las funciones trigonométricas, y posteriormente, utilizar las identidades, además de usar una estrategia de cambio de variable para facilitar el manejo de los términos y resolver de manera un poco más rápida y sencilla las integrales en cuestión. Toda esta destreza matemática es indispensable en la formación de un Ingeniero, debido a la fuerte relación existente entre él y la resolución de problemas en situaciones reales de cualquier ámbito. 7

8 Referencias Leithold, L. (1998). El Cálculo (7ª. ed.). México: Oxford University Press. Bibliografía Santiago, R.D. y Zúñiga, L. (2000). Cálculo Integral para Ingeniería, México: Pearson Educación. Recuperado de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital UVEG. 8