Cálculo integral de funciones de una variable: problemas propuestos

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1 Cálculo integral de funciones de una variable: problemas propuestos BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna Índice 4. Problemas propuestos Integración indefinida Integración definida Aplicaciones de la integral definida MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13

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3 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: PROBLEMAS PROPUESTOS 1/4 4. Problemas propuestos 4.1. Integración indefinida 1. Calcular las siguientes integrales indefinidas. A. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE x 3 x 3 + ; b) x 4 x 3 + ; e) xcosx senx ; c) e 3cosx senx; f) 8x (x 3 + ) 3 ;. (x + 1) (x3 + ) 4/3 ; b) 1 ln senx ; c) 4 3(x 3 + ) ; 4 9 (x3 + ) 3/4 ; e) 1 6 e3cosx ; f) 3(x + 1) 1/3. B. INTEGRACIÓN POR PARTES x 1 x; b) sen(ln x) ; e) xcosx; c) x 3 senx; e 3x x senx; f) ln(x + ) (1 x)7/ 8 15 x(1 x)5/ 3 x (1 x) 3/ ; b) xsenx + cosx; c) x 3 cosx + 6xcosx + 3x senx 6senx; x [sen(lnx) cos(lnx)]; e) e3x 5 [(75x 4x + 9)sinx (5x 3x + 13)cosx]; f) xln(x + ) x + arctg x. C. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES x 4 ; b) x 4 x 3 x 1 x 3 x ; e) x 3 + x + 13x + 6 ; f) x x 4 g) (x + 1)x 3 ; h) + 8x 3 x + x + 1 (x + x)(x 3 ; i) + 1) 1 4 ln x x + ; b) 1 6 ln x x + 1 x x 3 + x 6x ; c) 3x 1 x 3 + x x ; x x 4x + 4 ; senx cosx(1 + cos x). ln x 15 ln x + 3 ; c) 1 ln x ln x ln x + ; x 1 + ln x ln x 1 ; f) ln x x x ; g) 3ln x + 1 x 3 ln(x + 1); h) ln x ln x x ln x x arctg x 1 ; i) ln(1 + cos x) ln cosx. D. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13

4 /4 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA sen 3 x; b) cos3 x 3 sen x 1 + cos x ; e) cosx; b) cos 3 x sen 4 x ; c) tg 4 x sec 4 x; f) 1 senx 1 3sen 3 x ctg 5 x; 4 5senx. 1 ; c) ln senx + sen x 1 4sen 4 x ; tg x 1. arctg tgx x; e) 1 5 tg5 x tg7 x; f) 1 3 ln tg x E. MISCELÁNEA x x 4 ; b) x arctgx 1 + x ; e) xlnx ; c) cosxln(senx); x x + x + 1 x 3 + 5x + 8x + 4 ; f). x (1 x)3/ ; b) ln lnx ; c) [ln(senx) 1]senx; xarctgx 1 ln(1 + x ) 1 arctg x; e) 4 x + + ln x + 1 ; f) 3 (x + 1)3/ + x x Integración definida. Calcular: g) xe x 1 ; b) x 3 ; e) x (x 4x); h) π/4 π/ tgx; c) ( x + 3 x); f) 4x x ; i) / 3 π/3 π/6 1 x ; 5 + 3x ; ctgx. ( 1 1 ) ; b) ; c) π e 4 ; π 1 ; e) 16 3 ; f) ( ) 34 5 ; g) 9; h) π 3 3 ; i) ln Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = 1 x y la parábola y = 1 + x. π Calcular el área limitada por la curva y = x 3 6x + 8x y el eje OX Calcular el área limitada por la curva x = y + 4y y el eje OY. OCW-ULL 13 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

5 CÁLCULO INTEGRAL DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE: PROBLEMAS PROPUESTOS 3/ Calcular el área comprendida entre las curvas y = senx e y = 4cosx en el intervalo [,π] Calcular el área limitada por los siguientes pares de curvas: y = x, y = x; b) y = x 4 x, y = 3 3x ; c) x + y =, y = x + 1; y = x + x 3, y = x x ; e) y = 6x x, y = x x; f) y = x 3, y = ; b) 15 ; c) π 1 15 ; 3 4 ; e) 64 3 ; f) Aplicaciones de la integral definida 8. La función T (t) = 47+3t.5t aproxima la temperatura t horas después del mediodía en un día típico de agosto en Madrid. Encontrar la temperatura media entre el mediodía y las 6 de la tarde. Aproximar el resultado por medio de las reglas trapezoidal y b) de Simpson, con 4 intervalos. T = 5; T 49.81; b) T Una empresa farmacéutica determina que el ingreso obtenido por la venta de x unidades de un producto está dado por R(x) = 5 + 4x + 3x. Calcular el ingreso medio para las ventas desde x = 1 a x = 5. Comparar el resultado con la media R(n). n=1 R = 93; n=1 R(n) = La velocidad de la sangre, en centímetros por segundo, en una pequeña arteria está dada por V (r) = P 4ωl (R r ) ( r R), donde P es la presión sanguínea, ω es la viscosidad de la sangre, l es la longitud de de la arteria, R es el radio de la arteria y r es la distancia al centro de la arteria del punto donde medimos la velocidad. Encontrar el valor medio de V (r) en el intervalo [,R]. V = PR 6wl cm/s. 11. Deteminar la respuesta cardiaca de un corazón durante 4 segundos, si se emplean 5 miligramos de tinte y la concentración en la aorta con respecto al tiempo es, si t < c(t) = 1 4 (t 6t + 48), si t 4, MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA OCW-ULL 13

6 4/4 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA donde c(t) se mide en miligramos por litro. Aproximar el resultado por medio de las reglas trapezoidal y b) de Simpson, con 4 intervalos. R.11 L/s; R.1 L/s; b) R.11 L/s. 1. Evaluar la concentración media del problema anterior en el intervalo [,4]. c 1.85 mg/l. 13. Determinar la respuesta cardiaca de un corazón durante 3 segundos, si se emplean 5 mg de tinte y la función concentración es c(t) = donde c(t) se mide en miligramos por litro. R.1 L/s. 4 t, si t < t + 4, si 15 t 3, Evaluar la concentración media del problema anterior en el intervalo [,3]. c 1.43 mg/l. 15. Se inyectan 5 mg de tinta en la arteria pulmonar de un paciente. Determinar la respuesta cardiaca durante un periodo de 3 segundos, si para determinar la concentración de tinta se han tomado las siguientes mediciones: t c(t) R.11 L/s. OCW-ULL 13 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA