Ejercicios de Integración

Transcripción

1 [] [] [] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [] [] Ejercicios de Integración T a b del integrales a inmediatas f (x) [ [f(x)] n+ f(x) ]n si n dx= n+ ln[f(x)] si n = f (x)e f(x) dx= e f(x) f (x)a f(x) dx= af(x) lna f (x)sen(f(x))dx= cos(f(x)) f (x)cos(f(x))dx= sen(f(x)) f (x) cos (f(x)) dx= f (x) sen (f(x)) dx= f (x) dx= arctg[f(x)] +[f(x)] f (x) dx= arcsen[f(x)] [f(x)] f (x) [ +tg (f(x)) ] dx= tg(f(x)) f (x) [ +ctg (f(x)) ] dx= ctg(f(x)) f (x) +[f(x)] dx= ln( f(x)+ +[f(x)] ) f (x) [f(x)] dx= ln( f(x)+ [f(x)] ) Inmediatas [] [] [5] [7] [9] ( ) x dx= x+ x x+c [] dx= x+lnx+c x dx= 5 x 5+C [4] x dx= 5x7/5 +C x 5 7 dx= (x+)/ +C [6] x+ (x ) dx= (x ) +C cos(x )dx= sen(x )+C [8] e x e x + dx= ln(ex +)+C [] x+ dx= x+ ln +C dx= ln( x)+c x

2 Centro de Estudios Formativos - [] [] [5] [7] [9] [] [] [5] [7] [9] [] [] [5] [7] (+tg x)dx= x+tgx+c [] dx= ln(lnx)+c xlnx x ctgxdx= ln(senx)+c [4] +x dx= 4 arctg(x )+C sen xcosxdx= x 4 sen4 x+c [6] dx= +x +C +x cosx lnx (lnx) dx= arctg(senx)+c [8] dx= +C +sen x x (lnx) dx= (lnx)4 x +C [] x 4 dx= x 6 arcsen(x )+C 4 x dx= 4 ln(x )+C [] tgxdx= ln(cosx)+c senxcosxdx= sen x+c [4] 5 x dx= 5 x ln +C xe x dx= ex +C [6] sen xdx= x senx +C 4 cos xdx= x + senx ( x ) +C [8] 4 cosx dx= ctg +C cosx ( x ) cosx dx= ctg x+c [] (tg senx dx= ln x ) +C x dx= x +C [] x x x 4 dx= arcsen(x )+C [4] (+tg x )x dx= tgx +C [6] sen 4 xcosxdx= 5 sen5 x+c [8] x+ (x +x) dx= 4 6x (x+) +C x(+x) dx= arctg( x)+c +tgx (+tgx) dx= +C cos x sen x dx= cos x+c x [9] [4] [4] [4] [4] [44] x +x dx= ln(+x ) arctgx+c x x 6x+5 dx= 6 ln(x 6x+5)+C dx= arcsen( x)+c x x + x +x+ dx= x +x++c senx cosx dx= ln(senx+cosx)+c senx+cosx x +x x 4 +x + dx= ln(x4 +x +)+C

3 Ejercicios de Integración Integración por partes [45] [46] [47] [48] [49] [5] [5] [5] [5] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [6] x senxdx = senx xcosx+c xe x dx = (x )e x +C arcsenxdx = x arcsenx+ x +C lnxdx = x(lnx )+C x senxdx = ( x )cosx+xsenx+c arctgxdx = x arctgx ln(+x )+C xlnxdx = x 4 (lnx )+C x m+ x m lnxdx = (m+) [(m+)lnx ], si m ln +C x, si m = arctgx dx = arctgx ( ) x x x ln + +C x (x )e x dx = (x )e x +C x arctgxdx = (x +) arctgx x +C sen(lnx)dx = x (sen(lnx) cos(lnx))+c x m (lnx) dx = xm+ [ (m+) (lnx) (m+)lnx+ ] +C (m+) x arctgx x dx = (x +) (x +) +C e ax senbxdx = eax a +b(a senbx bcosbx)+c e ax cosbxdx = eax a +b (acosbx+bsenbx)+c Racionales [6] [6] [6] x +x+ dx = x x+ +ln(x+)+c x+5 dx = x+6ln(x )+C x x x dx = x + ln(x +) +C

4 4 Centro de Estudios Formativos - [64] [65] [66] [67] [68] [69] [7] [7] [7] [7] [74] [75] [76] x x+ dx= x x +x+7ln(x )+C x dx= ( ) x ln +C x+ x +x+ dx= ln(x+)+ln(x ) lnx+c x x x+5 ln(x+) dx= ln(x ) x x+ x +C x+5 ln(x+) dx= ln(x ) 4 x x x+ x +C x +4 (x ) dx= ln(x ) 4 (x ) 4 x +C x +x dx= lnx ln(+x )+C x +x +x+ x 4 +x + dx= arctgx+ ln(x +)+C x 4 dx= ( ) x 4 ln x+ arctgx+c x + x ln(x ) dx= +5x x 5x+4 x x+ dx= lnx arctgx+c x +x x 4 x x dx= 5 x x x ln(x+) 8 x x +x x x+ + 65ln(x 4) +C ln(x )+lnx+ x x+c dx= ln(x )+ln(x )+ x +x+c Cambio de variable x 77) dx { +x = t } = (x ) x + +C +x a 78) x dx {x = acost} = a arcsen x a + x a x +C 79) + x+ dx { } x+ = t = x+ ln(+ x+)+c 8) +e dx x {ex = t} = x ln(+e x )+C e x 8) (e x +4) dx {ex = t} = 4+e +C x { 8) dx } x = t 6 = 6 x( x 6 x+6) 6ln(+ x)+c x+ x

5 Ejercicios de Integración 5 e x + 8) e dx x {ex = t} = x ln(e x )+C x { 84) dx } x = t = x (5x +6x +8x+6) +C x 5 85) sec xdx {senx = t} = ( ) +senx ln + senx cosx cos x +C 86) {x x dx = } t = ln(x+ x )+C Miscelánea [87] [88] [89] [9] [9] [9] [9] [94] x+ x +x dx = lnx ln(x +)+arctgx+c x dx = xtgx+lncosx+c cos x 4+9x dx = arctg x e x dx = e x +C ( ) x +C 5x +x dx = 5 x ++C 5xcos(x +)dx = 5 sen(x +)+C x+ dx = ln(x ) (x ) x +C x+ ( x ) dx = arcsen 9 x 9 x +C Problemas. Empleando el cambio de variable t = tg(x), calcular: dx cos x+cos(x)sen(x) Solución: ln + tg(x). Calcular la integral senx cos x dx realizando el cambio de variable t = cosx. a) Calcula la misma integral que en el apartado anterior pero haciendo el cambio de variable u = tgx.

6 6 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com b) >Se obtiene el mismo resultado en ambos casos?. Justificar la respuesta. Solución: cos x, tg x.. Explicar en qué consiste el método de integración porpartes. Calcular x lnxdx Solución: x lnx x 9 4. Calcular Solución: 6ln(e x/ +) + e x dx 5. Calcular sen xdx Solución: cosx+ cos x 6. Hallar la función F(x) tal que F() = y que sea primitiva de la función Solución: F(x) = ln(e x +)+ ln f(x) = ex e x + 7. Determinar f(x) sabiendo que f (x) = 4x, f () =, f () = y f() =. Solución: f(x) = x 4 +x +x 8. Consideremos la función f : R R definida porf(x) = (+x)e x. a) Calcular f(x)dx. b) Hallar una primitiva de f cuya gráfica pase porel punto (,). Solución: f(x)dx= xe x +C; F(x) = xe x + 9. Determinar la función f : R R sabiendo que su segunda derivada es constante e igual a y que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = es 5x y =. Solución: f(x) = x +4x. Hallar una primitiva de la función f(x) = x senx cuya gráfica pase porel origen de coordenadas. Solución: f(x) = x cosx+4xsenx+4cosx 4. Selectividad Junio. Siendo lnx el logaritmo neperiano de x, consideramos la función f : ],+ [ R definida porf(x) = xlnx. Calcular: a) f(x)dx.

7 Ejercicios de Integración 7 b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (,). Solución: f(x)dx = x x (lnx )+C, F(x) = 4 4 (lnx )+ 4.. Selectividad Junio. De la función f : R R se sabe que f (x) = x +x+ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(,). Hallar la expresión de f. Solución: f(x) = x4 + x +x x Selectividad Junio. Sea ln( x ) el logaritmo neperiano de x y sea f : ],[ R la función definida por f(x) = ln( x ). Calcular la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). Solución: F(x) = xln( x ) x ln ( x x+) + 4. Selectividad Septiembre. Sea f : ], + [ R la función definida por f(x) = (x )ln(x) donde ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcular la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, /). Solución: F(x) = x lnx x 4xlnx+4x Selectividad Junio 4. De la función f : ],+ [ R se sabe que f (x) = y que f() =. (x+) Determinar f. Hallar la primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (,). Solución: f(x) = x, F(x) = x ln(x+)+ x+ 6. Selectividad septiembre 5. De una función f : [, 5] R se sabe que f() = 6 y que su función derivada está dada por: 5x, si < x < f (x) = x 6x+8, si x < 5 a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcular sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). ] [ ] Solución: y = 9 x; f crece en 5, ]4,5[ y decrece en, [ ], 4[. Los puntos ( 5 5, ) (, 4, 6 ) ( son mínimos locales y, ) es un máximo local.

8 8 Centro de Estudios Formativos Selectividad septiembre 6. Calcular: 5x x 6 dx, x 5 (x )tg(x x)dx siendo tg la función tangente. Solución: 5x 4ln x 5 +ln x+5 +C; ln cos(x x) +C. 8. Selectividad septiembre 6. Hallar la función f : R R sabiendo que f (x) = x 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = tiene de ecuación 4x y 7 =. Solución: f(x) = x x 8x+ 9. Selectividad junio 7. Dada la función f : R R definida por f(x) = ln(+x ) Hallar la primitiva de f cuya gráfica pasa porel origen de coordenadas. (ln denota la función logaritmo neperiano). Solución: F(x) = xln(+x ) x+arctgx. Selectividad septiembre 7. Determinar una función f : R R sabiendo que su derivada viene dada porf (x) = x + x 6 y que el valor que alcanza f en su punto máximo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto mínimo (relativo). Solución: f(x) = x + x 7 6x+ 4. Selectividad septiembre 9. Sea f la función definida por: f(x) = x 4 9x 4 Hallar la primitiva F de f que cumple F() =. Sugerencia: utilizar el cambio de variable t = x. Solución: F(x) = + ( ) x 6 arcsen. Selectividad septiembre. Sea I = 5 + e x dx a) Expresar I haciendo el cambio de variable t = e x. b) Determinar I. Solución: I = ln ( ) t, I = ln ( +e x/) +C. t+

9 Ejercicios de Integración 9 Integración Definida Resumen teórico Área debajo de una curva Sea f : [a,b] R una función positiva e integrable es [a,b]. El área de la region R { a x b y f(x) es el número µ(r) = b a f(x) dx, (ver siguiente figura) () y = f(x) R a b Área de la región comprendida entre dos curvas Sean f, g : [a, b] R funciones integrables en [a, b]. Supongamos además que x [a,b] es g(x) f(x) () es decir, la función f domina a g en todo [a,b]. En estas condiciones, el área de la región R { a x b g(x) y f(x) () es el número µ(r) = b a [ f(x) g(x) ] dx, (ver siguiente figura) (4)

10 Centro de Estudios Formativos - y = f(x) R a y = g(x) b bservemos que () es un caso particular de (4), tomando g =. P a r a poderaplicar (4) no es necesario que las funciones f y g sean positivas, basta con que se cumpla la condición (). Debe resultar evidente que los segmentos verticales x = a y x = b de separación entre las dos funciones pueden degenerar en un punto. Si la región R de la cual nos piden el área no es del tipo (), entonces hemos de dividir el intervalo [a,b] en varios, de forma que en cada uno de ellos se cumpla f(x) g(x) ó g(x) f(x) y así poderaplicar (4). En concreto, sea P = {a = x < x < x <... < x n < x n = b} una partición de [a,b], de forma tal que en cada subintervalo: x [x i,x i ] = f(x) g(x) ó g(x) f(x), i =,,...,n entonces µ(r) = x a f(x) g(x) dx+ x b f(x) g(x) dx+ + f(x) g(x) dx x x n o lo que es lo mismo µ(r) = b a f(x) g(x) dx Área respecto al eje Y Cambiando los papeles de las variables x e y, el área de la región { c y d R g(y) x f(y)

11 Ejercicios de Integración es el número µ(r) = d c [ f(y) g(y) ] dy, (ver siguiente figura) (5) d R x = f(y) c x = g(y) Problemas Nota: Los problemas marcados con un asterisco ( ), significan que parte de la solución, generalmente un gráfico, está en las páginas finales.. Calcular las siguientes integrales: Solución: [] [4] [7] π π π π senxdx [] xsen(x )dx [5] xcosxdx [8] π π π 6 (x +senx)dx [] senx cos(x)dx [6] senxcosx dx [] [] [] ln( ) 8 [4] [5] [6] [7] π [8] ln x x dx xe x dx. Calcular, integrando por partes: x e x dx y si definimos: demostrar que lím x I(x) = Solución: (x +x+)e x +C. ( )Se considera la función: I(x) = x t e t dt f(x) = x 4x+

12 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com a) Representarla gráficamente. b) Calcular las derivadas laterales en el punto x = c) Calcular el área limitada porla gráfica de f y el eje X. Solución: f ( ) =, f ( + ) =, ( )Hallar la ecuación de la tangente a la curva y = x + 4x, paralela a la cuerda que une los puntos de abscisas y. Calcular el área del recinto limitado porla gráfica de la función y la cuerda citada. Solución: y = x+, 4 5. ( )Calcular el área finita, comprendida entre la recta y = y las curvas y = x e y = 8 x. Solución: 6ln 4 6. Representar la función: Calcular f(x)dx?. Razonar la respuesta. Solución: ln ( ). No. f(x) = x 5x+6 f(x)dx. Es aplicable la regla de Barrow para calcular 7. ( )Calcular el área encerrada porla gráfica de y = 4+x el eje de abscisas y las rectas x = y x = Solución: π ( )Representar gráficamente la parte del plano comprendida entre la curva y = ln(x+5) y las rectas y =, x = 9, x =. Calcular el valor de dicha área. Solución: 6ln6 ln 9 9. ( )Hallar el área encerrada porla curva y = lnx entre el punto de corte con el eje Xy el punto de abscisa x = e. Solución:. ( )Determinar el área encerrada entre las gráficas de las funciones: Solución: 64 y = 6x x ; y = x x

13 Ejercicios de Integración. Calcular (x +)e x dx Solución: 7e 4. ( )Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = x x y la recta y = x. Solución: 9. Sean a = π x sen xdx ; b = Calcular a+b y a b y obtener los valores de a y b. Solución: a = π +4, b = π π xcos xdx 4. ( )Calcular el área encerrada por la curva y = x 4x y la recta y = x 5. Solución: 5. Determinar a y b para que la siguiente función sea continua: x +a, si x f(x) = ax+b, si < x x +, si x > Una vez calculados a,b, hallar el valor de la integral Solución: a =, b = ; f(x)dx 6. Representar la función: y calcular f(x)dx Solución: 6 ln 7. Se considera la función: f(x) = x + x f(x) = x (x ) a) Representar la gráfica de f en un entorno de x =. b) Determinar máximos y mínimos de f. c) Descomponer f en fracciones simples. d) Calcular f(x)dx Solución: ( ), 7 4 mínimo; f(x) = x++ x + (x ) ; f(x)dx = 5+ln8

14 4 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com 8. ( )Hallar el área comprendida entre la curva y = x 6x +8x y el eje X. Solución: 8 9. Descomponer la función: f(x) = x + x 5x+6 en fracciones simples, calcular una primitiva y hallar el área limitada porla curva, el eje de abscisas y las rectas x = 4, x = 6. Solución: Área = ln 7ln+. ( )Calcular el área del recinto limitado porla gráfica de la función: f(x) = el eje de las x y las rectas x =, x =. Solución: ln( ) x(x +). ( )Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola y = x y la recta y = x+. Solución: 9. ( )Hallar el área del recinto limitado porla parábola y x = y la recta que une los puntos (, ), (4, ). Solución: 4+. ( )Calcular las áreas de los recintos determinados porlas funciones en el primer cuadrante. Solución: 4, 9 6 f(x) = +x 5 ; g(x) = x 4. ( )Calcular el área limitada porlas parábolas y = x ; y = x Solución: 5. Hallar el área A(λ) limitada porlas gráficas de las funciones: f(x) = x ; g(x) = x entre los valores x = y x = λ >, y hallar el límite del área obtenida cuando λ +. Solución: A(λ) = λ+ λ ; l λ + A(λ) ı = m +

15 Ejercicios de Integración 5 6. ( )Determinar el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x) = x lnx, su tangente en el punto de abscisa e y el eje x. Solución: e Es aplicable el Teorema del valor medio del cálculo integral a la función: f(x) = x +x en el intervalo [,]?. En caso afirmativo, comprobarlo. Solución: Sí. c = 8. Se puede calcular la siguiente integral?: x, si x < f(x)dx siendo f(x) = x, si x Razónense las respuestas, y en caso afirmativo, calcular su valor. Solución: Sí. 9. Sea f(x) = cosx definida en [ π,π]. Es aplicable la fórmula del valor medio del cálculo integral?. En caso afirmativo, hallar el valor medio que aparece en la fórmula. ( ) Solución: Sí. c = arc cos π. ( )Hallar el área del recinto plano limitado por la parábola de ecuación y = 4x x y las rectas tangentes a dicha curva en sus puntos de intersección con el eje X. Solución: 6. ( )Calcular el área de la región del semiplano y limitado por la curva y = lnx, su tangente en x = y la recta x =. Solución: 4 ln. ( )Hallar el área limitada por las curvas: y = x ; y = x Solución: 6. Sea la función definida por:, si x < x+ f(x) =, si < x < x e x, si x >

16 6 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com a) Es posible definir f en para que sea derivable en ese punto?. b) Determinar las regiones de crecimiento y de decrecimiento def así como sus asíntotas y hacer un esbozo de su gráfica. c) P a r a t ],[, calcular g(t) = d) Calcular l ı m t g(t). t f(x)dx. Solución: No; g(t) = arcsent t + π ;. 4. Determinar una función continua f : R R y un punto a tales que: Solución: f(x) = 5x, a = 5. Si a ],[, la ecuación x a f(t)dt= 5x +4 f a (x) = a a x representa una parábola que pasa porlos puntos (,) y (a, a). Calcular el área S(a) de la región limitada porla gráfica de la parábola, el eje Xy las rectas x = y x = a. Para qué valor de a el área S(a) es máxima?. Solución: a) S(a) = (a a ), a =. 6. Sean las funciones f(x) = x e ax, g(x) = x. Calcular: a) [g(x) f(x)] dx b) Determinar los puntos en los que f(x) y g(x) tienen la misma pendiente. Solución: + e a + e a + e a ; x =. a a a a 7. De una función integrable f : [, ] R se sabe que para cada x en dicho intervalo se tiene f(x) +x De los nú m e r o s,,, 5 y 75, >cuáles pueden ser el valor de la integral Justificar la respuesta. Solución: el segundo, el tercero o el cuarto. f(x)dx?. 8. Las coordenadas (a,b) del centro de gravedad de una lámina de densidad uniforme que está limitada porla curva y = sen(t) y la porción del eje Xcomprendida entre x = y x = π, vienen dadas por a = π/ xsenxdx π/ senxdx y b = π/ sen xdx π/ senxdx

17 Ejercicios de Integración 7 a) Describir el método de integración por partes. b) Utilizar dicho método para calcular el centro de gravedad de la lámina. ( Solución:, π ) ( )Dibujar el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y hallar su área. Solución:. y = senx, y = cosx, x = y x = π 4. ( )Dibuja y calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = +x y las rectas de ecuaciones x = e y = x+. Solución: 7 π. 4. La figura siguiente representa la gráfica de una función f : [,7] R y x Sea F : [,7] R la función definida por F(x) = x f(t)dt a) Calcular F(x), F(4) y F(7). b) Dibujar la gráfica de F. x, si x 4 Solución: F(x) = x +5x 8, si 4 x 6; F(4) = 4, F(7) =. x, si 6 x 7 4. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada en m/s, por la siguiente gráfica: v 4 5 a) Calcular la función espacio recorrido. t b) Dibujar la gráfica de la función espacio recorrido.

18 8 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com c) Probar que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. t, si t Solución: e(t) = t, si t t +5t, si t 5 4. La función derivada de una función derivable f : R R viene dada porla gráfica de la siguiente figura. Ad e m á s, se sabe que f( )=9/ Y X Calcular f(x) y l x f(x) ı m x x +7, si x Solución: f(x) = x+ ; l x f(x) ı = 7 m., si x 44. ( )Dibujar y calcular el área del recinto limitado porlas gráficas de las funciones f,g : R R dadas por Solución: 7 f(x) = x g(x) = x x 45. Sea f : R R definida por: x, si x f(x) = xsenx, si x > Estudiar la derivabilidad de f y calcular π/ f(x)dx Solución: f es derivable en R {}; π/ f(x)dx= 46. ( )Dibujar y calcular el área del recinto limitado porla recta y + x = y la curva de ecuación y = x +4x+4. Solución: 9

19 Ejercicios de Integración ( )Sean las funciones f, g : R R definidas como f(x) = x +x+ g(x) = x x+ Representarlas gráficamente y hallar el área de la región del plano que está formada por los puntos (x, y) que cumplen f(x) y g(x). Solución: De las funciones continuas f, g : R R se sabe que ( ) f(x)+g(x) dx =, ( f(x) g(x) ) dx =, f(x)dx =, f(x)dx =, Calcular, si es posible g(x)dx y, si no es posible, decir por qué. Solución: Sí es posible y g(x)dx =. 49. La gráfica de la función f de la figura corresponde a una función polinómica de grado. 9 y = f(x) 6 Hallar la expresión algebraica de f y el área encerrada entre la recta y la curva. Solución: f(x) = (x 6) 4, Superficie = Haciendo el cambio de variable t = e x, calcular Solución: ln [ ] (e+) (e+) e x e x +e x + dx 5. ( )Dibujar el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas y = x +, y = x e y = x y hallar su área. Solución: ln+ 5 6

20 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com 5. Calcular la siguiente integral definida dx x +4x+ Qué representa geométricamente?. Solución: ln ln5 5. Calcular el valor de la integral (x +5)e x dx Solución: e e 54. Sea F : R + R definida por F(x) = x (t+ t)dt Determinar F() y hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x =. Solución: F() = 5, y = x ( )Consideremos las funciones f,g : [,π] R definidas por f(x) = senx y g(x) = sen(x) Dibujar el recinto limitado porlas gráficas de ambas funciones y hallar su área. Solución: Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x y la recta y = en dos regiones de igual área mediante una recta y = a. Hallar el valor de a. Solución: a = ( )Sea f : R R la función definida por 5x+, f(x) = x x+, si x si x > Esbozar la gráfica de f y calcular el área de la región limitada porla gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x =. Solución: a = Sea f : R R la función definida porf(x) = x a) Esbozar la gráfica de f. b) Estudiar la derivabilidad de f. c) Calcular f(x)dx.

21 Ejercicios de Integración Solución: f es derivable en R {,}; 59. Siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x, se considera la función f : ],+ [ R definida por a(x ), si < x f(x) = xln(x), si x > Determinar el valor de a sabiendo que f es derivable y calcular Solución: a =, ln Sea f : R R la función definida por f(x) = x 9x x. a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallar los extremos relativos α y β de f con α < β y calcular f(x)dx. β α f(x)dx. Solución: f decrece en ], [ ],+ [ y crece en ], [, α = es un mínimo local, β = es un máximo local, f(x)dx = 9 6. Sea f : R R la función definida por f(x) = x, si x < mx x, si x Determinar m sabiendo que f es derivable y calcular Solución: m =, 7 6 +ln 6. ( )Consideremos la función f : [, 4] R definida por f(x)dx. 4x, si x 6 f(x) = (x+), si < x < 4 x, si x 4 Esbozar la gráfica de f y hallar el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. Solución: 6. ( )Dibujar y calcular el área del recinto limitado por la curva y = +cos(x), los ejes de coordenadas y la recta x = π Solución: π 6 +

22 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com 64. ( )Selectividad Junio. Dibujar el recinto limitado porlas curvas y = e x+, y = e x, x = y hallar su área. Solución: superficie = (e ). 65. Selectividad Septiembre. Consideremos la función f : R R definida por f(x) = +x x. Calcular α, α <, de forma que Solución: α =. α f(x) = Selectividad Septiembre. Calcular el valor de α, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = αx x y el eje de abscisas sea 6. Representar la curva que se obtiene para dicho valor de α. Solución: α = Selectividad Junio. Hallar el área del recinto sombreado que aparece en la siguiente figura, sabiendo que la parte curva tiene como ecuación y = x+ x Solución: 4ln ( )Selectividad Junio. Sea f : R R definida porf(x) = xe x. Esbozar el recinto limitado porla curva y = f(x), los ejes coordenados y la recta x =. Calcular su área. Solución: 69. Selectividad Junio. Determinar un polinomio P(x) de segundo grado sabiendo que Solución: P(x) = 5x x+4 4 P() = P()= y P(x)dx=

23 Ejercicios de Integración 7. Selectividad Junio. Se sabe que la función f : R R definida por f(x) = x +ax +bx+c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x =. Conociendo además que f(x)dx = 6, hallar a,b y c. Solución: a =, b =, c = ( )Selectividad Junio. Dada la parábola de ecuación y = + x y la recta de ecuación y = +x, se pide a) Área de la región limitada por la recta y la parábola. b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola. Solución: Superficie = 6, y = x ( )Selectividad Septiembre. Sea f : R R la función definida por f(x) = e x/. a) En qué punto de la gráfica de f, la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?. Hallar la ecuación de dicha recta tangente. b) Calcular el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas. Solución: (,e), y = ex ; Superficie = e 7. Selectividad junio 4. Determinar b sabiendo que b > y que el área de la región limitada por la curva y = x y la recta y = bx es igual a 9. Solución: b = 74. ( )Selectividad septiembre 4. Calcular el área del recinto acotado que está limitado por la recta y = x y por las curvas y = x e y = x. Solución: Selectividad septiembre 4. Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, hallar el área de la superficie sombreada: y = Ln x Solución:.

24 4 Centro de Estudios Formativos - ceformativos.com 76. Selectividad junio 5. Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : R R definida porf(x) = x e x y a su función derivada f. a) Indicar, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f. b) Calcular el área de la región sombreada. ➁ ➀ Solución: la gráfica de f es la etiquetada como ➁. superficie = 6 e. 77. ( )Selectividad junio 5. Considera la funciónf : R R definida porf(x) = e x/. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Calcular el área de la región acotada que está limitada porla gráfica de f, la recta de ecuación x = y la recta tangente obtenida en a). Solución: y = x, superficie = e 78. Selectividad septiembre 5. De una función f : R R se sabe que f() = y que f (x) = x. a) Determinar f. b) Calcular el área de la región limitada porla gráfica de f, porel eje de abscisas y por las rectas de ecuaciones x = y x =. Solución: f(x) = x +, superficie = Selectividad septiembre 5. Considerar la integral definida: I = 8 +x dx a) Expresarla mediante el cambio de variable +x = t. b) Calcular I. Solución: I = ( + ) dt= (+ln) t

25 Ejercicios de Integración 5 8. Selectividad junio 6. Sea I = x +x dx a) Expresar I mediante el cambio de variable t = +x. b) Calcular el valor de I. Solución: I = 5 (t )dt = ( + 5 ) 8. Selectividad junio 6. El área del recinto limitado por las curvas con a > vale. Calcular el valor de a. Solución: a =. y = x a, y = ax 8. ( )Selectividad junio 7. Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x +x, g(x) = x+. a) Esbozar las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcular el área de cada uno de los recintos limitados entre las gráficas de f y g. Solución: puntos comunes: (,), (,), (,4); b) S = S = ( )Selectividad septiembre 7. Sea f : R R la función definida por: f(x) = x x a) Estudiar la derivabilidad de f en x =. b) Esbozar la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas Solución: f no es derivable en x = ; superficie = ( )Selectividad septiembre 7. Sea f : ], + [ R la función definida por: f(x) = ln(x+), (ln denota la función logaritmo neperiano) a) Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta x =. Solución: y = x; superficie = ln

26 6 Centro de Estudios Formativos Selectividad junio 8. Calcular (x x)(x ) dx Solución: 6 +ln ( 4 ) 86. ( )Selectividad junio 8. Sea f : R R la función definida porf(x) = e x. a) Justificar que la recta de ecuación y = ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Calcular el área el recinto limitado porla gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. Solución: e Selectividad septiembre 8. Sea g : R R definida porg(x) = x+ x. a) Esboza la gráfica de g. b) Calcular Solución: 6. g(x)dx. 88. ( )Selectividad septiembre 8. Sean f,g : R R las funciones definidas por a) Esbozar las gráficas de f y g. f(x) = x, g(x) = x+ b) Calcular el área del recinto limitado pordichas gráficas. Solución:. 89. ( )Selectividad junio 9. Sea f : R R la función definida por: a) Esbozar la gráfica de f. f(x) = x x b) Comprobar que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. c) Calcular el área del recinto limitado porla gráfica de f y la de dicha tangente. Solución: área= 9. ( )Selectividad junio 9. Considerar la curva de ecuación y = x x. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x =. b) Calcular el área del recinto limitado porla curva dada y la recta y =.

27 Ejercicios de Integración 7 Solución: Recta tangente y =, Área = ( )Selectividad septiembre 9. La curva y = x divide al rectángulo R de vértices A = (,), B = (,), C = (,) y D = (,) en dos recintos. a) Dibujar dichos recintos. b) Hallar el área de cada uno de ellos. Solución: sean S el recinto situado encima de la parábola y contenido en R, y S el complementario de S respecto de R, entonces: superficie de S = superficie de S = ( ) 9. Selectividad junio. Calcular π Sugerencia: efectuar el cambio x = t. Solución: π. sen( x)dx 9. ( )Selectividad junio. Sean las funciones: f(x) = 5 x, g(x) = 4 x, para x a) Esboza el recinto limitado por las gráficas de f y g indicando sus puntos de corte. b) Calcular el área de dicho recinto. Solución: Área = 5 8ln 94. ( )Selectividad septiembre. Consideremos la función f : R R dada por f(x) = x +4. a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =. b) Esbozar el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta de ecuación y = x+. Calcular su área. Solución: y = x+, Área =

28 8 Centro de Estudios Formativos - Soluciones de ejercicios con gráficos. = x 4x+ dx= (x 4x+)dx= 4 4. [ ( x +4x) x ] dx= 4 5. Respecto al eje X: = 4 (x )dx+ 8 ( ) 8 x dx= +(6ln 6)=6ln 4 Más fácil con respecto al eje Y : 4 ( ) 8 y y dy = 6ln 4

29 Ejercicios de Integración x dx = π 4 8. x = 5 x = 9 x = = 4 9 ln(x+5)dx+ ( ln+ ) 4 +(6ln6 5) = ln(x+5)dx = = 6ln6 ln 9 9. e e lnxdx =

30 Centro de Estudios Formativos [ (6x x ) (x x) ] dx= 64. [ (x x )+x ] dx= [ (x 5) (x 4x) ] dx=

31 Ejercicios de Integración 8. = 4+4 = 8. (x 6x +8x)dx+ 4 (x 6x +8x)dx = x(x +) dx = ( ) ln. (x+ x )dx = 9

32 Centro de Estudios Formativos - Recta y = +(+ )(x ) Respecto al eje X: + = 4 ( 6 xdx+ [ ] x+ (+ )(x ) dx= ) ) + = +4. Más fácil respecto al eje Y : ( + y + ) + y dy = = +4 Sea S la superficie de la región rayada: S = [ ( x) (+x 5 ) ] dx= 4 Sea S la superficie de la región sombreada: S = 9 4 = ( x x )dx=

33 Ejercicios de Integración 6. e La recta tangente en x = e es: e e y = ex e La superficie del triángulo de vértices (e/,), (e,), (e,e ) es e /6, luego e x lnxdx e 6 = e + 8. La recta tangente en x = es y = 4x. La región es simétrica respecto de la recta x = (demuéstrelo), luego: [ 4x (4x x ) ] dx = 6. La recta tangente enx = es y = x. [ (x ) lnx ] dx = 4 ln

34 4 Centro de Estudios Formativos [ x+(x ) ] dx+ [ x (x ) ] dx= 6 9. π 4 π π + π/4 π/ π/4 (cosx senx)dx+ (senx cosx)dx= = ( )+ ) = = 4. [ (x+) ] dx= 7 π +x

35 Ejercicios de Integración [ (x x) x ] dx+ [ x (x x) ] dx = = = 7 4 [ x (x+) ] dx = = 5 [ ( x x+) (x +x+) ] dx =

36 6 Centro de Estudios Formativos [ ] (x +)dx+ x (x ) dx= = 4 ( + ) +ln = 5 6 +ln 55. π Por simetría: x = π π ( senx senx ) dx= 8

37 Ejercicios de Integración (5x+)dx+ = = 7 6 (x x+)dx = 6. 4xdx+ = +4+ = 6 (x+) dx+ 4 (4 x)dx = π π + = π/ π π/ ( π + ( ) +cosx dx+ ( ) +cosx dx = ) ( + π 6 + ) = = + π 6

38 8 Centro de Estudios Formativos e ( e x+ e x) dx= (e ) 68. xe x dx= 7. [ (+x) (+x ) ] dx= 6

39 Ejercicios de Integración 9 7. e La recta tangente en x = es: y = ex ( e x/ ex ) dx = e 74. ) (x x dx+ = = 4 4 ) (x x dx = 77. La recta tangente en x = es: y = x [ ( e x x )] dx = e

40 4 Centro de Estudios Formativos S sombreada = S rayada = [ (x +x ) (x+) ] dx= 4 [ (x+) (x +x ) ] dx= 4 8. x x dx= x(x )dx= La recta tangente en x = es: y = x [ x ln(+x) ] dx= ln

41 Ejercicios de Integración e 88. ( e x +ex ) dx = e 4 [ (x+) (x ) ] dx =

42 4 Centro de Estudios Formativos = ( x x x ) dx= [ ] [ ] x+x(x ) dx+ x x(x ) dx= = + = 9. [ (x x) ] dx= D C S sombreada = ) ( x dx= La superficie del rectánguloabcd es, luego A B S rayada = = 6

43 Ejercicios de Integración ( 5 x 4 ) dx = 5 x 8ln 94. [ x +4 (x+) ] dx =