Integral definida. 1. Integral definida. Piensa y calcula. Aplica la teoría. 3. Siendo x el valor absoluto o módulo de x, calcula la. 2.

Transcripción

1 Integral definida. Integral definida Piensa y calcula Halla, contando, el área de la ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. Tiene eactamente 7, u y = + [ ] = = Aplica la teoría. Calcula d a F = b F =, F = c d = u. Siendo el valor absoluto o módulo de, calcula la integral definida d a F = b F =, F = c d = u. Calcula + d a d = d + d Sea F = d F = F =, F = d = u G = d SOLUCIONARIO

2 G = G =, G = d = u d + d = =, u d =. Calcula la derivada de F = cos t dt a F = L b F =, F = L c L d = L =,9 u. Calcula el valor de d e F' = cos cos. Calcula L d a F = e b F =, F = e c d e = e =, u. Cálculo de áreas Piensa y calcula Halla por aproimación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada. A La amarilla, u aproimadamente, y la verde u aproimadamente. En total, unas 7 unidades cuadradas. y = A = = Aplica la teoría 7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f = +, el eje de abscisas y las rectas =,= Raíces: =, =, = + d = d = u + d = u Área = =,7 u TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 7

3 8. Halla el área del recinto limitado por la recta y= y la parábola y = Raíces: =, = + d = + + d = u Área = =, u Raíces: = d = L d = L L u Área = L L =,8 u. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja el recinto limitado por las curvas: y = e +,y = e, y =, =, = b Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. 9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de y= y el eje Raíces: = e + d = e u e d = e u Área = e =, u Raíces: =, =, = d = d = u. Dada la función, definida en los números reales salvo en = f = calcula el área de la región plana limitada por la gráfica de f y el semieje positivo d = u Área = 8 u. Calcula el área de la región limitada por la curva y = y las rectas y =, =, = Raíces: =, = d = L d = L u Área = L =, u 8 SOLUCIONARIO

4 . Aplicaciones de la integral definida Piensa y calcula Escribe las fórmulas del espacio y de la velocidad de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado m.r.u.a. et = at + v t + e o vt = at + v Aplica la teoría. Un móvil lleva una velocidad en m/s, en función del tiempo, según la función: vt = t + donde t se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el móvil entre los segundos y del movimiento. 8. La función que mide el caudal que sale de un depósito es: f = donde f está dado en litros por segundo, y, en segundos. Qué cantidad de agua sale del depósito entre el segundo y el segundo 8? e e = t + dt = m. Una fábrica produce objetos de decoración. La función de ingreso marginal viene dada por: i = + + donde es el número de objetos vendidos e i viene dado en euros. Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender a vender objetos? d = + L L =, + 8 Volumen = d = litros.. Una moto cuando arranca lleva un movimiento uniformemente acelerado, en el que la aceleración es de m/s a Calcula la velocidad al cabo de segundos. b Calcula el espacio que habrá recorrido en esos segundos. a Velocidad: vt = dt = t v = m/s 8 TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 9

5 b Espacio: et = t dt = t e = 9 m. Cálculo de volúmenes Piensa y calcula Escribe las fórmulas del volumen de un prisma, de una pirámide, de un cilindro, de un cono y de una esfera. Volumen del prisma: V Prisma = BH Volumen de la pirámide: V Pirámide = BH Volumen del cilindro: V Cilindro = πr H Volumen del cono: V Cono = πr H Volumen de la esfera: V Esfera = πr Aplica la teoría 7. Deduce la fórmula del volumen del prisma. La sección A es paralela a la base B, y se tiene que A = B H Volumen = B d A H H B 8. Calcula el volumen generado por la función: f = cuando gira alrededor del eje en el intervalo [, ] y = Volumen = π d = π d F = B d = B F =, FH = BH Volumen = FH F = BH Por tanto, el volumen de un prisma es el área de la base por la altura. F = d = F =, F = 8 F F = 8 = 8 Volumen = 8π u SOLUCIONARIO

6 9. Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje : f = g =. Deduce la fórmula del volumen de un cono. PH, R H R R y = H Volumen = π = [ ] d, F = d = F =, F = F F = = π Volumen = u, H Volumen = π F = d = F =, FH = R H FH F = = d = π H d Volumen = π = πr H u H R H H H H R H TEMA. INTEGRAL DEFINIDA

7 Ejercicios y problemas PAU Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno: Dada la función: Calcula el área encerrada por las funciones: f = + f = + +, g = + calcula: f d u u 7/ / 7/ u / u 7 Calcula el área encerrada por las funciones: Dada la función: ft = at + b 8 u u u f = +, g = + Calcula: +ft dt / u a + b a + a + b 8 Dada la función: f = + a + b a + a + b Calcula el área del recinto limitado por la función y = ln, el eje y las rectas =, =, u, u, u,9 u 9 calcula el área de la región acotada por su gráfica y el eje u 9,8 u e u π/ u Calcula el área encerrada por la función: f = + Sean las funciones: f =, g = Obtén el área del recinto limitado por f y g entre =, = / u y los ejes e e u u e/ u, u, u, u / u Calcula el área encerrada por las funciones: f = + ln, g = / y las rectas =, =, u /e u,9 u e u Se considera, en el primer cuadrante, la región R del plano limitada por el eje, el eje, la recta = y la curva y = + Calcula el área de la región R. Halla el valor de c para que la recta = c divida la región R en dos partes,a izquierda y B derecha, tales que el área de A sea el doble que la de B SOLUCIONARIO

8 Ejercicios y problemas. Integral definida. Calcula + d a F = + b F =, F = c + d = = 8, u. Calcula d d = + d + d Sea F = + d F = + F =, F = + d = u G = d G = G =, G = d = u d = + d + d = u. Calcula la derivada de F = + L t dt F' = L + a F = b F =, F = c d = = 7, u El área es negativa porque el recinto está debajo del eje. Calcula e L d. Sea f : 8 la función definida por f = a Esboza la gráfica de f b Calcula f d a F = L e b F =, F = 9 9 e c L d = e + 9 =,7 u e TEMA. INTEGRAL DEFINIDA

9 Ejercicios y problemas. Considera la función f definida para? por la relación: f = Calcula f d 8. Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y = y = a F = + L + b F = + L, F = + L 8 c + 9 d = + L =,9 u + 7 Raíces: =, = + d = + + d = u Área = =,9 u 9. Dada la función f =, calcula el área encerrada entre la gráfica f y el eje de abscisas.. Cálculo de áreas 7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de f =, el eje de abscisas y las rectas =, = Raíces: =, = d = d = u Área = =,7 u Raíces: =, =, = d = 7 d = u d = u Área = =,7 u. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f = +, el eje de abscisas, la recta = y la recta = SOLUCIONARIO

10 Raíces: = =,8 + d = + + d = u Área = u. Calcula el área de la región limitada por las curvas y=, y = + Raíces: =, = d = arc tg + + π d = u π Área = =, u. Dada la función f =, calcula el área encerrada entre la gráfica f y el eje de abscisas.. Aplicaciones de la integral definida. La recta de ecuación y = + representa la trayectoria de un móvil A. Otro móvil B se desplaza según la trayectoria dada por la curva de ecuación y = g, donde g : 8 es la función definida por: g = + + c a Halla el valor de c sabiendo que ambas trayectorias coinciden en el punto en el que la función g tiene un máimo local. b Coinciden ambas trayectorias en algún otro punto? En tal caso, dibuja la región limitada por ambas trayectorias y calcula su área. a El máimo de la parábola se alcanza en = La función f para = vale Poniendo la condición de que g =, se obtiene c = g = + b Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, se obtiene: Raíces: =, = Área = + d = =,7 u 7. La velocidad de un móvil que parte del origen viene dada, en m/s, por la gráfica siguiente: Raíces: =, =, = d = d = u d = u Área = = 7, u a Calcula la función espacio recorrido. b Dibuja la gráfica de la función espacio recorrido. c Prueba que el área bajo la curva que da la velocidad coincide con el espacio total recorrido. si Ì Ì vt = si < Ì + si < Ì TEMA. INTEGRAL DEFINIDA

11 Ejercicios y problemas a Viendo la gráfica del enunciado, se observa: e = e = 7 Por tanto: et = si Ì Ì vt dt = si < Ì / + 9 si < Ì b Gráfica del espacio recorrido. H Volumen = π R d = πr H d F = d = F =, FH = H FH F = H = H Volumen = πr H u c e = 9, que es el área que queda debajo de la curva del enunciado. 7. Calcula el volumen generado por la función: f = cuando gira alrededor del eje en el intervalo [, ] y =. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada por la curva y = y la recta y = Calcula el área de la parcela. Área = d = =, u Volumen = π F = d = 9 F =, F = 9 9 F F = = 7π Volumen = u d = π d. Cálculo de volúmenes. Deduce la fórmula del volumen de un cilindro. f = R PH,R H R 8. Calcula el volumen generado por la función: f = + cuando gira alrededor del eje en el intervalo [, ] y = + SOLUCIONARIO

12 y = + 9. Deduce la fórmula del volumen de una esfera. y = R A R, BR, Volumen = π + + = + + d F = + + d = + + F =, F = F F = = π Volumen = u R Volumen = π R d = π R F = R d = R F =, FR = R = R FR F = R = u R Volumen = π πr = = πr u R R R d Para ampliar. Calcula + d a f' = + b + a En los puntos en los que tiene el máimo y el mínimo, la primera derivada se anula. Se obtiene el sistema: a + b + = ò a =, b = 9 a + b + = y = 9 + b Raíces: =, = a F = L + b F =, F = L c d = L =,9 u +. Sea la función f = + b + a a Halla los valores de a y b, de forma que f tenga un máimo en = y un mínimo en = b Halla el área de la región limitada por la gráfica f y el eje entre = y = F = + 7 F =, F =, F/ =, F = Área = =,9 u TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 7

13 Ejercicios y problemas. Sea la función f = Halla el área de la región limitada por el eje y dicha función. Raíces: =, =, = a F = c Área = =, u b F =, F =, F = 9 a Gráfica: b Se descompone el intervalo de integración en [, ] y [, ] + d = 8 + d = 7 Área = =,8 u. Considera las funciones f, g : 8 definidas por: f =, g =, é a Dibuja el recinto limitado por las gráficas f y g b Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. a Dibujo:. Considera la función f : [, ] 8 definida por: si Ì f = si < < + si Ì Ì a Esboza la gráfica f b Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. a Gráfica: b Raíces: =, = + d = d = Área = =,7 u. Sea f : 8 la función definida por: + si Ì f = + si > a Esboza la gráfica de f b Calcula el área de la región limitada por la gráfica f, el eje de abscisas y la recta = b Se descompone el intervalo de integración en [, ], [, ] y [, ] d = + d = d = Área = =, u 8 SOLUCIONARIO

14 . Calcula el valor de a, positivo, para que el área encerrada entre la curva y = a y el eje de abscisas sea. Representa la curva que se obtienen para dicho valor de a a = ò =, = a b Calcula el área del recinto limitado por la gráfica f, el eje y las rectas de ecuaciones + = y = a Gráfica: a a d = ò a = y = / 7. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja la región limitada por la curva de ecuación y = y la recta de ecuación y = b Halla el área de la región descrita en el apartado anterior. a Gráfica: b El intervalo de integración se descompone en [, ] y [,/] + d = / d = 7 Área = =, u 9. Halla los valores de m para que el área de la región limitada por la parábola y = y la recta y = m sea Raíces: =, = m 7 m b Raíces: =, = Área = d = =, u 8. Resuelve las siguientes cuestiones: a Esboza la gráfica de la función f : 8 dada por: + si Ì f = si > /m m = m =. Sea la función f = cos. Calcula la integral de f entre = y el primer cero positivo que tiene la función. Nota: se llaman ceros de una función a los valores para los que ésta se anula. TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 9

15 Ejercicios y problemas. Calcula el área de la región limitada por la curva y = L y las rectas y =, y = L, = π/ El primer cero positivo de la función es: = a F = sen + cos π π b F =, F = π c Área = =,7 u. Se tiene la función f definida para todo número real no negativo y dada por: Halla f d f = si Ì Ì si > π L d + L L d = Área = u. Halla el valor del parámetro a sabiendo que el área limitada por la gráfica de la parábola y = a y el eje es a = ò =, = a a a d = a = a = a = Interpreta geométricamente el resultado. El intervalo de integración se descompone en [, ] y [, ] d =, es un cuadrado de área una unidad cuadrada. d = Área = =,7 u El resultado es el área del recinto marcado en el dibujo. 7 SOLUCIONARIO

16 . Dibuja la figura limitada por las curvas cuyas ecuaciones son: y halla el área de la misma. Raíces: =, = 7 + d = 7 d = 7 Área = =, u. Si f es una función continua en [a, b], puede ser b a y = y = f d =? Razona la respuesta con un ejemplo. Sí puede ser, siempre que el área positiva coincida con el área negativa, o bien cuando a = b Ejemplo: d = Como L a b = L a + L b por una propiedad de los logaritmos, se tiene que: fa b = fa fb 7. Mediante argumentos geométricos, demuestra que si f y g son funciones positivas en el intervalo [a, b] y f Ì g para todo de dicho intervalo, entonces se cumple que: b bf d Ì g d a a Porque el área representada por la ª integral está contenida en el área representada por la ª integral. 8. Si f en una función continua positiva en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos geométricos, si la siguiente afirmación es cierta. b f d Ó a Si es falsa pon un contraejemplo. Es cierta, porque si la función es positiva en un intervalo, el área limitada por el eje y la curva es positiva en dicho intervalo. 9. Encuentra el área de la región determinada por la curva y =, el eje y las rectas = y = Raíces: =. Sea f = dt, y sean a, b é +. Demuestra que t fa b = fa fb f = dt = L t fa b = L a b fa + fb = L a + L b a F = + L + L b F = L, F =, F = + L c Área = L =, u TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 7

17 Ejercicios y problemas Problemas. Se considera la función real de variable real definida por: f = + a Halla la ecuación cartesiana de la recta tangente en el punto de infleión de abscisa positiva de la gráfica f b Calcula el área del recinto plano acotado por la gráfica f, la recta anterior y el eje = a El punto de infleión es el punto P, / y = 8 b Área:,. Calcula el valor de a > para que a a d + = L a + L a + = ò a = e,,8,,, d =,,,, Área =,,,,,,7,8,9 8 d = + π = =, u 8. Se considera la función real de variable real definida por: f = + Calcula el valor de a > para el cual se verifica la igualdad af d =. Sea la función f = sen. Calcula a > tal que el área encerrada por la gráfica f, el eje y = y la recta = a sea a sen d = cos a π cos a = ò a = π/ a d = L a + + Se resuelve la ecuación y se toma a > : La + = ò a = e,,,,,,. Sea la función real de variable real definida por: f = si Ì si > Determina el área encerrada por la gráfica f y por las rectas y = 8, =, = 8 7 SOLUCIONARIO

18 8 7 d = u 8 7 d = u 9 Área = = 9,9 u. Se consideran las funciones f = +, g = a + b a Calcula a y b para que las gráficas f y g sean tangentes en el punto de abscisa = b Para los mismos valores de a y b, halla el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje vertical a a =, b = b Área: Área = + d = 9 u 7. Halla el área del recinto delimitado por la curva y= + + y la recta y = Área = d = =,7 u si Ì 8. Sea la función f = si < Ì si > Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas = y = + d = =, u. Sean las funciones f = + a + b, g = + c a Determínense a, b y c sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos, y, b Calcula el área de la región limitada por las gráficas f y g a f = +, g = + b Área: d = d = d = d = 9 Área = =, u 9. Sea la función f = + + Calcula el área determinada por la gráfica f, el eje horizontal y las rectas = y = TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 7

19 Ejercicios y problemas Raíces: =, =, =, = a F = + + b F =, F =, F = 98 c Área = =, u 7. Calcula el valor de la integral sen d π 7 π a F = e b F = 7, F = e c + e d = 7 e =,9 u 7. Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = y la recta y = en dos regiones de igual área mediante una recta y = a. Halla el valor de a Aplicando el cálculo integral, se tiene: d = u Si y = a, y = = a ò = a, = a π π π La mitad de es a a d = Raíces: = π, =, = π, = π sen d = π π π sen d = π π sen d = π π Área = π =,7 u 7. Calcula el valor de la integral + e d a a = ò a = 7. Halla el área del recinto coloreado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como + ecuación y = + A = d = + L Los otros dos trozos se pueden calcular contando A =, o bien: d = 7 SOLUCIONARIO

20 A =, o bien: d = Área = + L 7. Sabiendo que L es el logaritmo neperiano de, considera la función f :, +@ 8 definida por a si < Ì f = L si > a Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. b Calcula f d a a = b Dibujo: 9 c f d = =, u 7. Sea f : 8 la función definida por: si < f = m si Ó a Determina m sabiendo que f es derivable. b Calcula f d a m = b Dibujo: d = L d = +L Área = + L =, u 7. Sea f : 8 la función definida por: f = 9 Determina los etremos relativos a y b de f con a < b y calcula a bf d Los etremos relativos están en = y en = d = L + + d = 7 Área = + L =,8 u 77. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas: y = +, y = e y = b Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. a Recinto: 7 b Área del recinto. a F = 7 b F = 8, F = + d = + d = +L Área = + L =, u TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 7

21 Ejercicios y problemas 78. Resuelve las siguientes cuestiones: 9 a Dibuja el recinto limitado por la curva y =, la recta tangente a esta curva en el punto de abscisa = y el eje de abscisas. b Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior. a Recta tangente: y = a = f = + b Área del recinto. 9 d = d = Área = =,7 u 79. De la función f : 8 definida por: f = a + b + c + d se sabe que tiene un máimo relativo en =, un punto de infleión en, y que: f d = Calcula a, b, c y d 8. Considera la función f : 8 definida por: f = e Determina el valor de la integral: / + f d a F = + e b F =,F = c Área = =,7 u / Si tiene un máimo relativo en =, la primera derivada se anula para = a + b + c = Si tiene un punto de infleión en,, pasa por ese punto; por tanto, d = y la segunda derivada se anula en = b = De donde se obtiene: c = a La función es: f = a a a a d = a = 8. La recta de ecuación y + = es tangente a la parábola de ecuación y = a + c en el punto P, a Calcula las constantes a y c de la ecuación de la parábola describiendo el procedimiento que sigas. b Dibuja la región plana limitada por el eje, la parábola y la recta tangente. c Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior. a La pendiente de la recta es m = La derivada de la parábola es y' = a Por tanto, para = ò a = ò a = Si la parábola pasa por el punto P, se deduce que c = 7 7 SOLUCIONARIO

22 b Dibujo: + Área = =, u c 7 + d = Área = =, u 8. La figura siguiente representa la gráfica de una función f:[,7] 8 Sea F : [, 7] 8 la función definida por: F = ft dt 8. Calcula el área de la región coloreada en la figura y justifica el procedimiento empleado L es el logaritmo neperiano de La región se descompone en dos trozos, la que está encima del intervalo [, ], que tiene de área u, y la que está entre la curva y = L y la recta y = en el intervalo [, e] e L d = e Área total: e =,7 u 8. Dibuja el recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = sen, y = cos, =, = π/ Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. y = L e a Calcula F y F7 b Dibuja la gráfica F eplicando cómo lo haces. a F es el área comprendida entre el eje y la función en el intervalo [, ], F = u F7 se obtiene como F, pero hay media unidad más positiva y una y media negativa, F7 = u La fórmula de F es: En el intervalo [, ] es: ft = ò F = En el intervalo [, ] es: ft = + ò F = + + k con la condición de que debe pasar por el punto P,. De donde se obtiene que k = 8 F = + 8 En el intervalo [, 7] es: ft = ò F = + k con la condición de que debe pasar por el punto P,. De donde se obtiene que k = F = + si Ì Ì F = + 8 si < < + si Ì Ì 7 b π π π/ π/ π/ cos sen d = sen cos d = + TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 77

23 Ejercicios y problemas 8. Halla la recta tangente a la curva de ecuación y = en el punto de abscisa = Dibuja el recinto limitado por dicha recta tangente y la curva dada, y calcula su área. 88. Dibujar con la mayor eactitud posible las gráficas de las funciones f = y g = + 8. Representa el recinto limitado por ambas funciones y obtén su área. La recta tangente en el punto de abscisa = es y = 7 + d = 7 Área = =,7 u 8. Calcula el área de la región limitada por las curvas y = e, y = e y la recta = e e d = e + e Área = e + =,9 u e 87. En la figura aparece una curva que representa una función polinómica de grado. Los puntos de intersección de la curva con el eje son el A, y el B,.Además, el área limitada por la curva y los dos ejes coordenados vale /. Halla la epresión de dicha función. Raíces: =, = + 8 d = Área = =,7 u 89. Calcula una primitiva de la función: f = L + Determina el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje y la recta = Una primitiva de f es: a F = + + L + b F =, F = +L c Área = + L =,9 u 9. Representa gráficamente el recinto plano limitado por la curva y = y su recta tangente en el punto de abscisa =. Calcula su área. La ecuación de la recta tangente en el punto P, es: y = f = a f = a + a + d = ò a = f = + 78 SOLUCIONARIO

24 + d = 7 Área = =,7 u 7 9. Calcula el área determinada por la curva y = L, el eje y la recta = e 9. Calcula d + e e L d = Área = u a F = b F =, F = 7 c Área = =, u 9. Calcula el área determinada por la curva y =, el eje y las rectas =, = 9. Calcula el área determinada por la curva y = tg, el π eje y la recta = π/ a F = L + L L b F =,F = c Área = L =, u / / L π/ tg d = L Área = L =,9 u 9. Encuentra el área del recinto determinado por las curvas: y =, y = + 9. Sin hacer ningún cálculo, di cuál de las siguientes integrales es mayor: sen d sen d Cuando é, ò < Por tanto en el intervalo, : sen < sen De donde se deduce que: sen d < sen d + d = + d = 7 Área = =, u 7 7 TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 79

25 Ejercicios y problemas π/ sen 97. Demuestra que Ì d Ì + Si é, π/ ò < sen < π/ Además, se tiene que: sen d = sen y como: Ì ò Ì sen + + π/ sen d Ì π/sen d = Calcula el área del recinto determinado por la curva y =, las rectas =, = y el eje de abscisas. + Raíces: =, =, = d = d = + Área = =,7 u Por simetría, el área es: a F = arc tg b F =,; F = c Área =, u d +. Demuestra que si m es un número cualquiera mayor que l, y k un número natural cualquiera mayor que uno, se cumple que: m k + d < m k+ + l En las condiciones del problema, se tiene: k < k + ò k + < k + + ò k + < k + + Por tanto: m k + k + + m d < d = m < m 99. Si f y g son dos funciones continuas positivas en el intervalo [a, b], justifica, mediante argumentos geométricos si la siguiente afirmación es cierta. b bf + g d = bf d + g d a a a Si es falsa, pon un contraejemplo. La afirmación es cierta, porque el área comprendida entre el eje y la suma de las funciones f + g en el intervalo [a, b] es igual al área comprendida entre el eje y la función f en el intervalo [a, b], más el área comprendida entre el eje y la función g en el intervalo [a, b]. Determina el área comprendida entre las curvas y =, y = y la recta que pasa por los puntos A, y B, L si >. Dada la función f = si = calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función y el eje, desde = hasta = b, siendo b la abscisa del mínimo de la función.,,,,,, /e,,,8,,,,,8 La abscisa del mínimo de la función es = /e 8 SOLUCIONARIO

26 a F = + L b Dibujo: b F =, F/e = e c Área = =, u e π/. Calcula la integral definida sen d π/ π π V = π π d = u. Al girar la elipse + = alrededor del eje, ésta 9 genera una superficie parecida a un huevo, que se llama elipsoide. Halla el volumen de dicho elipsoide. y y = a F = sen cos π b Fπ/ =, Fπ/ = 8 π/ π c sen d = + =,8 u π/ 8 9 V = π d = π u. Resuelve las siguientes cuestiones: a Obtén el área de la superficie S, limitada por el eje, la curva y =, con Ì Ì, y la recta = b Calcula el volumen generado por la superficie S al dar una vuelta completa alrededor del eje a Dibujo: Para profundizar. Calcula el valor de a > para que: + a d = L + a L a = L + a + a + a L = ò = e ò a = a a d = + a a e 8 d = u 7. Sea la función f = sen a Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica f en π el punto de abscisa = b Calcula el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función f y las rectas =, = π π TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 8

27 Ejercicios y problemas π a y = + π π,,8,,,,,,,8,, Al punto,y se le puede llamar a,a π/ π/ [ π + sen ] d = π π = + aa d = a d a a = a a = a a a + π π Área = + =,7 u 8. Sea la función ft = Se define: g = ft dt Calcula g = ft dt = lím 8 g' lím 8 g' + e t dt + e t = lím = = = ±@ 8 + e si <. Sea la función f = a si Ì Ì b/ si > a Determina los valores de a y b para que f sea continua en toda la recta real. b Con los valores de a y b determinados en el apartado anterior, calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas, en el intervalo [, ] a Para que f sea continua, a =, b = b Dibujo: / d = d = / d = L Área = + L =, u 9. Se consideran las curvas y = e y = a, donde a es un número real comprendido entre y < a <.Ambas curvas se cortan en el punto,y con abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde = hasta = es igual a la encerrada entre ellas desde = hasta =. Resuelve las siguientes cuestiones: a Dibuja el recinto limitado por y = + cos, los ejes de coordenadas y la recta = π b Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. 8 SOLUCIONARIO

28 a Dibujo: Gráficamente, representa el área comprendida entre el eje y la curva en el intervalo [, ] π/ π π/ π + cos d = + π + cos d = π Área = + =, u. Considera la función f : 8 definida por: f = + Calcula a, a <, de forma que a f d = π π 9. Considera la función f : 8 definida en la forma f = + Calcula f d + + d = a a 9 a + = ò a =, a = a 9 El valor a < es a = 7 d = + d = Área = =, u. Calcula la siguiente integral definida: d f d = + + Qué representa geométricamente? Representa el área comprendida entre el eje y la curva en el intervalo [, ] a F = L + L + b F = L, F = L L c d = L L =,9 u + +. De la gráfica de la función polinómica f : 8 dada por: f = + a + b + c se conocen los siguientes datos: que pasa por el origen de coordenadas y que en los puntos de abscisas y tiene tangentes paralelas a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes. a Calcula a, b y c b Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y el eje de abscisas, y calcula su área. a a =, b =, c = f = + TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 8

29 Ejercicios y problemas b Dibujo: 7. Justifica geométricamente que si f es una función positiva definida en el intervalo [a, b] y c é[a, b], entonces se cumple: b cf d + bf d = f d c a a Raíces: =, =, = F = + 7 F =, F =, F = 8 7 Área = =,7 u La ª integral es el área comprendida entre el eje y la curva f en el intervalo [a, c] La ª integral es el área comprendida entre el eje y la curva f en el intervalo [c, b] La integral del º miembro es el área comprendida entre el eje y la curva f en el intervalo [a, b] como el intervalo [a, b] se divide en los intervalos [a, c] y [c, b], ambos miembros representan la misma área.. Determina una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = a +, la recta y = y la recta = a tiene área a La parábola pasa por el origen de coordenadas. 8. Halla el área del recinto limitado por la curva y = e,el eje y la recta paralela al eje que pasa por el punto donde la curva tiene un mínimo relativo. La función tiene un mínimo relativo para =, a,,,,,,,, a a + d = a + a Por tanto: a + a = a Resolviendo esta ecuación, se obtiene: a =, a = Solo se toma el resultado positivo, como indica el enunciado del problema. e d = e Área = =, u e 8 SOLUCIONARIO

30 Linu/Windows Windows Derive Paso a paso 9. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje y la función f = en el intervalo [, ] Resuelto en el libro del alumnado.. Calcula el volumen generado por la superficie comprendida entre las siguientes funciones cuando giran alrededor del eje f = g = + Resuelto en el libro del alumnado.. Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. d Observa y justifica el signo del valor obtenido.. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. + d Observa y justifica el signo del valor obtenido. TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 8

31 Linu/Windows. Dibuja el recinto correspondiente y calcula la siguiente integral definida. d. Dibuja el recinto limitado por las siguientes funciones y calcula su área. f = g = +. Calcula la derivada de la función L t 7. Dibuja y calcula el área del recinto limitado por el eje y la función: f = SOLUCIONARIO

32 Windows Derive 8. Un objeto se deja caer en el vacío. Suponiendo que la gravedad es de 9,8 m/s, calcula la velocidad que lleva al cabo de s y el espacio recorrido. Dibuja las funciones correspondientes a la velocidad y a la aceleración. 9. La función que mide el caudal de un río en función de los meses del año viene dada por: π f = + cos donde f está dado en miles de hectolitros por mes, y en meses. a Qué cantidad de agua pasa por el río en un año? b Dibuja la región correspondiente a la cantidad de agua que lleva el río. TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 87

33 Linu/Windows. Una fábrica produce chips para ordenadores. La función de ingreso marginal viene dada por: i = + + donde es el número de chips vendidos e i viene dado en euros. Si vende unidades, cuáles son los ingresos obtenidos? Dibuja la región correspondiente a los ingresos obtenidos.. Deduce la fórmula del volumen de una pirámide.. Calcula el volumen generado por la función f = cuando gira alrededor del eje, en el intervalo [, 9] 88 SOLUCIONARIO

34 Windows Derive. Calcula el área encerrada por las funciones: f = +, g = +. Calcula el valor de a para que el área de la región plana encerrada entre la parábola y = y la recta y = a sea el doble del área de la región limitada por dicha parábola y la recta y = TEMA. INTEGRAL DEFINIDA 89

35 Linu/Windows. Dada la función: f = + calcula: f d 9 SOLUCIONARIO

36 Problemas propuestos PAU. Sea f: 8 la función definida por f = e a Justifica que la recta de ecuación y = e es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = / b Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior. a Calculamos la recta tangente: = / ò y = e, P /, e f ' = e f ' / = e Ecuación de la recta tangente: y fa = f 'a a y e = e + / y e = e e y = e b Cálculo del área: El recinto está comprendido entre la función f = e y la recta tangente g = e en el intervalo [ /, ] Función diferencia: f g = e + e F = + e d = e + e e F / = e/, F = / Área = F F / = / + e/ = e/ / = =,8 u. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista señala que dada la estructura de la empresa, solo puede optar a dos tipos, A o B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instalas del tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maimizar la seguridad. Planteamiento: Nº de alarmas del tipo A: Nº de alarmas del tipo B: y Seguridad, y =,y Condiciones: + y = 9 S, y =,y S =,9 =,,8 + 8, S' =,, + 8, ò,, + 8, = ò =, = 9 S'' =,, S'' =,8 Máimo relativo S''9 =,8 Mínimo relativo Nº de alarmas: del tipo A y del tipo B. Se considera la función: si < f = si Ó a Determina su dominio de definición, estudia su continuidad y halla las asíntotas. b Esboza una gráfica de la función. c Halla los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta + y = a Para < es una hipérbola, y para Ó, una parábola. Domf = {} +@ Estudiamos = f = = = lím f = lím = lím = lím f = lím = + = = Como los límites laterales son iguales e igual al valor de la función, f es continua en = f es continua en todo su dominio, por estar definida por una función polinómica y otra racional; donde podía tener problemas es en = y hemos visto que también es continua. Asíntotas: las funciones polinómicas nunca las tienen; la hipérbola tiene dos asíntotas: Vertical: = Horizontal: y = b Un trozo de una hipérbola y otro trozo de una parábola. BLOQUE III. ANÁLISIS 9

37 Problemas propuestos c Para que sean paralelas han de tener la misma pendiente. + y = ò y = ò y = / ò m = / si < f ' = si > = ò = ò = ò = ò = ò = = no es menor que = ò y = /, el punto es P, / = ò = no es mayor que 8. Considérese el recinto limitado por la curva y = y la recta y = : Si f tiene un etremo relativo para = : f ' = f ' = a + a b + be f ' = 9a + a b + be = ò a + b = Si f pasa por el punto, /e ò f = /e f = a + be ò a + be = /e ò a + b = Resolviendo el sistema: a + b = ò a =, b = a + b = Ecuación de la recta tangente: = ò y = ò O, y fa = f 'a a f ' = a + a b + be f ' = y = La ecuación de la recta tangente es y =, y, y y = De entre todos los rectángulos situados como el de la figura anterior, determinar el que tiene área máima. Planteamiento: Área, y = y Condiciones: y = A, y = y A = = A' = ò = ò = ò ò = ò =, = = ò y =, un vértice del rectángulo es P, A'' = = no tiene sentido, es una longitud. A'' = Máimo relativo El rectángulo tiene de base unidades y de altura unidades, es un cuadrado, que es un caso particular de rectángulo.. Determina los valores de los parámetros a, b é para que la función: f = a + be tenga un etremo relativo en el punto de abscisa = y además pase por el punto, /e. Halla la ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa =. Estudia la continuidad en de la función: cos si? f = si = Para?, f está definida por el cociente de dos funciones continuas en todo ; así que será continua en todo, salvo en las raíces del denominador. Para =, está definida con f = Tenemos que probar que el límite coincide con ese valor: cos sen lím = ] = lím = lím sen = 8 [ 8 8 L Hôpital Como sí coincide, la función es continua en = y, por tanto, es continua en todo 9 SOLUCIONARIO

38 PAU 7. Calcula la función f cuya gráfica pasa por el punto, es decir, f = y que tiene como derivada la función: f' = + Hallamos la primitiva: Como en el numerador está la derivada del denominador, es el logaritmo neperiano del denominador: f = d = L + + k + Para hallar el valor de k, le ponemos la condición de que pasa por el punto, f = f = L + + k = L + + k = L + k = + k = k Por tanto, k = f = L + + = ò y = / ò A, / f '' = + f '' = / > + ò A, / Mínimo relativo = ò y = 7/ ò B, 7/ f '' = / < ò B, 7/ Máimo relativo Puntos de infleión: f '' = + f '' = ò = ò = ò ò = ò =, =, = = ò y = ò C, + f ''' = + f ''' =? ò C, Punto de infleión = ò y = ò D, f ''' = /? ò D, Punto de infleión + + = ò y = ò E, + f ''' = /? ò E, Punto de infleión 8. Resuelve las siguientes cuestiones: a Halla los máimos y mínimos relativos y los puntos de infleión de la función: f = b Determina una función F tal que su derivada sea f y además F = a Máimos y mínimos relativos y puntos de infleión: Máimos y mínimos relativos: + f ' = + f ' = ò + = ò = ò =, = b Hallamos la primitiva: = + + F = + + d = d = = + L + + k Para hallar el valor de k, le ponemos la condición de que F = F = + / L + + k = + L + + k = = L + k = + k = k Por tanto k = F = + / L + + BLOQUE III. ANÁLISIS 9

39 Problemas propuestos 9. Dada la función f = se pide: a dominio y cortes con el eje b asíntotas verticales calculando los límites laterales. c asíntotas horizontales y oblicuas. d intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos. e representación gráfica aproimada. a Dominio: por ser una función racional tenemos que ecluir las raíces del denominador. Domf = {, } «, «, +@ Corte con los ejes: f = = ò =, = Corta al eje en los puntos A, ; B, c Asíntotas horizontales y oblicuas: Asíntota horizontal: h = lím = = k = lím = = 8 +@ Asíntota horizontal: y = Asíntotas oblicuas: no tiene. Para que una función racional tenga asíntota oblicua, el grado del numerador debe ser una unidad mayor que el grado del denominador. d Máimos y mínimos relativos: f ' = + El numerador nunca se anula. No tiene máimos ni mínimos relativos. Monotonía: Tenemos que marcar las discontinuidades de la primera derivada, =, =, que tienen de multiplicidad, es decir, par. f' Creciente «, «, +@ Decreciente : Ö e Gráfica: b Asíntotas verticales: =, = = lím = = 8 + lím 8 + lím 8 lím 8 + = + 8 +@ = + = = + = + = = = = 8 +@ = + = = + + = + +. En un terreno con forma de semicírculo de radio metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan metros. Obtén razonadamente: a el área del rectángulo en función de b el valor de para el que el área del rectángulo es máima. 9 SOLUCIONARIO

40 PAU y a Llamamos a la mitad de la base del rectángulo. Área del rectángulo en función de Planteamiento: Área, y = y Condiciones: + y = Despejamos y de la condición: y = ò y = A, y = b Hallamos derivando: A' = ò = ò ò = ò = ò =, = = no tiene sentido; es una longitud. = ò y = A' = A'' = 8 < Máimo relativo El rectángulo tiene de base metros, y de altura, metros. BLOQUE III. ANÁLISIS 9