Estadística 1 - Curso 2010

Transcripción

1 Estadística - Curso 00 Profesor: Jorge Ponce Ayudantes: Luis Freda y Pablo Miguez Facultad de Ciencias Económicas y de Administración Universidad de la República Montevideo, agosto-diciembre 00 (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

2 Momentos y otras medidas de resumen Introducción Medidas de posición esperanza (media) percentiles mediana Medidas de dispersión desviación media varianza desvío estándar (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

3 Esperanza: E(X) o µ X (valor esperado, valor medio, media) Esperanza Es una medida de la tendencia central de una variable aleatoria X E(X) = p X (), Rec(X) si X es discreta E(X) = + f X ()d, si X es absolutamente continua (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 3 /

4 Esperanza: E(X) o µ X Ejemplo p X () = 6 = 0 6 = 6 = 0 en otro caso p X () E(X) = E(X) = Rec(X) p X () = = (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

5 Esperanza: E(X) o µ X Otro ejemplo: ruleta p Y (y) = p Y (y) y = y = en otro caso y E(Y) = y Rec(Y) yp Y (y) = = E(X) = (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 5 /

6 Esperanza: E(X) o µ X Otro ejemplo: una variable aleatoria absolutamente continua f X () b a f X () = { b a si a b 0 en otro caso a E(X) = a+b b E(X) = + f X()d = a 0d + b a b a d + + b = b a b a = b a b a = a+b 0d (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 6 /

7 Esperanza de una función de variable aleatoria E [g(x)] E [g(x)] = g(x)p X (), Rec(X) si X es discreta E [g(x)] = + g(x)f X ()d, si X es absolutamente continua Ejemplo: g(x) = X [ E X ] = Rec(X) p X (), si X es discreta [ E X ] + = f X ()d, si X es absolutamente continua (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 7 /

8 Propiedades de la esperanza Si g(x) = c, entonces Si g(x) = cx, entonces E [g(x)] = E [c] = c 3 Si g(x) = ah(x) + b, entonces E [g(x)] = E [cx] = ce [X] E [g(x)] = E [ah(x) + b] = ae [h(x)] + b (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 8 /

9 Propiedades de la esperanza (cont.) E [g(x) + h(x)] = E [g(x)] + E [h(x)] 5 E [g(x) + h(y)] = E [g(x)] + E [h(y)] E [X + Y] = E (X) + E (Y) (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 9 /

10 Sensibilidad de la esperanza a valores etremos Ejemplo De un grupo de estudiantes se etrae uno al azar. X= número de veces que dio eamen de una materia en particular Estudiante A B C D 3 = p X () = = 0 en otro caso E(X) = 3 + = 5 Estudiante A B C D 0 = p X () = = = 0 0 en otro caso E(X) = = 6 (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 0 /

11 Mediana: 0,5 Mediana El mínimo Rec{X} tal que F X ( 0,5 ) 0,5 3 = p X () = = 0 en otro caso p X () = = = = 0 0 en otro caso F X () 3 E(X) = 3 + = 5 0,5 = E(X) = = 6 F X () 3 0,5 = 0 (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

12 Mediana: 0,5 Ejemplo con una v.a. absolutamente continua f X () b a f X () = { b a si a b 0 en otro caso 0,5 a b E(X) = a+b 0,5 = E(X) = a+b F X () a 0,5 = a+b b Si una variable aleatoria absolutamente continua es simétrica respecto a su media, entonces su media es igual a su mediana. Es esto válido si la variable aleatoria es discreta? (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

13 Simetría no es suficiente para garantizar E(X) = 0,5 en variables aleatorias discretas p X () 0 3 F X () E(X) =,5 0,5 = (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 3 /

14 Percentil, cuartil y mediana Mediana: 0,5 El mínimo Rec{X} tal que F X ( 0,5 ) 0,5 Percentil: p El mínimo Rec{X} tal que F X ( p ) p, p [0, ] Cuartiles: 0,5, 0,50, 0,75 Los percentiles correspondientes a p = 0,5, p = 0,50 y p = 0,75 F X () = { 0 si < 0 e si 0 0,9 =? F X ( 0,9 ) = e 0,9 = 0,9 e 0,9 = 0,9 0,9 = ln( 0,9) 0,9,557 (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

15 Percentiles: resumen F X () 3 F X () 0,5 = F X () F X () a 0,5 = c c d b a 0,5 = a+b b 0,5 0, 0, , = = 0,5 = 3 (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 5 /

16 Medidas de dispersión Desviación media Desviación media E( X µ X ) p X () p Y (y) 0 3 y E(X) = µ X =,5 E(Y) = µ Y =,5 Desviación media de X es Desviación media de Y es (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 6 /

17 Medidas de dispersión Varianza Varianza: V(X) o σ X E [(X µ X ) ] p X () p Y (y) 0 3 y E(X) = µ X =,5 E(Y) = µ Y =,5 V(X) = 5 V(Y) = (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 7 /

18 Varianza V(X) = E [(X µ X ) ] V(X) 0 V(X) = E [ (X µ X ) ] = E(X µ X X + µ X ) = E(X ) E(µ X X) + E(µ X ) = E(X ) µ X E(X) + µ X = E(X ) µ X µ X + µ X = E(X ) µ X V(X) = E(X ) µ X (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 8 /

19 Varianza Ejemplo con una v.a. absolutamente continua f X () = { b a si a b 0 en otro caso [ V(X) = E (X µ X ) ] = E(X ) µ X f X () b a E(X ) = f X ()d = b a b a d = 3 b a 3 b a = b 3 a 3 b a 3 a b E(X) = µ X = a+b V(X) = b 3 a 3 b a 3 = (b a) [ ] a+b (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 9 /

20 Esperanza y varianza de Y = ax + b E(aX + b) = ae(x) + b E(Y) = E(aX + b) = ae(x) + b V(aX + b) = a V(X) V(Y) = V(aX + b) = E {[ax + b E(aX + b)] } = E {[ax + b ae(x) b)] } = E {[a(x E(X))] } = E [ a (X E(X)) ] = a E [ (X E(X)) ] = a V(X) (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 0 /

21 Medidas de dispersión Desvío Estándar Desvío Estándar: σ X σ X = V(X) = σx (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /

22 Tipificación o estandarización Tipificación o estandarización Dada una variable aleatoria X cualesquiera, la variable aleatoria Z X E(X) V(X) = X µ X σ X es la variable tipificada o estandarizada de X. La variable aleatoria Z es tal que E(Z)=0 V(Z)= E(Z) = E [ ] X E(X) V(X) V(Z) = V [ ] X E(X) V(X) = E(X) E(X) = 0 V(X) = V(X) ( V(X) ) = (FCEyA) Estadística - Curso 00 Agosto-diciembre 00 /