5 Variables aleatorias contínuas

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1 5 Variables aleatorias contínuas Año 202 Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo de números reales.. Función de densidad. La función de densidad de una variable aleatoria continua es una función f que cumple f(x) 0; Z f(x)dx = : (3) (comparar con (8)) y para todo a < b F (b) F (a) = P (a < X b) = Z b a f(x)dx: (4) Entonces es evidente que para una variable aleatoria continua: P (a < X < b) = P (a X b) La relación entre la función de densidad y la función de distribución está dada por: F (x) = P (X x) = Z x f(y)dy; de donde se deduce que la función de distribución de una variable aleatoria continua, es una función continua en todas partes; y que la función de densidad es la derivada de la función de distribución, en todos los puntos en los que esta última sea derivable: f(x) = df (x) dx : 5. Esperanza de una variable aleatoria continua La esperanza o media de una variable continua con función de densidad f; es EX = Z xf(x)dx: 28

2 cuando esta integral está de nida. Si X es una variable aleatoria continua con densidad f y h es una función cualquiera, h(x) es una variable aleatoria cuya esperanza se calcula como: Eh(X) = Z h(x)f(x)dx cuando esta integral está de nida. La propiedad de linealidad del valor esperado también vale para variables aleatorias continuas, así como la de nición y propiedades de la varianza, y de la desviación típica. Para variables aleatorias continuas se de nen los cuantiles de la siguiente forma, para cualquier 0 < < ; el cuantil-, es el valor x(); tal que F (x()) = P (X x()) = Z x() f(x)dx = En particular, el cuantil-0:5 se llama mediana y es el valor e, tal que: F (e) = Z e f(x)dx = =2 Ejemplo 5. Sea X una v. a. con densidad dada por: f(x) = Obtener F (x) Gra car f(x) y F (x) Calcular F ( ), F (0) y F () Calcular P (0 X 0:5) 0:2 si x 0 0:2 + cx si 0 < x 0 en caso contrario Ejemplo 5.2 Sea X una v.a. con la siguiente función de distribución: F (x) = 0 si x < 0 x=8 si 0 x < 2 x 2 =6 si 2 x 4 si x > 4 29

3 Obtener la función de densidad para X Calcular P ( X 3) Calcular P (X :5) Realice los ejercicios de a Distribución uniforme Veamos un ejemplo muy simple: supongamos que una persona toma un colectivo para ir al trabajo, que pasa exactamente cada 5 minutos. Si sale de su casa sin tener en cuenta la hora, el tiempo X, que tiene que esperar en la parada es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en el intervalo [0; 5], la función de densidad para esta variable es: =5 si x [0; 5] f(x) = 0 en otro caso Es evidente que f(x) 0, para todo x; y que el área total bajo f(x) es igual a. La probabilidad de que tenga que esperar entre y 3 minutos es: P ( X 3) = R 3 dx = Se dice que esta variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [0,5] En general se dice que una variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo [a,b] (X s U[a; b]), si su función de densidad está dada por: f(x) = si x[a; b] b a 0 en otro caso esta función cumple: f(x) 0 para todo x; y R f(x)dx =. Calculemos la media y varianza de una variable aleatoria con distribución uniforme en [a,b]. EX = Z xf(x)dx = Z b a x b a dx = b 2 a 2 b a 2 = b + a 2 entonces la media de una distribución uniforme es el punto medio del intervalo. Para calcular la varianza, calculamos primero EX 2 = Z x 2 f(x)dx = Z b a x 2 b a dx = b 3 a 3 b a 3 30 = a2 + ab + b 2 3

4 entonces var(x) = EX 2 (EX) 2 = a2 + ab + b 2 3 (b + a) 2 4 = (b a)2 2 La función de distribución está dada por: 0 si x < a F (x) = x a si x[a; b] b a si x > b Para calcular la mediana e; podemos hacer: y despejando: F (e) = e a b a = =2 med(x) = e = b + a 2 en este caso la mediana y la media coinciden. Esto ocurre siempre que la distribución es simétrica. 5.3 Distribución exponencial Veamos otro ejemplo de variable aleatoria continua. Pensemos en un proceso temporal de Poisson, y consideramos el tiempo T transcurrido entre la presentación de dos eventos sucesivos. Ese tiempo T, es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor no negativo, y puede demostrarse que tiene función de densidad dada por: f(x) = e x si x > 0 0 si x 0 y se dice que tiene distribución exponencial con parámetro (X ()), donde es el valor medio del número de eventos por unidad de tiempo. Su función de distribución está dada por: F (t) = Z t f(x)dx = e t si t > 0 0 si t 0 3

5 Ejemplo 5.3 Supongase que se reciben llamadas en una línea telefónica de emergencias las 24 hs del día, según un proceso de Poisson con una tasa 0.5 llamadas por hora. Cuál es la probabilidad de que transcurran más de dos horas entre dos llamadas sucesivas? La variable aleatoria T; el tiempo (medido en horas) entre dos llamados sucesivos, tiene distribución exponencial con = 0:5. Entonces: P (T > 2) = P (T 2) = ( e 0:52 ) = 0:3679 La media y varianza de una variable exponencial están dadas por: ET = ; var(t ) = 2 luego Para calcular la mediana e F (e) = e e = =2 med(t ) = e = ln 2 en este caso puede verse que la mediana es menor que la media. Realice los ejercicios de 6 a La distribución normal La distribución normal típica (o normal N(0; )) tiene densidad '(z) = p 2 e z2 =2 se puede ver que esta función es simétrica respecto de 0 Si Z tiene esta distribución, entonces se prueba que EZ = 0; var(z) = Llamamos (z) a su función de distribución; entonces para todo a < b: P (a Z b) = (b) (a): 32

6 Por ser ' simétrica, la cumple ( z) = (z): (5) Las tablas de suelen incluir sólo las z 0; y los valores para z < 0 se obtienen usando (5). Por ejemplo, se obtiene de la tabla que (:02) = 0:846: Para calcular ( :02) se hace 0:846 = 0:539. Se deduce de (5) que los cuantiles de la N(0; ) cumplen y en particular la mediana z( ) = z(); (6) med(z) = e = z(0:5) = 0: La variable X tiene distribución normal con media y varianza 2 (que se indica N(; 2 )) si su función de densidad está dada por: f(x) = p 2 e (x )2 =2 2 puede verse que la grá ca de esta función es simétrica respecto de : También puede demostrarse que si X s N(; 2 ), entonces: E(X) =, V (X) = 2 Importante: La familia de distribuciones normales tiene la siguiente propiedad: si X s N(; 2 ), entonces para cualquier a 6= 0 y cualquier b, se veri ca que Y = ax + b s N(a + b; a 2 2 ) Entonces, variable normalizada Z = (X )= tiene distribución N(0; ): O sea que X s N(; 2 ) si X = + Z donde Z s N(0; ): (7) Ejemplo 5.4 Sea X s N(30; 4), se desea calcular P (28 < X < 3): 33

7 P (28 < X < 3) = P ((28 30)=2 < (X 30)=2 < (3 30)=2) = = P ( < Z < =2) = (0:5) ( ) = (0:5) ( ()) = = 0:695 ( 0:843) = 0:5328 En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con distribución N(; 2 ); se la lleva al caso N(0; ), trabajando con Z = (X )=: Su función de distribución es entonces F (x) = P (X x) = P y por lo tanto, si a < b : P (a X b) = F (b) Z x b F (a) = x = a ; De aquí se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con distribución normal, la probabilidad de que X esté dentro de desvío estándar de su media es: P ( < X < + ) = () ( ) = 0:6826 P ( 2 < X < + 2) = (2) ( 2) = 0:9544 y P ( 3 < X < + 3) = (3) ( 3) = 0:9974 : Usando (7), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribución N(; 2 ) cumplen x() = + z(); (8) donde z() son los cuantiles de N(0; ): En particular, la mediana de una X s N(; 2 ) es med(x) = x(0:5) = Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable normal X con media 5 y desviación 2. De la tabla: (0:84) = 0:7995 y (0:85) = 0:8023: Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0:843; y por lo tanto x(0:8) = :843 = 6:686: Para el otro cuantil, usamos z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0:843 = 3:34: Realice los ejercicios de a 4 34

8 6 "Propagación de errores": Funciones de una variable Cuando se realiza cualquier medición, siempre se cometen de errores. Los errores pueden ser sistemáticos, como en el caso de una balanza mal calibrada que siempre da un valor superior al verdadero, o pueden ser aleatorios. En muchas situaciones los errores sistemáticos deben ser eliminados, por ejemplo calibrando correctamente la balanza, en otras cuando se conoce la magnitud del error, puede corregirse el resultado de la medición sumando (o restando según sea el caso) el valor del error sistemático. Los errores que podemos tratar en estadística son los errores aleatorios. Debido a los errores aleatorios cuando repetimos una medición, en idénticas condiciones, los resultados de esas mediciones no son constantes, y uctúan alrededor de un valor medio. Este tipo de error no puede ser eliminado. Entonces, consideremos el resultado de una medición, como una variable aleatoria X = a + ", donde a es el verdadero valor de la magnitud que se está midiendo y " es el error aleatorio, que en general, podemos suponer que tiene distribución normal con media 0 (esto indica que es igualmente probable que el error sea positivo o negativo) y varianza 2, el valor de la varianza depende de la precisión del método de medición. Resumiendo, consideramos el resultado de una medición como una variable aleatoria: X = a + ", donde a es el verdadero valor y " N(0; 2 ) (9) o lo que es equivalente: X N(a; 2 ), donde a es el verdadero valor (20) En muchos casos interesa conocer el valor de una medición indirecta, es decir se está midiendo x, pero se desea conocer f(x), y también interesa conocer cual es el error en la medición indirecta f(x), esto es lo que denominamos "propagación de errores". Por ejemplo, sabemos que la absorbancia a de una solución es el negativo del logaritmo (decimal) de su transmitancia t : a = log t: Se tiene una medición de t con error, representada por una variable aleatoria X con media t y desviación ; entonces la absorvancia también es una variable 35

9 aleatoria Y : Y = log X: (2) Con estos elementos se desea calcular la desviación típica de Y; sabiendo que t = 0:50; = 0:00: Para resolver este problema, lo plantearemos de modo más general, sea una variable aleatoria Y que es función de otra variable X : Y = h(x); donde X tiene media y desviación ; buscaremos una forma de aproximar su media y su varianza. La aproximación de la serie de Taylor a h(x) en un entorno de es: h(x) ' h() + h 0 ()(X ) (22) El lado derecho de esta ecuación es una función lineal de X. Si la distribución de X está concentrada en un intervalo sobre el que la función h sea aproximadamente lineal, entonces (22) es una buena aproximación de Y; y puede usarse para aproximar los valores de E(Y ) y dt(y ); utilizando (22) y (9): E(h(X)) ' h() + h 0 ()E(X ) = h() del mismo modo, usando (22)y (0): dt(h(x)) ' jh 0 ()j dt(x) Por ejemplo, si Y = X 2 ; es h(x) = x 2 ; por lo tanto h 0 (x) = 2x; y en consecuencia dt(y ) 2 jj : En el caso (2) es = t; y h(x) = h 0 (x) = (con e = 2:7828::::); lo que da EY log 0:50 = 0:30; dt(y ) log x; por lo tanto log e x = 0:434 x 0:434 0:00 0:50 = 0:0008: Realice el resto de los ejercicios 36

10 Práctica 3. Sea X una variable aleatoria con densidad dada por: f(x) = c(2 x) si 0 x 2 0 en caso contrario (a) Determinar el valor de c y gra car f(x) (b) Obtener y gra car F (x) (c) Calcular P ( X 2) (d) Calcule E(X) y V (X) (e) Sea Y = 2X 3, cuál es la E(Y )? (f) Calcular el 80-percentil. (el cuantil-0:80) 2. El tiempo de reacción (en segundos) a cierto estímulo es una variable aleatoria X con función de distribución dada por: 0 si x < F (x) = (3=2)( =x) si x 3 si x > 3 (a) Calcular la función de densidad f(x) y gra car. (b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción sea a lo sumo 2,5 segundos? entre,5 y 2,5 segundos? (c) Calcular el tiempo esperado de reacción y la mediana. (d) Calcular la desviacón estándar del tiempo de reacción (e) Sea Y = X 3, calcular E(Y ) 3. El tiempo de vida (en horas) de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua con función de densidad dada por f(x) = 0 si x 00 00=x 2 si x > 00 (a) Veri car que ésta es una función de densidad. (b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reemplazado antes de las 50 horas de operación 37

11 (c) Puede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos? (d) Puede calcular la mediana del tiempo de vida de estos tubos? (e) Determinar el valor tal que el tiempo de vida del 90% de los tubos de radio de ese tipo sea inferior a ese valor (el 90-percentil) 4. Sea X la temperatura a que tiene lugar cierta reacción química, y sea su densidad: f(x) = (4 9 x2 ) si x 2 0 en otro caso (a) Gra car f(x) (b) Hallar la función de distribución y gra carla (c) Es 0 la temperatura mediana a que se realiza la reacción química?. Si no es así, la temperatura mediana es menor o mayor que 0? (d) Suponga que esta reacción química se realiza en 0 laboratorios en forma independiente, y que la función de densidad de la temperatura de reacción es la misma en cada laboratorio. Sea Y el número entre estos 0 laboratorios en los que la temperatura de la reacción es superior a. Qué distribución tiene esta variable aleatoria? 5. Para ciertas muestras de minerales, la proporción de impurezas por muestra es una variable aleatoria Y, con densidad dada por: f(y) = (3=2)y2 + y si 0 y 0 en caso contrario El valor de cada muestra es U = 5 0:5Y. Encontrar E(U) y V (U) 6. Suponga que la temperatura de reacción X (en o C) de un cierto proceso químico tiene una distribución uniforme en [70; 95]. Calcular: (a) P (X < 80), P (75 < X < 90) (b) Calcular la media y la varianza de X (c) Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté dentro de desvío estándar del valor medio? 38

12 7. La duración de cada operación que realiza cierta máquina puede representarse mediante una v.a. uniforme de media 0 segundos y varianza 3 seg2. Cuántos segundos tarda como mínimo, el 75% de las veces? 8. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una lámpara está exponencialmente distribuida con media 0. Supongamos que una persona entra en una habitación donde hay una lámpara encendida. (a) Cuál es la probabilidad de que la lámpara dure menos de 6 horas? (b) Cuál es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la persona desea trabajar 5 horas? (c) Cuál es la probabilidad de que dure entre 4 y 8 horas? 9. Sea X el tiempo (en minutos) entre dos llegadas sucesivas a un servicio de emergencias. Si X tiene distribución exponencial con = 0; 25. Calcular: (a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas. (b) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sea menor de 0 minutos 0. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 6 años. Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?. La variable Y tiene distribución normal típica. Calcular las probabilidades de (a) Y 2; 23, (b) Y > ; 35, (c) 0; 5 < Y < ; Calcular: (a) la mediana y los cuartiles de una variable con distribución normal tipica (b) Idem, para la distribución N(0; 36) (c) Para esta última, calcular los percentiles del 0% y del 90%. 39

13 3. En determinada población la presión arterial diastólica entre mujeres de 8 a 74 años se encuentra distribuida normalmente con una media de = 77 mmhg y una desviación estándar de = ; 6 mmhg (a) Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga una presión arterial diastólica menor de 60 mmhg? (b) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica mayor de 90 mmhg? (c) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica entre 60 y 90 mmhg? 4. Una fábrica produce tornillos, las especi caciones indican que el diámetro de los mismos debe estar entre ; 9 y ; 2 pulgadas. Si el proceso de producción es tal que el diámetro de los tornillos es una variable aleatoria con distribución normal con media ; 96 y desviación estandar 0; 005: Qué porcentaje de la producción no satisface las especi caciones? 5. Si el voltaje v en un medio es jo, pero la corriente I es aleatoria, entonces la resistencia (R = v=i) también será aleatoria. Si I = 20 y I = 0:5, calcule los valores aproximados de R y R. 6. Se desea calcular el volumen de un tanque, sabemos que el radio de la base circular es la mitad de la altura. Se mide la altura y el resultado es 2m, esta medición tiene un error aleatorio con = 0:m. Calcular aproximadamente la desviación típica del error del cálculo del volumen del tanque. 7. Un sistema consta de 5 componentes idénticos conectados en serie. Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga que cada componente tiene una duración que está distribuida exponencialmente con = 0; 0 y que dicha duración es independiente para cada componente. De na A i ={i-ésimo componente dura por lo menos t horas}, i = ; :::; 5 (estos A i son eventos independientes). Sea X = el tiempo en que falla el sistema (esto es la duración más breve entre las cinco componentes) (a) El evento (X t), es equivalente a qué evento donde aparecen las A i? 40

14 (b) Por medio de la independencia de las A i, calcule P (X t). Luego obtenga F (t) = P (X t) y la densidad de X 8. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) es una varable aleatoria X con densidad dada por: f(x) = 2( =x2 ) si x 2 0 en caso contraio (a) Calcular la función de distribución. (b) Calcular la mediana. (c) Calcular E(X) y V (X) (d) Si al principio de la semana hay 2300 galones en existencia y no se recibe nuevo suministro durante la semana, cuántos galones se espera que queden al terminar la semana? 9. Se ha estudiado el volumen corpuscular medio eritrocitario (VCM) en pacientes con posible diagnóstico de anemia ferropénica como indicador de esta patología, el verdadero diagnóstico se establece con biopsia de médula osea. Para simpli car, suponemos que los valores de VCM en la población siguen ua distribución normal. En una población de pacientes con diagnóstico con rmado de anemia ferropénica se ha estimado = 73 y = 6;. En una población donde se ha descartado ese diagnóstico se ha estimado = 82 y = 5; 9: Si se utilza un valor del VCM inferior a 75, para diagnosticar anemia ferropénica. (a) Cuál es la sensibilidad de este método? Esto es: cuál es probabilidad de diagnosticar correctamente un paciente que tiene anemia ferropénica? Cuál es la probabilidad de un falso positivo? (b) Cuál es la especi cidad? Esto es la probabilidad de clasi car correctamente a un paciente sin anemia ferropénica Cuál es la probabilidad de un falso negativo? (c) Cómo cambiarían esos valores si el valor de corte fuera 80, y si fuera 85? 4