Tema 6: Características numéricas asociadas a una variable aleatoria. Función generatriz de momentos

Transcripción

1 Tema 6: Características numéricas asociadas a una variable aleatoria. Función generatriz de momentos. Introducción En este Tema 6. construiremos y estudiaremos una serie de parámetros o características numéricas asociadas a una variable aleatoria, y que dependen básicamente de la distribución de probabilidad que presente dicha variable aleatoria. El estudio se restringirá básicamente a dos tipos de variables aleatorias, las discretas y las absolutamente continuas. Aunque empleando recursos matemáticos avanzados como la integral de Lebesgue, o la integración de Riemann- Stieltjes, es posible realizar un estudio unificado para ambos tipos de variables aleatorias, nosotros, al no disponer de estas herramientas, realizaremos el estudio separadamente Como hemos visto en temas anteriores, la distribución de una variable aleatoria discreta, X, puede ser caracterizada por su función de probabilidad, P [X = x k ] = p k > 0, x k S, donde S es un conjunto numerable [finito o infinito]. Si la variable aleatoria, X, es absolutamente continua, su distribución queda caracterizada por la función de densidad, f. Emplearemos pues esta notación. Como es usual, supondremos en todo el tema la existencia de un espacio de probabilidad (Ω, F, P ), y que las variables aleatorias están definidas sobre el espacio muestral Ω. 2. Esperanza matemática de una variable aleatoria Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria discreta con función de probabilidad, p k = P [X = x k ], x k S Si la serie x kp k es absolutamente convergente, entonces definimos la esperanza matemática de X como, E[X] = x k p k OBSERVACIÓN: El requerimiento de la convergencia absoluta, es decir, x k p k = x k p k < + asegura la convergencia de la serie x kp k, y puede escribirse como E[ X ] < + para simplificar la notación. De esta forma, decir que E[X] existe es equivalente a decir que E[ X ] < +. Observemos también que el caso de ser S finito desaparecen todos los problemas de convergencia y siempre existe la esperanza matemática. Otras formas de denominar este valor son esperanza de X, valor esperado de X, valor medio de X ó media de X. Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad f. Si la integral impropia xf(x)dx es absolutamente convergente, entonces definimos la esperanza matemática de X como, + E[X] = xf(x)dx = xf(x)dx

2 OBSERVACIÓN: El requerimiento de la convergencia absoluta, es decir, xf(x) dx = x f(x)dx < + asegura la convergencia de la integral xf(x)dx, y puede escribirse como E[ X ] < + para simplificar la notación. De esta forma, decir que E[X] existe es equivalente a decir que E[ X ] < +. Resultado (Propiedades de la esperanza matemática). En las condiciones de la definición anterior, se verifican,. Si M [0, + ) tal que P [ X M] =, es decir, la variable aleatoria X está acotada con probabilidad, entonces E[X] [ M, M]. 2. Si P [X 0] = y E[X] entonces E[X] Si X : Ω es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad, p k = P [X = x k ], x k S, g : una función medible Borel, e Y = g X verifica que E[Y ] existe, entonces, E[Y ] = g(x k )p k 4. Si X : Ω es una variable aleatoria absolutamente continua con función de densidad f, g : es una función medible Borel, e Y = g X verifica que E[Y ] existe, entonces, E[Y ] = g(x)f(x)dx 5. Si E[ X ] < + y a, b entonces E[aX + b] y es E[aX + b] = ae[x] + b. En particular, si a = 0, se tiene que la variable aleatoria ax + b = b verifica E[b] = b. Así, la esperanza matemática de una constante [variable aleatoria constante] es dicha constante. 6. Si g, h : son medibles Borel y las variables aleatorias discretas g(x) y h(x) verifican que E[g(x)] y E[h(X)] existen, entonces existe E[h(X) + g(x)] y verifica E[h(X) + g(x)] = E[g(X)] + E[h(X)]. Ejemplo. Esperanza de algunas variables aleatorias,. ( Sea X una variable aleatoria discreta con soporte S = {0,,..., n} y función de probabilidad p k = P [X = k] = n ) k p k q n k, siendo n IN, k {0,,..., n}, p (0, ), q = p. Recordemos que este el el conocido modelo binomial, EXPLICADO POR EL PROFESOR EN EL TEMA 5. Como éste explicó, una variable aleatoria [discreta] con esta función de probabilidad se dice que es de tipo binomial, o que se distribuye según una distribución binomial, o que es binomial, etc, etc, etc. Para indicarlo, se suele escribir X Bi(n, p). Obviamente tiene esperanza [suma finita], siendo E[X] = np. En efecto, E[X] = n ( ) n k p k q n k = np k n k= (n )! (k )!((n ) (k ))! pk q (n ) (k ) = (..hacemos k = j...) n (n )! = np j!((n ) j)! pj q (n ) j = np(p + q) n = np j=0 2. Sea X una variable aleatoria discreta con soporte S = IN {0} y función de probabilidad, p k = P [X = k] = e λ λk, k = 0,,... λ > 0 k! 2

3 Como también anticipamos en el Tema 5, una variable aleatoria [discreta] con esta función de probabilidad se dice que es de Poisson o que se distribuye según el modelo de Poisson. Para indicarlo, se suele escribir X P(λ). Obviamente tiene esperanza, siendo, E[X] = λ λk ke k! = e λ λ k= λ k (k )! = e λ λe λ = λ 3. Sea X una variable aleatoria discreta con soporte S = IN y función de probabilidad p k = P [X = x k ] = 2/3 k, k IN, siendo x k = ( ) k+ 3 k /k. Observemos que, x k p k = ( ) k+ 2 k k IN k= que es una serie convergente [serie alternada, criterio de Leibnitz]. Sin embargo no es absolutamente convergente ya que, 2 x k p k = k k que es divergente. Así, X no posee esperanza matemática, aunque lo parezca. Ejemplo extraído de Rohatgi (976). 4. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad, k= f(x) = λe λx I [0,+ ) (x), λ > 0, x Es el Ejemplo 7. del Tema 5. Como ya se explicó, este es el modelo exponencial [o exponencial negativo], y la variable X se dice distribuida exponencialmente. Obviamente, por la estructura matemática de f, existe la esperanza matemática, y es, xf(x)dx = xλe λx dx = (...por partes...) = λ 5. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad, 0 f(x) = π + x 2, x siendo muy fácil comprobar que f cumple las propiedades de una función de densidad. Además, por lo que, t t x π dx = (...integrando impar, intervalo simétrico...) = 0, t + x2 t lím x t t π sin embargo, no se verifica la convergencia absoluta pues, t t x π t + x 2 dx = 0 π que diverge si t. Por consiguiente, no existe E[X]. + x 2 dx = 0 2x + x 2 dx = ln( + t2 ) Este modelo de variable aleatoria se denomina modelo de Cauchy o distribución de Cauchy, y es un ejemplo típico de de distribución absolutamente continua para la que no existe la esperanza matemática. 3

4 3. Momentos de una variable aleatoria Definición. Dada una variable aleatoria, X : Ω, definimos, Momento de orden r respecto al origen: m r = E[X r ], r IN Momento central de orden r: µ r = E[(X E[X]) r ], r IN siempre que las correspondientes series o integrales sean absolutamente convergentes. OBSERVACIÓN: Si X es discreta, con función de probabilidad p k = P [X = x k ], x k S, tendremos, Momento de orden r respecto al origen: m r = E[X r ] = x r kp k r IN siempre que esta serie sea absolutamente convergente. Momento central de orden r: µ r = E[(X E[X]) r ] = (x k E[X]) r p k r IN siempre que esta serie sea absolutamente convergente. OBSERVACIÓN: Si X es absolutamente continua, con función de densidad f, tendremos, Momento de orden r respecto al origen: m r = E[X r ] = x r f(x)dx siempre que esta integral sea absolutamente convergente. r IN Momento central de orden r: µ r = E[(X E[X]) r ] = siempre que esta integral sea absolutamente convergente. OBSERVACIÓN: m = E[X] (x E[X]) r f(x)dx r IN Resultado. Si X : Ω es una variable aleatoria que verifica E[ X r ] < + con r IN, entonces E[ X s ] < +, s {, 2,..., r} Corolario. Si X : Ω es una variable aleatoria y existe el momento de orden r IN respecto al origen, entonces existen todos los momentos de orden inferior a r, respecto al origen. Resultado. Dada una variable aleatoria, X : Ω, y r IN, se verifica que existen los r momentos respecto al origen, m, m 2,..., m r, si y sólo si existen los r momentos centrales, µ, µ 2,..., µ r. 4

5 4. Varianza de una variable aleatoria Definición. Dada una variable aleatoria, X : Ω, E[X 2 ] < +, definimos la varianza de X como, V [X] = E[(X E[X]) 2 ] es decir, el momento central de orden 2. OBSERVACIÓN: Si X es discreta, con función de probabilidad p k = P [X = x k ], x k S, tendremos, V [X] = E[(X E[X]) 2 ] = (x k E[X]) 2 p k OBSERVACIÓN: Si X es absolutamente continua, con función de densidad f, tendremos, V [X] = E[(X E[X]) 2 ] = (x E[X]) 2 f(x)dx OBSERVACIÓN: La existencia de m 2 garantiza la existencia de V [X] = µ 2. Resultado (Propiedades de la varianza). En las condiciones de la definición anterior, se verifican,. V [X] 0 y además, V [X] = 0 a, / P [X = a] = Como caso particular, si X es constante, entonces su varianza es cero, lo que suele expresarse diciendo que la varianza de una constante es cero. 2. Si E[X 2 ] < + y a, b, entonces, 3. Si E[X 2 ] < + entonces, alcanzándose el mínimo precisamente en t = E[X] 4. Si E[X 2 ] < +, entonces V [X] = E[X 2 ] E 2 [X]. V [ax + b] = a 2 V [X] mín E[(X t) 2 ] = V [X] t OBSERVACIÓN: La propiedad 4 se suele emplear para el cálculo de V [X]. OBSERVACIÓN: En la práctica, la variable aleatoria X será un modelo matemático de cierta magnitud, que usualmente será cuantificable en ciertas unidades [de longitud, tiempo, etc]. Así, V [X] vendrá cuantificada en dichas unidades al cuadrado. Por esta razón se suele introducir otra medida dispersión, denominada desviación típica, y definida como, σ[x] = + V [X] Ejemplo 2. Sea X Bi(n, p) [MODELO BINOMIAL. EXPLICADO EN CLASE DE TEORÍA. TEMA 5]. Recordemos que E[X] = np [véase Ejemplo en este Tema]. Además, E[X(X )] = n ( n 2 n ( ) n 2 k(k ) )p k q n k = n(n )p 2 p l q n 2 l = n(n )p 2 (p + q) n 2 = n(n )p 2 k l l=0 se tiene pués E[X 2 ] = n(n )p 2 + np, de donde se deduce V [X] = npq y σ[x] = npq. 5

6 5. Desigualdades de Markov y Tchebycheff Resultado. Si X : Ω es una variable aleatoria, g una función real de variable real, medible Borel, con g() [0, + ), y tal que E[g(X)], entonces, ε + se verifica, P [g(x) ε] E[g(X)] ε Corolario (Desigualdad de Markov). Si tomamos g(x) = x r, ε = α r, α > 0, r > 0, la desigualdad del resultado anterior queda como, P [ X α] E[ X r ] α r que se conoce como Desigualdad de Markov. Corolario (Desigualdad de Tchebycheff). Si existe E[X 2 ] y V [X] 0, y tomamos g(x) = (x E[X]) 2, y ε = k 2 V [X], k > 0, la desigualdad del resultado anterior queda como, que se conoce como Desigualdad de Tchebycheff. P [ X E[X] kσ[x]] k 2 6. Otras características Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria discreta con función de probabilidad, p k = P [X = x k ], k K Se denomina moda de X [o moda de la distribución] a cualquier valor x m S tal que p m p k, x k S. Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria absolutamente continua con función de densidad f. Se denomina moda de X [o moda de la distribución] a cualquier valor x m tal que f(x m ) f(x), x. OBSERVACIÓN: En general, la moda no es única. Una distribución con una única moda se denomina unimodal, y en caso contrario, multimodal. Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria con función de distribución F. Se denomina mediana de X [o mediana de la distribución], a todo valor Me tal que, o de forma equivalente, 2 F (Me) + P [X = x] 2 P [X Me] 2 y P [X Me] 2 OBSERVACIÓN: En general, la mediana no es única. OBSERVACIÓN: Si F es continua, la mediana es la solución o las soluciones de la ecuación F (Me) = /2. Si además F es estrictamente creciente, dicha solución es única. Definición. Sea X : Ω una variable aleatoria con función de distribución F, y sea p (0, ). Se denomina cuantil de orden p de X [o de la distribución], a todo valor Q p tal que, p F (Q p )) p + P [X = Q p ] OBSERVACIÓN: En general, el cuantil de orden p no es único. OBSERVACIÓN: Si F es continua y estrictamente creciente, Q p es la única solución de F (Q p ) = p. OBSERVACIÓN: Q 0 5 = Me. OBSERVACIÓN: Los cuantiles Q 0 25, Q 0 5 y Q 0 75 se denominan cuartiles. OBSERVACIÓN: Los cuantiles Q 0 0, Q 0 02,..., Q 0 99 se denominan percentiles. 6

7 7. Simetría Definición. Diremos que la variable aleatoria X es simétrica respecto al origen [o también que su distribución es simétrica respecto al origen] si P [X x] = P [X x], x Nótese que la condición anterior es equivalente a F ( x) = F (x) + P [X = x]. Entonces, si X es discreta, P [X = x] = F ( x) + F (x), por lo que P [X = x] = P [X = x] x. Recíprocamente, si P [X = x] = P [X = x], x entonces resulta casi obvio que X es simétrica respecto al origen. En el caso de que X sea absolutamente continua con función de densidad f, la simetría respecto al origen es equivalente a F ( x) = F (x) de donde, derivando, queda f( x) = f(x), x. Recíprocamente, si f( x) = f(x), x entonces X es simétrica respecto al origen pues, P [X x] = x f(t)dt = (cambio t por t) = + x f( t)dt = + x f(t)dt = P [X x] Definición. Diremos que la variable aleatoria X es simétrica respecto a c [o también que su distribución es simétrica respecto a c] si X c es simétrica respecto al origen. Resultado. Si X es simétrica respecto al origen, r es impar y E[X r ] entonces E[X r ] = 0. Corolario. Si X es simétrica respecto a c, r es impar y E[X r ] entonces E[(X c) r ] = 0 Definición. Dada una variable aleatoria X con momento central de orden 3, µ 3 y desviación típica σ, definimos el coeficiente de asimetría como, γ = µ 3 σ 3 Notemos que si X es simétrica [respecto a E[X]] entonces γ = 0. Si γ > 0 diremos que la distribución de X es asimétrica a la derecha. Si γ < 0 diremos que la distribución de X es asimétrica a la izquierda. Definición. Dada una variable aleatoria X con momento central de orden 4, µ 4 y desviación típica σ, definimos el coeficiente de curtosis como, γ 2 = µ 4 σ 4 OBSERVACIÓN: El coeficiente de curtosis cuantifica el menor o mayor aplastamiento de la función de probabilidad o densidad asociada a la distribución. A mayor valor del coeficiente, menos plana [más apuntada] es la distribución, y viceversa. 8. Función generatriz de momentos Definición. Dada una variable aleatoria discreta, X : Ω, con función de probabilidad p k = P [X = x k ], x k S, si la serie [de términos no negativos] que define E[e tx ] es convergente en un entorno abierto de t = 0, diremos que la función así definida es la función generatriz de momentos de X, denotándose, M X (t) = e tx k p k Ejemplo 3. Sea X una variable aleatoria discreta con soporte S = {0,,..., n} y función de probabilidad p k = P [X = k] = ( n k) p k q n k, siendo n IN, k {0,,..., n}, p (0, ), q = p, o sea, el modelo binomial. Entonces [aquí no hay problemas de convergencia], M X (t) = n ( ) n e tk p k q n k = (pe t + q) n, t k 7

8 Definición. Dada una variable aleatoria absolutamente continua, X : Ω, con función de densidad f, si la integral [de integrando no negativo] que define E[e tx ] es convergente en un entorno de t = 0, diremos que la función así definida es la función generatriz de momentos de X, denotándose. M X (t) = E[e tx ] = e tx f(x)dx Ejemplo 4. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad, f(x) = λe λx I [0,+ ) (x), λ > 0, x o sea, el modelo exponencial [o exponencial negativo], entonces, M X (t) = λ + Nótese que si t λ la integral es divergente. 0 e tx e λx dx = λ + 0 e x(λ t) dx = λ λ t, t < λ OBSERVACIÓN: Observemos que si t = 0, la serie [la integral] siempre converge, siendo M X (0) =. No obstante, puede ocurrir que la serie [la integral] no sea convergente en ningún entorno abierto de t = 0, como muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo 5. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p k = P [X = k] = 6/(π k) 2, k IN. Se tiene, E[e tx ] = e kt 6 π 2 k 2 = 6 e kt π 2 k 2 k= que obviamente es divergente si t > 0, y por consiguiente no existe la función generatriz de momentos. Téngase en cuenta que si t = ε > 0, e kt > k 2 tomando k suficientemente grande por qué? Ejemplo 6. Sea X una variable aleatoria absolutamente continua, con función de densidad, Se tiene, f(x) = π M X (t) = k= + x 2, x e tx π + x 2 dx que diverge si t > 0, y por consiguiente no existe la función generatriz de momentos. Téngase en cuenta que si t = ε > 0, e tx > + x 2 tomando x suficientemente grande por qué? OBSERVACIÓN: En los dos ejemplos anteriores, la divergencia se deduce del hecho de ser la función exponencial, e x mayor que cualquier función polinómica de cualquier grado, para x suficientemente grande. OBSERVACIÓN: La condición de convergencia en un entorno abierto de t = 0 es equivalente a la existencia de h > 0, tal que la serie, o la integral, converge para t < h. Resultado. Si X es una variable aleatoria tal que M X (t) entonces, (a) m r = E[X r ], r IN, (b) E[X r ] = M r) r) X (0), siendo MX (0) la derivada de orden r de M X(t) en t = 0. Demostración. Como M X (t), esto significa que la serie, o la integral, correspondiente converge en un intervalo abierto que contiene a t = 0, es decir, h > 0 tal que dicha serie, o integral, converge si t < h. Supongamos pués que t ( h, h), con t 0 para decartar casos triviales. (a) En primer lugar, observemos que al ser convergente E[e tx ] con t ( h, h), también será convergente E[e tx ], y por consiguiente también lo será E[e tx ], es decir, con las notaciones usuales, para el caso discreto, e txk P [X = x k ] < + 8

9 y para el caso absolutamente continuo, e tx f(x)dx < + Por otra parte, por la propiedad de ser la función exponencial e x mayor que cualquier función polinómica tomando x suficientemente grande tendremos que, dado cualquier r IN, x 0 tal que x r < e tx, si x > x 0 Por contra, si x x 0 entonces x r x k 0 por lo que, trivialmente, tendremos que x r < C e tx siendo C una constante no negativa suficientemente grande. Entonces, sea cual sea x, tendremos, x r < (C + )e tx, x y de esta mayoración se deduce inmediatamente E[ X r ] < + y por lo tanto la existencia del momento de orden k, m r = E[X r ]. (b) Una vez demostrada la existencia, tendremos, por ejemplo para el caso discreto, M X (t) = e tx k p k y derivando k veces, obtenemos, M r) (t) = x r ke tx k p k por lo que M r) (0) = x r k p k = m r siendo similar para el caso absolutamente continuo, derivando bajo el signo integral. Ejemplo 7. Esperanza y varianza de X Bi(n, p). Sabemos [Ejemplo 3.] que M X (t) = (p e t + q) n, t. Entonces [NOTA: la varianza se calculado también, de otra forma, en el Ejemplo 2.], y por lo que E[X] = M X(0) = np(p e 0 + q) n e 0 = np E[X 2 ] = M X(0) = np[(n )p(p e 0 + q) n 2 + e 0 (e 0 p + q) n ] = n(n )p 2 + np V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = n(n )p 2 + np n 2 p 2 = np( p) = npq Ejemplo 8. Un experimento tiene dos resultados posibles, Éxito, con probabilidad p, y Fracaso, con probabilidad q = p. Se repite el experimento tantas veces como sea necesario para obtener Éxito por primera vez. Se supone que las repeticiones son independientes entre si. Sea X la variable aleatoria igual al número de pruebas [Fracasos] previas o anteriores al primer Éxito. Obviamente X es discreta con soporte IN = IN {0} siendo su función de probabilidad, P [X = k] = q k p, k IN Diremos que X tiene una distribución geométrica de parámetro p y lo abreviamos X Ge(p). Su función generatriz de momentos sería, M X (t) = e tk q k p = (qe t ) k p p = qe t, siempre que se cumpla qet < siendo la condición de convergencia, qe t < equivalente a t < ln(q). Calculemos esperanza y varianza, por lo que, E[X] = M X(0) p = ( qe 0 ) 2 ( qe0 ) = q p E[X 2 ] = M X(0) q( + q) = cálculos rutinarios = p 2 V [X] = E[X 2 ] E 2 [X] = cálculos rutinarios = q p 2 9

10 Resultado (No se demuestra). La función generatriz de momentos de una variable aleatoria caracteriza de forma única su distribución de probabilidad. Bibliografía [] Gutiérrez, R., Martínez, A. y Rodríguez, C. (993). Curso básico de probabilidad. Pirámide. [2] Renyi, A. (976). Cálculo de probabilidades. Reverté. [3] Rohatgi, V.K. (976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. Wiley. 0