Preguntas más Frecuentes: Tema 8

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1 Preguntas más Frecuentes: Tema 8 Pulse sobre la pregunta para acceder directamente a la respuesta 1. En el ejemplo 8.1, por qué se escoge n =?. En el ejemplo 8.1, si n fuera igual a 3 habría que obtener todas las muestras posibles con tres elementos, es decir, 1,1,1; 1,1,; 1,1,3;...? Y con n = 4, tendríamos 1,1,1,1; 1,1,1,; 1,1,1,3;..? 3. En el ejemplo 8.1, la selección es aleatoria?, qué son esos valores de la tabla? 4. En la tabla del ejemplo 8.1, de dónde salen las medias? 5. En el ejemplo 8.1, cómo se obtienen los datos de la tabla de la página 54 y por qué? 6. En el ejemplo 8.1., cómo se calcula la varianza de la distribución muestral de la media? 7. En el desarrollo de la pregunta anterior, qué valores se elevan al cuadrado para que resulte 10? 8. Qué diferencia hay entre una muestra y la distribución muestral, ya sea de la media o de la proporción? 9. Qué significa el símbolo µ P en la página 59? 10. En la tabla 8.3, tiene que ver el símbolo π, que representa la proporción de la población, con 3,1416? 11. En el ejemplo 8. (página 63), se dice que z 1-α/ es función del nivel de confianza = 1 - α. Pues bien, en el ejemplo 8. el nivel de confianza es 0,95 y z 1-0,05/. De dónde sale 0,05? 1. En algunos ejercicios, el E máx se redondea (por ejemplo, en el ejemplo 8.3 en el que el E máx se redondea a 1) pero hay ejercicios en los que no. Se tiene que aproximar siempre al valor entero? 13. En el ejemplo 8.3, qué indica la última expresión de la página 65? 14. En el ejemplo 8.5, cuando buscamos el valor z correspondiente a 0,995 en la tabla IV nos encontramos que a,57 le corresponde 0,9949 y a,58 le corresponde 0,9951. En el ejemplo se escoge,58, por qué,58 y no,57? 15. En el ejemplo 8.5, el resultado de n es 17,04, se redondea a 17 o a 18? 16. En el ejercicio de autoevaluación 8.6 del libro, cómo se obtiene Z 1-α/? 1

2 17. Según la tabla 8.4 (página 74), cuando la desviación típica es desconocida podemos hallar el error de estimación máximo mediante la distribución normal o la distribución t de Student. No es más sencillo utilizar siempre la distribución normal? Por otra parte, hay alguna diferencia en la fórmula si se usa la desviación típica o la cuasidesviación típica? 18. En el ejercicio de autoevaluación 8.17 del libro, cómo se obtiene el nivel de confianza a partir de z 1-α/ =,58?

3 1. En el ejemplo 8.1, por qué se escoge n =? En este ejemplo hemos elegido n = pero podríamos haber elegido n = 3 o n = 4.. En el ejemplo 8.1, si n fuera igual a 3 habría que buscar todas las muestras posibles con tres elementos, es decir, 1,1,1; 1,1,; 1,1,3;...? Y con n = 4, tendríamos 1,1,1,1; 1,1,1,; 1,1,1,3;..? En efecto, si en el ejemplo 8.1 n fuera igual a 3, habría que obtener todas las muestras posibles de tamaño n = 3 y si n fuera igual a 4, habría que obtener todas las muestras posibles de tamaño n = 4. En el primer caso, para una población N = 5 y teniendo en cuenta que el muestreo es con reposición, obtendríamos 5 3 = 15 muestras y en el segundo, 5 4 = 65 muestras. Pero no veremos aquí estos casos, lo importante es que entendáis el concepto de distribución muestral y por ello hemos elegido un ejemplo sencillo con N = 5 y n =, por lo que tenemos 5 = 5 muestras que es mucho más manejable. 3. En el ejemplo 8.1, la selección es aleatoria?, qué son esos valores de la tabla? Extraemos de esa población N = 5, al azar y con reposición, todas las muestras posibles de tamaño n =. El conjunto de muestras posibles es: 1,1,1 3,1 4,1 5,1 1,, 3, 4, 5, 1,3,3 3,3 4,3 5,3 1,4,4 3,4 4,4 5,4 1,5,5 3,5 4,5 5,5 Es decir, al elegir al azar y con reposición todas las muestras posibles de dos elementos de la población N = 5, hay 5 = 5 muestras aleatorias posibles. Los valores de la población son 1,, 3, 4 y 5. En la primera celda aparece 1,1 lo que significa que tanto en la primera extracción como en la segunda el valor de la variable es 1, ten en cuenta que la selección es con reposición. Por lo tanto, la primera muestra está formada por el par 1,1. 3

4 4. En la tabla del ejemplo 8.1, de dónde salen las medias? Son las medias de los dos valores de cada extracción. Así en la primera fila, tenemos que los valores de en la muestra son 1 y 1, por lo que la media es igual a 1; en la segunda fila los valores de en la muestra son 1 y, por lo que la media es (1+)/ = 1,5, en la tercera fila son 1 y 3, por lo que la media es (1+3)/=, y así sucesivamente. 5. En el ejemplo 8.1., cómo se obtienen los datos de la tabla de la página 54 y por qué? La tabla de la página 54 recoge la distribución de frecuencias de la media y es un resumen de la tabla anterior (páginas 53-54). La primera columna ( x) recoge todos los valores posibles de la media. La segunda columna (n i ) recoge las veces que aparece cada valor de la media. Así, x = 1 aparece una vez por ello n i = 1, x = 1, 5 aparece dos veces por ello n i =. Y así sucesivamente, compruébalo comparando la tabla de la página con la tabla de la página 54. La tercera columna f(x) recoge la probabilidad asociada a cada valor de la media. Así, como x = 1 sólo aparece una vez, su probabilidad es 1/5 = 0,04. x = 1, 5 aparece dos veces por lo que la probabilidad asociada a ese valor es 1/5 + 1/5 = /5 = 0,08. Y así sucesivamente. A partir de la tabla de la página 54, es fácil calcular la media y la varianza de la distribución muestral de la media. La media y la varianza de una variable aleatoria se obtienen aplicando las fórmulas de las página 194 y 195 del Tema 6. Para calcular la media y la varianza de la distribución muestral de la media hay que sustituir en dichas fórmulas x por x y µ por µ. Así, obtenemos la media de la distribución muestral de la media aplicando: E () = µ = xf(x) Y podemos obtener la varianza de la distribución muestral de la media aplicando cualquiera de las dos fórmulas: x x = E( ) [E()] = x f(x) [ xf(x) ] σ = (x µ ) f(x) σ 4

5 6. En el ejemplo 8.1, cómo se calcula la varianza de la distribución muestral de la media? En la última tabla de este ejemplo (página 54) se muestra la distribución muestral de la media con su correspondiente función de probabilidad. La media igual a 3 y la varianza igual a 1 de la distribución muestral de la media se obtienen a partir de las fórmulas de las páginas 194 y 195, sustituyendo por. Para calcular la varianza de la distribución muestral de la media podemos aplicar: σ x = E( ) [E()] E( ) se obtiene elevando al cuadrado cada valor de la media y multiplicándolo por la probabilidad que le corresponde, f (x), por lo que E( ) = 10 [ E()] es la media de la distribución muestral de la media µ ) al cuadrado: ( E () = µ = xf(x) = 1 0,04 + 1,5 0,08 + 0, ,5 0, ,04 3 = [ E()] = 3 = 9 Así, σ x = E( ) [E()] = 10 3 = 1 7. En el desarrollo de la pregunta anterior, qué valores se elevan al cuadrado para que resulte 10? La esperanza matemática de la variable aleatoria manera: se obtiene de la siguiente E( ) = x f(x) = 1 0,04 + 1,5 0,08 + 0, ,5 0, ,04 = 10 La tabla siguiente, confeccionada a partir de la tabla de la página 54, ofrece todos los cálculos intermedios para calcular la media y la varianza de la distribución muestral de la media: 5

6 x n i f (x) x f(x) (x µ ) f(x) x x f(x) 1 1 0,04 0,04 0,16 1 0,04 1,5 0,08 0,1 0,18,5 0,18 3 0,1 0,4 0,1 4 0,48,5 4 0,16 0,40 0,04 6, ,0 0, ,8 3,5 4 0,16 0,56 0,04 1,5 1, ,1 0,48 0,1 16 1,9 4,5 0,08 0,36 0,18 0,5 1, ,04 0,0 0, Qué diferencia hay entre la muestra y la distribución muestral, ya sea de la media o de la proporción? La muestra es un subconjunto de la población, siendo la población el conjunto total de elementos en el que se estudia una o más características (por ejemplo, la conducta hiperactiva en niños) La distribución muestral de un estadístico es la distribución de probabilidad de ese estadístico. Por ejemplo, la distribución muestral de la media es la distribución de probabilidad de la media. En el texto se muestra mediante el ejemplo 8.1 (páginas 5-56) cómo se obtiene la distribución muestral de la media. Para ello, hemos de conocer todos los valores que toma la media en todas las muestras posibles (en este caso de tamaño n = ) y las veces que aparece cada uno de esos valores. Con ambos tipos de información, obtenemos la distribución muestral de la media. En el texto, como ejemplo para explicar el concepto de distribución muestral, presentamos la distribución muestral de la media pero podríamos, mediante el procedimiento expuesto, obtener la distribución muestral de otros estadísticos como por ejemplo la proporción. 9. Qué significa el símbolo µ P en la página 59? µ P es la media de la distribución muestral de la proporción y es igual a la proporción de la población (π), por lo que podemos escribir µ P = π 6

7 10. En la tabla 8.3., tiene que ver el símbolo π que represent a la proporción de la población con 3,1416? En el tema 8 (ver tabla 8.3 de la página 61): P es la proporción muestral y se define como P = n π es la proporción de la población y se define como π = N Así, el símbolo π hace referencia a la proporción de la población y no a la constante matemática con valor 3, En el ejemplo 8. (página 63), se dice que z 1-α/ es función del nivel de confianza = 1 - α. Pues bien, en el ejemplo 8. el nivel de confianza es 0,95 y z 1-0,05/. De dónde sale 0,05? Si consideramos la distribución normal, en la siguiente gráfica se recoge el nivel de confianza (que corresponde a la zona central de la curva). Si 1 α = 0, 95, α será 1-0,95=0,05 y corresponde a las dos zonas rayadas de la figura anterior. Por tanto, a cada lado de la curva quedará α / puesto que las dos zonas rayadas son iguales. z1 α / será la puntuación típica que dejará por encima de sí α / (0,05) y, por debajo de sí 1 α /, es decir 0,975 (0,95+0,05). 7

8 Mirando en la Tabla de la distribución normal (Tabla IV) vemos que la puntuación z que deja por debajo de sí 0,975 es 1,96. Este es el valor que se utiliza en el ejemplo En algunos ejercicios, el E máx se redondea (por ejemplo, en el ejemplo 8.3 en el que el E máx se redondea a 1) pero hay ejercicios en los que no. Se tiene que aproximar siempre al valor entero? Si en el enunciado de un problema dan el valor del E máx., calculamos los límites del intervalo con ese E máx.. En cambio, si para calcular los límites del intervalo debemos previamente obtener el valor del E máx., no es necesario el redondeo del error máximo. En el Ejemplo 8.3., como excepción, redondeamos a 1 porque 0,99 es prácticamente En el ejemplo 8.3, qué indica la última expresión de la página 65?. La última expresión es una aplicación de la expresión inmediatamente anterior e indica que la probabilidad de obtener un intervalo de confianza que contenga al parámetro µ en el que el error de estimación máximo es igual a 1, es igual a 0,95. En este ejemplo, el error de estimación máximo vale 1 (ver ejemplos 8. y 8.3). 14. En el ejemplo 8.5, cuando buscamos el valor z correspondiente a 0,995 en la tabla IV nos encontramos que a,57 le corresponde 0,9949 y a,58 le corresponde 0,9951. En el ejemplo se escoge,58, por qué,58 y no,57? En general, se coge el que más se acerca. No obstante, en este caso la distancia de 0,9949 y 0,9951 al valor 0,995 es la misma. Habitualmente, se escoge el valor z =, En el ejemplo 8.5, el resultado de n es 17,04, se redondea a 17 o a 18? Por regla general, y así lo hicimos en todos los ejemplos y ejercicios de autoevaluación del tema 8, para la obtención de n se redondea al entero superior. Redondear al 8

9 entero superior tiene el efecto de reducir el error de estimación máximo mientras que si redondeáramos al entero inferior lo aumentaríamos. En el ejemplo 8.5, hemos puesto directamente n = 17 porque el resultado de la operación es 17,04, y eso es prácticamente En el ejercicio de autoevaluación 8.6 del libro, cómo se obtiene Z 1-α/? Partimos de un nivel de confianza de 0,95. En probabilidad sería 0,95, es decir 1 -α = 0,95. Por lo tanto, α = 0,05. El sub índice de z 1-α/ se calcula de la siguiente manera: α 0,05 1 α / = 1 = 1 = 1 0,05 = 0,975 Por lo que z 1-α/ = z 0,975 y en la tabla IV, z 0,975 vale 1, Según la tabla 8.4 (página 74), cuando la desviación típica es desconocida podemos hallar el error de estimación máximo mediante la distribución normal o la distribución t de Student. No es más sencillo utilizar siempre la distribución normal? Por otra parte, hay alguna diferencia en la fórmula si se usa la desviación típica de la población o la cuasidesviación típica? Respecto a la segunda pregunta, si no se conoce la desviación típica de la población (σ), no tenemos opción, hay que utilizar la cuasidesviación típica (S n-1 ). Hay que tener en cuenta que la cuasidesviación típica no es la desviación típica de la población sino un estimador de la desviación típica de la población y que se calcula con los datos de una muestra. En cuanto a la primera pregunta, todos los casos están expuestos en ejemplos y ejercicios en el texto y recogidos en la Tabla 8.4. Así: Cando se desconoce σ por lo que utilizamos S n-1, la distribución de probabilidad que debemos usar es la distribución t de Student con n-1 grados de libertad. Por otra parte, la distribución t de Student se aproxima a la distribución normal cuando n es mayor o igual que 30. Por ello, si n es menor que 30, utilizamos la distribución t de Student con n-1 grados de libertad y si n es mayor o igual que 30, podemos utilizar la distribución normal. 9

10 18. En el ejercicio de autoevaluación 8.17 del libro, cómo se obtiene el nivel de confianza a partir de z 1-α/ =,58? En la tabla IV, a z 1-α/ =,58 le corresponde una probabilidad 1-α/ = 0,9951. α/ = 1-0,9951= 0,0049 α = 0,0049 x = 0,0098 0,01 n.c. = 1 α = 1 0,01 = 0,99 10