EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 6.

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1 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA Una variable aleatoria es discreta si entre dos valores consecutivos: A) existen infinitos valores intermedios; B) no existen valores intermedios; C) existen valores intermedios si el conjunto es infinito 6.. La función que asocia a cada valor de la variable la probabilidad de que ésta adopte ese valor o cualquier otro inferior es la función: A) aleatoria; B) de probabilidad; C) de distribución La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función que asocia una probabilidad a cada uno de los valores de la variable y que cumple que la suma de las probabilidades: A) es un valor cualquiera entre 0 y 1; B) es igual a 1; C) es mayor que Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta a aquella función que asocia, a cada valor de la variable, la probabilidad de que ésta adopte: A) ese valor; B) ese valor o cualquier otro inferior; C) ese valor o cualquier otro superior Los valores posibles de una variable aleatoria X son: 0, 1,, 3 y 4. Si todos los valores tienen la misma probabilidad, la probabilidad de que X sea menor o igual que 3 es: A) 0,0; B) 0,60; C) 0, Una variable aleatoria discreta X toma los valores 0, 1, y 3. Si sabemos que P(X > ) = 0,15 cuál es la probabilidad de que X sea igual a 3?: A) 0,15; B) 0,5; C) 0, Una variable aleatoria discreta X puede adoptar, con la misma probabilidad, los valores 1,, 3 y 4. Cuál es su esperanza matemática? A) 0,5; B) 1; C), La función de probabilidad de una variable X es: f(1)=0,5; f()=0,50 y f(3)=0,5. Su media vale: A) 0,5; B) ; C), Si lanzamos un dado al aire, cuyas caras están numeradas del 1 al 6, y definimos la variable aleatoria número obtenido, cuál es la esperanza matemática de esta variable? A) 1,83; B) 3,5; C) 7, La función de probabilidad de una variable X es: f(1)=0,5; f()=0,50 y f(3)=0,5. Su varianza vale: A) 0,5; B),5; C), Según la tabla 1, la probabilidad de obtener un valor menor o igual a es: A) 0,35; B) 0,50 C) 0, Con los datos de la tabla 1, la esperanza matemática de la variable X es: A) 7,55; B),55; C) 3 x F(x) 0,15 0,50 0,80 1 Tabla 1: Función de distribución de la variable aleatoria X 1

2 6.13. Con los datos de la Tabla, la función de distribución de la variable Número de horas diarias de estudio en casa es: A) 0,5; 0,65 y 1; B) 0,5; 0,40 y 0,35; C) 0,40; 0,60 y Con los datos de la Tabla, la esperanza matemática de la variable Número de horas diarias de estudio en casa es igual a: A) 0,70; B) 1,0; C) 1,1 Tabla : Función de probabilidad de la variable número de horas diarias de estudio en casa (X) que dedican los niños de quinto de primaria. x f(x) 0,35 1 0,40 0 0, Con los datos de la Tabla 3, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores mayores que 1 es: A) 0,; B) 0,4; C) 0, Considerando los datos de la Tabla 3, la función de distribución, F(x), para x = 1 es: A) 0,3; B) 0,4; C) 0, Considerando la Tabla 3, la esperanza matemática de la variable aleatoria X es: A) 1,1; B) 1,; C) 1,3 Tabla 3. Función de probabilidad de una variable X. x f(x) -1 0, 0 0,1 1 0, 0,3 3 0, Una variable aleatoria discreta X toma los valores 0, 1, y 3 y sabemos que P(X > ) = 0,5. La media de X: A) es 1,5; B) es ; C) no se puede calcular Cuál es la media de una variable aleatoria X que toma los valores 0, 1 y, con una probabilidad de 0,6, 0, y 0, respectivamente? A) 0,; B) 0,6; C) Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores 0,1, y 3. Si los valores son equiprobables, la desviación típica es igual a: A) 0,69; B) 0,5; C) 1, Con los datos de la Figura 1, la probabilidad de que la variable aleatoria X adopte valores mayores o iguales a 1 es: A) 0,; B) 0,5; C) 0,7. 6. Cuál es la media de la variable aleatoria X presentada en la Figura 1?: A) 0,5; B) 1,5; C),5. Figura 1. Representación gráfica de una variable aleatoria X. f(x) Cuál es la varianza de la variable aleatoria X presentada en la Figura 1?: A) 1,45; B),0; C) 3, X

3 6.4. La distribución binomial es un modelo de distribución de probabilidad para variables: A) discretas; B) continuas; C) tanto discretas como continuas 6.5. Una característica de una distribución binomial es que su varianza es igual: A) al número de ensayos multiplicado por la media; B) a la media multiplicada por la probabilidad de fracaso; C) al producto de la probabilidad de éxito por la probabilidad de fracaso 6.6. Lanzamos al aire 10 veces una moneda (no trucada), cuál es la probabilidad de que salgan 4 caras? : A) 0,051; B) 0,3770; C) 0, Si lanzamos al aire 10 veces una moneda (no trucada), la varianza de la variable aleatoria número de caras es: A),5; B) 4; C) Un antidepresivo causa efectos secundarios en el 5% de los pacientes que lo toman. Si elegimos al azar 8 pacientes entre los que toman el antidepresivo, la probabilidad de que ninguno de estos 8 pacientes tenga efectos secundarios es: A) 0; B) 0,1001; C) 0, Con los datos del ejercicio anterior, el número medio de pacientes que se espera tengan efectos secundarios es: A) 0; B) ; C) En un estudio sobre fobias concluyen que el 40% de la población adolescente con este problema presentan fobia social. Si elegimos al azar una muestra de 15 adolescentes, cuál es la probabilidad de que cinco de ellos padezcan este trastorno? A) 0,1859; B) 0,403; C) 0, Teniendo en cuenta la Situación 1, elegimos al azar 10 alumnos y definimos la variable aleatoria X como número de alumnos que cursan el Grado en Psicología, la media de X es igual a: A) ; B) 5; C) Teniendo en cuenta la Situación 1, si elegimos al azar 10 alumnos cuál es la probabilidad de que exactamente cursen el Grado en Psicología?: A) 0,0; B) 0,300; C) 0,5 Situación 1: El 0% de los alumnos de una determinada universidad cursan el Grado en Psicología (P). El 70% de ellos elige el itinerario de Psicología Clínica (C), el 0% el de Psicología Educativa (E) y el 10% el de Psicología del Trabajo (T) Teniendo en cuenta la Situación 1, si elegimos al azar 10 alumnos cuál es la probabilidad de que ninguno curse el Grado en Psicología?: A) 0,1074; B) 0,400; C) 0, Teniendo en cuenta la Situación, si definimos la variable X como número de personas que padecen Trastorno por Estrés Postraumático, cuánto vale la media de X?: A) 800; B) 900; C) Teniendo en cuenta la Situación, si definimos la variable X como número de personas que padecen Trastorno por Estrés Postraumático, cuánto vale la varianza de X?: A) 05; B) 495; C) 605 Situación. Se sabe que después de una catástrofe la probabilidad, entre los supervivientes, de padecer un Trastorno por Estrés Postraumático es 0,45. Ocurrida una catástrofe hay 000 supervivientes. 3

4 6.36. Teniendo en cuenta la Situación, si elegimos al azar 5 supervivientes, cuál es la probabilidad de que de ellos padezcan Trastorno por Estrés Postraumático?: A) 0,148; B) 0,466; C) 0, Se sabe que un 30% de las personas que acuden a una primera consulta en un centro de psicología clínica presentan un trastorno depresivo. Si elegimos al azar una muestra de 10 personas que acuden al centro, la probabilidad de que dos o más no tengan depresión es: A) 0,1493; B) 0,08; C) 0, En un centro educativo, la probabilidad de que un alumno suspenda una asignatura es de 0,. Si seleccionamos al azar a 4 alumnos, cuál es la probabilidad de que el 75% de esos alumnos aprueben la asignatura? A) 0,056; B) 0,4096; C) 0, En una consulta de un psicólogo especialista en depresión, el 80% de los pacientes depresivos son varones y el resto mujeres. Si seleccionamos al azar de esa consulta 10 pacientes depresivos, cuál es la probabilidad de que 4 pacientes de estos 10 pacientes sean mujeres?: A) 0,0881; B) 0,0; C) 0, La probabilidad de que un paciente con esquizofrenia se recupere con un tratamiento determinado es de 0,40. Un psicólogo está tratando individual e independientemente a 10 pacientes con este trastorno. La probabilidad de que se recuperen al menos 7 pacientes es de: A) 0,945; B) 0,0548; C) 0, Si colocamos una rata en un laberinto, como el recogido en la Figura 1, y la variable aleatoria X toma el valor 1 cuando la rata escoge la salida A y 0 en otro caso. cuánto vale la media de X?: A) 0,5; B) 0,50; C), Si en un laberinto como el de la Figura 1 colocamos sucesivamente 0 ratas diferentes, Cuál es la probabilidad de que 5 de ellas escojan la salida A?: A) 0,1686; B) 0,03 ; C) 0, Si en un laberinto como el de la Figura 1 colocamos sucesivamente 0 ratas diferentes, Cuál es la probabilidad de que 5 ó menos escojan la salida A?: A) 0,03 ; B) 0,3456; C) 0,617 Figura 1. Rata situada en un laberinto con cuatro salidas (A, B, C y D) equiprobables Cuál es la probabilidad de que un estudiante que responde al azar las 0 preguntas de un examen de verdadero o falso acierte más de 15? A) 0,0059; B) 0,5900; C) 0, La probabilidad de que un alumno de la UNED compagine los estudios con el trabajo es de 0,80. Si se seleccionan cuatro alumnos al azar, cuál es la probabilidad de que tres trabajen?: A) 0,315; B) 0,056; C) 0,4096 4

5 6.46. En un Centro de la UNED el 60% de los alumnos son mujeres. Si elegimos, al azar, una muestra de 10 alumnos cuál es la probabilidad de que 6 sean mujeres?: A) 0,1115 ; B) 0,508; C) 0,3600 5

6 SOLUCIONES 6.1. B 6.. C 6.3. B 6.4. A 6.5. C 6.6. A x f(x) 0, 0, 0, 0, 0, P(X 3) = f(0) + f(1) + f() + f(3) = 0,0 + 0,0 + 0,0 + 0,0 = 0, C X f(x) Xf(x) 1 0,5 0,5 0,5 0,50 3 0,5 0,75 4 0,5 1 x 5 x f,, B x f(x) x f(x) 1 0,5 0,5 0, ,5 0,75 μ x f x 6.9. B x f(x) x f (x) 1 1/6 1/6 1/6 1/3 3 1/6 1/ 4 1/6 /3 5 1/6 5/6 6 1/6 1 3,5 x f ( x) 3,5 6

7 6.10. A x f(x) x μ x μ x μ f x 1 0, ,5 0, , ,5 0,50 σ x μ f x 0, B x F(x) 1 0,15 0,50 3 0, B x F(x) f(x) x f(x) 1 0,15 0,15 0,15 0,50 0,35 0,70 3 0,80 0,30 0, ,0 0,8, A C x f(x) F(x) 0, ,40 0,65 0 0,5 0,5 x f(x) xf(x) 0,35 0,70 1 0,40 0,40 0 0,5 0 1,1 1,1 7

8 6.15. C x f(x) -1 0, 0 0,1 1 0, 0,3 3 0, 1 0,3+0,=0, C F(1)=f(-1)+f(0)+f(1)=0,+0,1+0,=0, B x f(x) x f(x) -1 0, -0, 0 0, , 0, 0,3 0,6 3 0, 0,6 1 1, C µ = xf(x) y conocemos únicamente la probabilidad f(x) para x = 3, por lo que no se puede calcular la media B x f(x) x f(x) 0 0, , 0, 0, 0,4 0,6 x 0, 6 x f 6.0. C x f(x) x f(x) ( x μ) ( x μ) (x μ) f(x) 0 0,5 0-1,5,5 0, ,5 0,5-0,5 0,5 0,065 0,5 0,50 0,5 0,5 0, ,5 0,75 1,5,5 0,565 1,5 1,5 8

9 1,5 1,5 1, C P ( X 1) f (1) f () f (3) 0, 0, 0,3 0,7 6.. B x f(x) x f(x) 0 0, , 0, 0, 0,4 3 0,3 0,9 1,5 x 5 x f 1, 6.3. A x f(x) x f(x) x x f(x) 0 0, , 0, 1 0, 0, 0,4 4 0,8 3 0,3 0,9 9,7 1,5 3,7 E X E X 3,7 (1,5) 3,7,5 1, A 6.5. B 6.6. A (Se busca directamente en la tabla I, con n = 10, p = 0,50 y x = 4) A Binomial con n = 10 y p = 0,5 varianza = npq = 10 05, 05,, B Distribución Binomial con n = 8, p = 0,5 y x = 0 (Tabla I) 6.9. B La media de la distribución binomial es igual a np. Como n = 8 y p = 0,5, la media es: np = 8(0,5) = A (Se busca directamente en la tabla I, con n = 15, p = 0,40 y x = 5) A np 10 0, 6.3. B Tabla I con n=10, p=0, y x= A 9

10 Tabla I con n=10, p=0, y x= B np 000 0, B npq 000 0, , C 5 3 P X 0, 45 0, , , 0, , 3369 También, utilizando la Tabla I con n=5, p=0,45 y x= A La probabilidad de que o más no tengan depresión es equivalente a que ninguno o uno tengan depresión. Por lo tanto, debemos calcular P ( X 1) con n=10 y p=0,30. Este valor se localiza en la Tabla II con n=10, x=1 y p=0, B Tabla I de la Binomial con n = 4, x=1 y p=0, A Tabla I con n = 10, p = 0, y x = B p=0,40 P(X 7) 1 P(X 7) 1 F(6) 1 0,945 0, 0548 El valor de F(6) se busca en la Tabla II, y es el valor de la intersección de la fila n=10, x=6 con la columna p=0, A x f(x) x f(x) 0 3/ /4 1/4 1 1/4 X x f (x) 1 4 0, B Utilizando las tablas de la binomial (Tabla I) con n=0, p=0,5 y x=5, obtenemos 0, C Función de distribución binomial (Tabla II) A P ( X 15) 1 P( X 15) Utilizando la Tabla II comprobamos (para n=0, x=15 y p=0,5) que P ( X 15) 0, Por tanto, P ( X 15) 1 0,9941 0,

11 6.45. C P(3 trabajen)= P(1 no trabaje) P(trabajar)=0,80 P(no trabajar)=0,0 Buscamos en la tabla I con n=4, p=0,0 y x= B P(6 mujeres)=p(4 varones)=0,508 (Tabla binomial I, con n=10, x=4 y p=0,4). 11