INTERVALOS DE CONFIANZA

Transcripción

1 INTERVALOS DE CONFIANZA

2 INTERVALOS DE CONFIANZA Dado que los estimadores puntuales pocas veces serán iguales a los parámetros que se desean estimar, es posible darse mayor libertad utilizando estimadores por intervalos que reciben el nombre de intervalos de confianza. Definición: Un intervalo de confianza es un intervalo estimado en el cual se espera que se encuentre el valor del parámetro θ con una determinada confianza. Limite Inferior Limite Superior

3 CANTIDAD PIVOTAL Un método muy útil para encontrar intervalos de confianza se llama método del pivote. Éste consiste en determinar una cantidad que posea las dos características siguientes: 1. Que sea una función de las medidas muestrales y el parámetro desconocido θ, donde θ sea la única cantidad desconocida.. Que su distribución de probabilidad no dependa del parámetro θ. Si se conoce la distribución de probabilidad de una cantidad pivotal, se puede usar operaciones algebraicas para formar la estimación por intervalos que se desea.

4 EJEMPLO Suponga que tenemos una sola observación Y de una distribución exponencial con media θ. Use Y para construir un intervalo de confianza para θ con un coeficiente de confianza del 90%. La función de densidad de probabilidad para Y está dada por 1 y f y e, y 0 La anterior función se puede transformar en: U Y U u, u 0 f u e donde es una función de Y y θ, y la distribución de U no depende de θ. Por tanto, podemos emplear a U como cantidad pivote.

5 EJEMPLO La función de densidad de U aparece graficada anteriormente. Se busca un estimador de intervalo con coeficiente de confianza igual al 90%, encontrando dos números a y b tales que: Pa U b 0.9

6 Una forma elegir a y b es: EJEMPLO u u P U a e du 0.05 y P U b e du 0.05 Estas dos ecuaciones dan como resultado: Por consiguiente: a 0 1 a b e 0.05 y e 0.05 a 0.051, b.996 Y P0.051 U.996 P Y Y P Las cantidades encontradas forman los limites de confianza inferior y superior que se estaban buscando. b

7 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Y µ 1 -µ Los intervalos de confianza para la media están basados en la suposición de que la muestra se ha seleccionado aleatoriamente de una distribución Normal. Casi nunca conoceremos la forma de la distribución poblacional antes de muestrear, pero un estimador de intervalo deberá funcionar razonablemente bien aun cuando la población no sea Normal y el tamaño de muestra no sea lo suficientemente grande, mientras la desviación no sea excesiva.

8 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Sea X una variable aleatoria con distribución N(µ,σ), donde se esta interesado en la estimación del parámetro µ por medio de un intervalo de confianza. Se pueden tener dos casos, dependiendo si se conoce o no la varianza σ. Si σ es conocida, el desarrollo general para el intervalo es la siguiente: Se toma una muestra aleatoria {X 1, X,..X n }, como X~N(µ,σ) entonces X i ~N(µ,σ), por lo tanto: ~ N, Además conocemos la cantidad pivotal: X n X Z ~ N0,1 n

9 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Se define el nivel (1-α)% de confianza que se desea. Ahora se debe encontrar valores de Z tales que: X P z Z z 1 Pz z 1 n P X z X z 1 IC X z 1 % n n n Si X es Normal entonces Z se distribuye N(0,1), pero en esta transformación la única v.a. es la media muestral, ya que µ y σ son constantes, pero en el caso de que no se conozca σ se puede estimar su valor a través del estimador insesgado S y definir como cantidad pivotal a X? S n

10 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Debe tenerse en cuenta que el estimador S es una variable X aleatoria y por lo tanto ya no tiene distribución Normal S n La distribución probabilística de esta transformación es conocida y no depende del parámetro µ que se desea estimar; X esto hace que T sea una cantidad pivotal que se S n puede utilizar cuando no se conoce la varianza de la población.

11 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ Sea {X 1, X,..X n } una muestra aleatoria extraída de una población normal con media poblacional µ y varianza σ desconocidas, entonces la variable aleatoria: X T ~ t con n -1 gl S/ n La cantidad T sirve como cantidad pivotal para formar un intervalo de confianza para µ, donde: P t T t 1 IC X t 1 % S n Recuerde: Cuando n es grande es posible utilizar la distribución normal

12 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ 1 -µ Si se esta interesado en comparar las medias de dos poblaciones normales cuando se conocen las varianzas de cada población, su intervalo de confianza viene definido por: IC 1 X 1 % 1 X z n1 n 1 Aplica también para variables no normales siempre y cuando los tamaños muestrales n 1 y n sean relativamente grandes (TLC)

13 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ 1 -µ Si se esta interesado en comparar las medias de dos poblaciones normales cuando el tamaño de muestra es pequeño y las varianzas de cada población son desconocidas, su intervalo de confianza viene definido por: IC X X t % 1 * ; n1 n S p n n donde: S p ( n 1 1)* S1 ( n 1)* S n n 1 1 Para construir este intervalo se requiere la suposición de que las muestras sean independientes y que 1

14 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA µ 1 -µ En el caso donde las varianzas sean diferentes 1, el intervalo de confianza para la diferencia de medias estará dado por: donde: 1 1 IC X X t * S 1 1 % 1 ; v p n n v ( S1 n ) ( S n ) n S n S n 1 n 1 1 1

15 EJEMPLO Los Directivos de una universidad afirman que las calificaciones del SAT para estudiantes de preparatoria difieren dependiendo del campo de estudio futuro de los estudiantes. Quince estudiantes que deseaban especializarse en ingeniería se compararon con 15 estudiantes que deseaban especializarse en idiomas. En la siguiente tabla se dan las medias y desviaciones de las calificaciones de la parte verbal y de matemáticas de los exámenes SAT para los dos grupos de estudiantes: Verbal Matemáticas Ingeniería y 446 s4 y 548 s57 Idiomas y 534 s45 y 517 s5 a) Usted que opina acerca de la afirmación que tienen las directivas de esta Universidad? b) Que suposiciones son necesarias para que sean validos los métodos empleados previamente?

16 EJEMPLO Suponga que se requiere evaluar la efectividad de una dieta, para lo cual se han sometido 8 pacientes durante 5 semanas, observando su peso al inicio y al final del tratamiento. Con los resultados que se observan en la siguiente tabla, considera usted que la dieta es efectiva? Individuo Inicio Final Diferencia

17 INTERVALO DE CONFIANZA PARA OBSERVACIONES PAREADAS Si d y S d son la media y la desviación estándar muestral de las diferencias observadas entre n pares de mediciones aleatorias, y si estas diferencias siguen una distribución normal, entonces un intervalo de confianza del (1-α)% para puede obtenerse mediante: D 1 sd sd P d tn 1; D d tn 1; 1 n n IC D d t 1 % n1; sd n

18 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA La varianza poblacional σ cuantifica la cantidad de variabilidad existente en la población. Muchas veces el valor real de σ es desconocido y debe calcularse. Una de las maneras de estimar este parámetro es mediante un intervalo al (1-α)% de confianza a partir de una muestra aleatoria. La variable aleatoria se distribuye Chi-cuadrado con (n-1) grados de libertad. Como se puede observar, aunque la función n1 S n 1 parámetro, lo cual indica que depende de σ, su distribución no depende de este n1 es una cantidad pivotal, con la cual se pueden construir intervalos de confianza. S

19 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA Para construir el intervalo de confianza se deben encontrar valores tales que: P n Como la distribución Chi-cuadrado no es simétrica y la variable solo asume valores no negativos, se debe encontrar un par de valores (entre muchos posibles) que satisfaga la anterior expresión, por ejemplo pueden encontrarse valores tales que: P P n1 n1 De alli que un intervalo al (1-α)% de confianza para σ es: 1 y 1 IC 1 % 1 1 n S n S, 1

20 EJEMPLO Un experimentador desea comprobar la variabilidad de mediciones obtenidas al usar equipo diseñado para medir el volumen de una fuente de audio. Tres mediciones independientes registradas por este equipo para la misma fueente de sonido fueron 4.1, 5. y 10.. a. Que suposiciones deben de realizarse si se quiere estimar un intervalo de confianza para σ? b. Estime σ con un intervalo al 90% de confianza. c. Que puede concluir con el intervalo hallado?

21 OTROS PARÁMETROS Y SUS ESTIMADORES Parámetro P: Prevalencia de una enfermedad P Porcentaje de pacientes que presentan complicaciones en una cirugia Intervalo de Confianza para la Proporción Poblacional Estimación Puntual Estimación Por Intervalo # Exitos pˆ : n LS : pˆ Z LI : pˆ Z pˆ(1 pˆ) n pˆ(1 pˆ) n Requiere que el tamaño de muestra sea grande (n>30)

22 EJEMPLO El gerente de una empresa de producción asegura que su proceso genera una proporción de unidades defectuosas cercana al 8%, al tomar una muestra de su producto se obtiene que de 00 unidades revisadas, un total de 15 unidades fueron defectuosas. Con estos resultados puede corroborarse la afirmación del productor?. Utilice un nivel de confianza del 9%.

23 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES Ejemplo: Se cree que la osteoporosis está relacionada con el genero. Para ello se elige una muestra de 100 hombres de más de 50 años y una muestra de 00 mujeres en las mismas condiciones. Se observan 10 hombres y 40 mujeres con algún grado de osteoporosis. pˆ 1(1 pˆ 1) pˆ (1 pˆ ) IC P ˆ ˆ 1 P ( p 1 % 1 p ) Z / n1 n Que se puede concluir con una confianza del 90%?

24 INTERVALOS BASADOS EN DISTRIBUCIONES DE POBLACIONES NO NORMALES El intervalo de confianza de t con una muestra para estimar μ es consistente para desviaciones pequeñas o incluso moderadas con respecto a la normalidad, siempre que n sea grande. Si n es pequeña y la distribución poblacional es bastante anormal, entonces el nivel de confianza real podría ser muy distinto del se cree se esta usando. La técnica de remuestreo (bootstrap) ha resultado bastante exitosa en la estimación de parámetros de una amplia variedad de situaciones no normales.

25 EJERCICIOS La agencia para la protección del medio ambiente en conjunto con una Universidad de Florida recientemente realizó un amplio estudio respecto al posible efecto de los oligoelementos presentes en el agua potable en la formación de cálculos renales. En la siguiente tabla se presentan los datos, los cuales se obtuvieron de individuos con problemas recurrentes de cálculos renales que viven en los estados de las dos Carolinas y las montañas Rocallosas, respecto a la edad, la concentración de calcio en el agua potable(medida en partes por millón) y el habito de fumar:

26 EJERCICIOS n X edad Sedad Ycalcio Scalcio Carolinas Montañas Rocallosa pˆ fumadores a. Construya intervalos de confianza al 95%, para el verdadero valor promedio de la edad para ambos estados. b. Construya intervalos de confianza al 95%, para el verdadero valor promedio del calcio para ambos estados. c. Construya intervalos de confianza al 95% para el verdadero valor de la diferencia de medias para ambas variables (Calcio y Edad) y la proporción de fumadores. d. Construya intervalos de confianza al 95% para los verdaderos valores de la varianza poblacional, tanto para la edad como para las concentraciones de calcio.

27 EJERCICIO Un fabricante farmacéutico compra materias primas de dos proveedores diferentes. El nivel medio de impurezas es aproximadamente el mismo para ambos proveedores, pero el fabricante esta preocupado por la variabilidad en la cantidad de impurezas entre un embarque y otro. Si el nivel de impurezas tiende a variar en forma excesiva de una fuente de abastecimiento, esto podría afectar la calidad del producto final. Para comparar la variación en el porcentaje de impurezas para los dos proveedores, el fabricante selecciona diez envíos de cada uno de ellos y mide el porcentaje de impurezas de cada envió. Las varianzas muestrales fueron S 0.73 y S Con los datos anteriores a que conclusión se puede llegar?