UNIVERSIDAD DE ATACAMA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD GUÍA DE TRABAJO 3 Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria (m.a.) de una distribución continua, con E(X) = β, y V ar(x) = β 2, a) Plantear las ecuaciones del método de momentos para los parámetros y β. b) Calcular los estimadores de momentos de y β. 2. Dos máquinas de llenado de botellas tienen la misma tasa media µ. Sin embargo, la máquina 1 es más nueva que la máquina 2 y, por consiguiente, tiene menor variabilidad en el llenado. Sabemos que la varianza del llenado de la máquina 1 es σ 2 1 y para la máquina 2 es σ 2 2 = aσ 2 1, con a > 0. Supongamos que tenemos n 1 observaciones independientes en el llenado de la máquina 1 y n 2 observaciones independientes en el llenado de la máquina 2. a) Demostrar que µ = X 1 + (1 )X 2 es un estimado insesgado para la media µ donde 0 < < 1. b) Encontrar el error estándar del estimador µ. c) Cuál es el valor de que minimiza el error estándar de µ. d) Sean a = 4 y n 1 = 2n 2. Qué valor de seleccionarías para minimizar el error estándar del estimador de µ? 3. Sean X 1, X 2,..., X n variables aleatorias i.i.d. con función densidad dada por: { ( + 1)x f X (x; ) =, 0 < x < 1, 0, e.o.c. a) Encontrar el estimador de momentos (EM) del parámetro. b) Encontrar el estimador de máxima verosimilitud (EMV) del parámetro. c) Evaluar ambos estimadores usando los siguientes datos: X f GUÍA 3 1

2 4. Sea Y 1, Y 2,..., Y n una m.a. de tamaño n para Y, tal que Y i N(βX i, σ) para todo i = 1,..., n con X i no aleatorio. Considerar el siguiente estimador para el parámetro β. β = n i=1 X iy i n i=1 X2 i Determinar si β es insesgado para β y calcular V ar( β). 5. Sea Z 1, Z 2,..., Z n una m.a. de la variable aleatoria Z, con función de densidad dada por: Calcular el EM y EMV del parámetro θ. f Z (z; θ) = (θ + 1)z θ, 0 z 1, 6. Supongamos que X es el esfuerzo vibratorio (lb/pulg 2 ) en la paleta de una turbina de viento, a una velocidad particular en un túnel de viento. El artículo Blade Fatigue Life Assessment with Application to VAWTS (Journal of Solar Energy Engineering, 1982, pp ) propone la distribución Rayleigh, cuya función de densidad es f(x) = x θ e x2 2θ, x 0, θ > 0, como modelo para la distribución de la variable aleatoria X. a) Encontrar la función de distribución acumulada F (x) = P (X x). b) Encontrar la función de log-verosimilitud (es decir log L(θ)). c) Encontrar el EMV del parámetro θ. d) Estimar θ de las siguientes n = 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones específicas: e) Utilizar el estimador θ en d) para estimar la probabilidad de que X se encuentre entre 10 y Supongamos que el diámetro de los árboles de determinado tipo, a la altura del pecho, se distribuye normalmente con media µ = 8.8 y σ = 2.8, como se sugiere en el artículo Simulating a Harvester-Forwarder Softwood Thinning (Forest Products Journal, mayo de 1997, pp ) a) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea a lo más 10 pulgadas? b) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol, seleccionado al azar, sea mayor de 10 pulgadas?. c) Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar se encuentre entre 5 y 10 pulgadas?. d) Qué valor de θ es tal que el intervalo (8.8 θ, θ) incluya el 98 % de todos los valores de diámetros? GUÍA 3 2

3 8. Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una variable X cuya distribución es Gamma con parámetros y β (ver ANEXO). a) Encontrar la función de log-verosimilitud (es decir log L(, β)). b) Deducir las ecuaciones cuya solución produzcan los EMV de y β. Se pueden resolver explícitamente? c) Probar que el EMV del parámetro θ = β es θ = 1 X 9. Sean X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de la variable aleatoria X, donde X N(µ, 1). Considerar los estimadores µ 1 = X y µ 2 = 10. Encontrar el ECM de µ 1 y de µ 2 como función de µ. Hacer un gráfico del ECM para n = Sean X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de la variable aleatoria X con PDF dada por f(x; θ) = e (x θ) ; x > 0, θ > 0. a) Especificar el espacio paramétrico y el soporte asociado a la distribución de X. b) Verificar si θ 1 = X y θ 2 = X (1) son estimadores insesgados para θ. c) Encontrar y comparar los ECM de los dos estimadores. Hacer un gráfico en función de θ. 11. Sean X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de la variable aleatoria X con PDF dada por f(x; θ) = 2x θ 2 ; 0 < x < θ, θ > 0 a) Verificar si θ 1 = X y θ 2 = X (n) son estimadores insesgados para θ. b) Encontrar y comparar los ECM de los dos estimadores. Hacer un gráfico en función de θ. 12. Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de la variable aleatoria X N(0, σ). Sea S 2 = n i=1 X2 i. Considerar el estimador a) Encontrar el ECM del estimador σ 2 c. σ 2 c = cs 2 b) Encontrar el valor de c que minimiza el ECM en a). 13. Los siguientes datos de resistencia a la flexión (en MPa) de vigas de concreto de cierto tipo a) Calcular un estimador puntual del valor medio de resistencia para la población conceptual de todas las vigas fabricadas en esta forma, y decir qué estimador utilizaste. (Sugerencia xi = 219.8). R: GUÍA 3 3

4 b) Calcular un estimador puntual del valor de la resistencia que separa al 50 % más débil de las vigas, del 50 % más fuerte, y decir qué estimador utilizaste. R: 7.7 c) Calcular e interpretar un estimador puntual de la desviación estándar poblacional σ. Qué estimador usaste? (Sugerencia x 2 i = ). R: d) Calcular un estimador puntual de la proporción de las vigas cuya resistencia a la flexión es mayor que 10 MPa.(Sugerencia: imagina que una observación es un éxito si es mayor de 10). R: e) Calcular un estimador puntual del coeficiente poblacional de variación, σ/µ, y decir qué estimador utilizaste. R: Examinar la siguiente muestra de observaciones de espesor de pintura de muy baja viscosidad: Suponer que la distribución de espesores de pintura es normal (una gráfica de probabilidad normal respalda esta hipótesis). a) Calcular un estimador puntual del valor promedio del espesor de pintura y decir qué estimador utilizaste. R: b) Calcular un estimador puntual de la mediana de la distribución de espesores de pintura y decir qué estimador utilizaste. R: c) Calcular un estimador puntual del valor que separa 10 % de los valores más alto de los espesores, del restante 90 %, decir qué estimador utilizaste. (Sugerencia: expresar lo que tratas de estimar en términos de µ y de σ). R: d) Estimar P (X < 1.5), es decir, la proporción de todos los valores de espesor menores que 1.5. R: e) Cuál es el error estándar estimado del estimador que usaste en el item b)?. R: a) Se selecciona una muestra aleatoria de 10 casas de una zona en particular, cada una tiene calefacción una zona en particular, cada una tiene calefacción con gas natural, y se determina la cantidad de gas (termias, es decir, calorías) empleada durante el mes de enero para cada casa. Las observaciones resultantes son 103, 156, 118, 89, 125, 147, 122, 109, 139, 99. Representar con µ el consumo promedio de gas durante enero por todas las casas de la zona. Calcular una estimación puntal de µ. R: GUÍA 3 4

5 b) Suponer que casas de esta zona utilizan gas natural para calefacción. Representar con τ la cantidad total de gas empleada por todas estas casas durante enero. Estimar τ mediante los datos del item a). Qué estimador utilizaste en el cálculo de tu estimación? R: y c) Utilizar los datos del item a) para estimar p, la proporción de todas las casas que utilizaron por lo menos 100 termias. R: 0.80 d) Dar una estimación puntual de la media de la población del consumo (el valor medio de la población de todas las casas) con base en la muestra del item a). Qué estimador utilizaste? R: Se examina cada pieza de 150 recién fabricadas y se registra el número de arañazos por pieza (se supone que las piezas no deben tener arañazos) y resultan los siguientes datos: Número de arañazos por pieza Frecuencia observada Sea X = número de arañazos en una pieza seleccionada al azar y suponga que X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ. a) Encontrar un estimador insesgado de λ y calcular la estimación para los datos anteriores. R: 2.11 b) Cuál es la desviación estándar (error estándar) de su estimador? 17. Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de la v.a. X cuya PDF es: f(x; θ) = 1 (1 + θx), 1 x 1 2 donde 1 θ 1. Probar que ˆθ = 3X es un estimador insesgado de θ. R: Representar por X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución de Rayleigh con PDF f(x; θ) = x θ e x2 /(2θ), x > 0 a) Se puede demostrar que E(X 2 ) = 2θ. Utilizar este hecho para construir una estimador insesgado de θ con base en Xi 2 (y usar reglas de valor esperado para demostrar que es insesgado). b) Estimar θ de las siguiente n = 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones específicas: R: GUÍA 3 5

6 19. Sea X con una distribución de Weibull con parámetros y β, de modo que ( ) + 1 E(X) = β Γ ( ) ( )] V ar(x) = β [Γ 2 Γ 2 a) Con base en una muestra aleatoria X 1,..., X n, escribir ecuaciones para los estimadores de momentos de β y. Demostrar que, una vez que obtengas la estimación de, la estimación de β se puede encontrar en una tabla de la función gamma y que la estimación de es la solución de una complicada ecuación, donde aparece la función gamma. b) Si n = 20, x = 28.0 y x 2 i = 16500, calcular las estimaciones. R: 5 y 28,0/Γ(1,2) 20. Se determina la resistencia al corte de cada una de diez soldaduras eléctricas por puntos de prueba, obteniéndose los siguientes datos (lb/pulg 2 ): a) Si se supone que la resistencia al corte está normalmente distribuida, estimar el verdadero promedio de resistencia al corte y su desviación estándar con el método de máxima verosimilitud. R: y b) Otra vez, suponiendo una distribución normal, estimar el valor de resistencia abajo del cual 95 % de todas las soldaduras tendrán sus resistencias. R: Sea X 1,..., X n una muestra aleatoria de una distribución Gamma con parámetros y β. a) Deducir las ecuaciones cuya solución produzcan los EMV de y β. Se pueden resolver explícitamente? b) Demostrar que el EMV de µ = β es ˆµ = X. 22. Considerar una muestra aleatoria X 1,..., X n, de X cuya PDF es una exponencial desplazada f(x; λ, θ) = λe λ(x θ), 0 x 1 Si se toma θ = 0 se obtiene la PDF de la distribución exponencial considerada previamente (con densidad positiva a la derecha de cero). a) Obtener los EMV de θ y λ. b) Si se hacen n = 10 observaciones del avance, que resultan en los valores 3.11, 0.64, 2.55, 2.20, 5.44, 3.42, 10.39, 8.93, y 1.30, calcular las estimaciones de θ y λ. R: 0.64 y GUÍA 3 6

7 ANEXO: 1.-Distribución Exponencial: X E(λ), f(x) = λ e λx, x 0, λ > 0, E(X) = 1 λ y V ar(x) = 1 λ 2 2.-Distribución Gamma: X G(, β), f(x) = β x 1 Γ() e βx, x 0,, β > 0, E(X) = β y V ar(x) = β 2 3.-Distribución Normal: X N(µ, σ 2 ), f(x) = 1 σ 2π e 1 2 ( x µ σ )2, x, µ R, σ > 0, E(X) = µ y V ar(x) = σ 2 4.-Distribución Uniforme: X U(a, b), f(x) = 1 b+a, a x b, E(X) = y V ar(x) = (b a)2 b a Distribución Beta: X Be(, β), f(x) = 1 B(,β) x 1 (1 x) β 1, 0 x 1, E(X) = donde B(, β) = Γ()Γ(β). Γ(+β) 6.-Distribución Weibull: ( ) 1 X W (, β), f(x) = x β β e ( x β ), x 0, E(X) = βγ ( 1 + ) 1, V ar(x) = β { 2 Γ(1 + 2 ) + Γ2 (1 + 1 )}. y V ar(x) = +β β (+β) 2 (+β+1), GUÍA 3 7