B0. Distribuciones de probabilidad

Transcripción

1 B0. Distribuciones de probabilidad Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

2 Distribución Normal X N( µ, σ ) Dada una variable aleatoria caracterizado por la función de densidad: es el modelo de probabilidad f 1 ( x) = σ 2 p e 1 2 x µ 2 σ Distribución de probabilidad más importante en estadística Modelo general pero no universal Su adecuación debe contrastarse siempre que sea posible a través de técnicas de Inferencia Estadística

3 Distribución Normal Propiedades El dominio de la variable es cualquier valor real (-, + ). Simétrica respecto a la media µ. P( X < µ 1) = P( X > µ + 1) Tiene su máximo en la media µ. Crece hasta la media y decrece a partir de ella.

4 Distribución Normal La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva: P(µ-σ < X µ+σ)= % P(µ-2σ < X µ+2σ)= % P(µ-3σ < X µ+3σ)= %

5 Distribución Normal No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo. Distribución Normal Estándar N(0,1) Su media µ=0 Su desviación típica σ=1 f x 1 ( x) = e 2 2 p 2

6 Distribución Normal No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo. Tipificación de la variable x Dada una variable X que sigue una distribución N(µ,σ), se transforma en otra variable Z que sigue una distribución N(0,1). X N(µ,σ) Z N(0,1) z = x µ σ Ventaja: Valores tabulados

7 Ejercicios propuestos Ejercicios No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo. La longitud X en mm de una población de lubinas sigue una distribución N(3,5). Calcular la probabilidad de que la lubina que pesquemos mida 6 mm o menos. x P( X 6) = P = P = 5 5 ( Z 0.6) Y la probabilidad de que esté entre 1 y 6 mm?

8 Normal como aproximación a otras distribuciones Teorema del límite central Para cualquier variable con E(X) distribución de la variable µ ( X µ )/(errorest) y n lo bastante grande, la es una normal estándar. Binomial np = λ >1 p < 0.1 Poisson µ = np σ = npq npq > 5 λ > 5 µ = λ σ = λ A partir de Peña, 2001 Normal

9 Normal como aproximación a otras distribuciones Aproximación de la binomial a la normal Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p. Si n es grande, entonces la distribución de X es aproximadamente 2 normal con esperanza = np y varianza σ = np 1 p µ ( ) Se suele utilizar esta aproximación cuando np y n(1 p) son mayores que 5, o bien cuando n > 30. Como alternativa se puede coger directamente npq > 5 Tener en cuenta que para pasar de discretas a continuas se debe hacer corrección de continuidad:

10 Normal como aproximación a otras distribuciones Fuente: Plaza 1999

11 Normal como aproximación a otras distribuciones Aproximación de la binomial a la normal ComparaciÛn B(3,0.1)-N(m,s) ComparaciÛn B(20,0.1)-N(m,s) ComparaciÛn B(100,0.1)-N(m,s) Probabilidad Probabilidad Probabilidad n n n

12 Normal como aproximación a otras distribuciones Aproximación de la poisson a la normal

13 Normal como aproximación a otras distribuciones Ejemplo: Del ejemplo que teníamos para el apartado de distribución binomial, con una población de cetáceos en la que se sabe que el 60% son machos, ahora se extraen un conjunto de 100, cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 32? X = Nº de hembras en el conjunto n = 100 p = 0.4 P( X 100 = 32) = =

14 Normal como aproximación a otras distribuciones Alternativa aproximando por una normal: 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: npq = = 24 > 5 2. Calculamos los parámetros de la normal µ = np = 40 σ = npq = 24 = Calculamos a partir de la Normal P( X = 32) = P( X ) P( X = 32) = P X = P Z = ( ) =

15 Normal como aproximación a otras distribuciones Y si ajustamos por Poisson? f ( k, λ) k λ = e k! λ 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: np = p = Apliquémoslo de todos modos, a ver qué sale: P( X 0.4 > 0.1 = 32) = = 40 > ! 32 e 40 = λ = np = = 40

16 Normal como aproximación a otras distribuciones

17 Distribuciones continuas: Normal Comando a utilizar con R: dnorm(x,media,sd): Función de densidad pnorm(x,media,sd): F. distribución qnorm(prob.media,sd): Quantiles rnorm(nobs,media,sd): Números pseudoaleatorios

18 Distribuciones discretas: Binomial Comando a utilizar con R: dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios