Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa

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Natividad Redondo Miranda
hace 6 años
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1 Generación de variables aleatorias continuas Método de la transformada inversa Georgina Flesia FaMAF 17 de abril, 2012

2 Generación de v.a. discretas Existen diversos métodos para generar v.a. discretas: Transformada Inversa De aceptación-rechazo, o método de rechazo. De composición. Métodos mejorados según la distribución.

3 Método de la Transformada Inversa X: una variable aleatoria discreta con probabilidad de masa P(X = x j ) = p j, j = 0, 1,.... U U(0, 1): simulación de una v.a. con distribución uniforme. Método de la transformada inversa: x 0 si U < p 0 x 1 si p 0 U < p 0 + p 1 X =. x j. si p p j 1 U < p p j 1 + p j P(X = x j ) = P(p p j 1 U < p p j 1 + p j ) = p j.

4 Método de la Transformada Inversa F(x) = P(X x) : Función de distribución acumulada F es una función creciente, escalonada, que toma valores entre 0 y 1. Si se ordenan los valores de la variable en forma creciente: x 0 < x 1 < < x n <..., entonces j F(x j ) = p k = p 0 + p p j. k=0

5 Gráficamente p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

6 1 p 3 p 0 + p 1 < U < p 0 + p 1 + p 2 F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 X = x 2

7 Algoritmo Si la v.a. toma un número finito de valores, el algoritmo es el siguiente: Algorithm 1: Transformada Inversa Generar U U(0, 1); if U < p 0 then X x 0 y terminar. end if U < p 0 + p 1 then X x 1 y terminar. end if U < p 0 + p 1 + p 2 then X x 2 y terminar. end.

8 Algoritmo de la Transformada Inversa Si x 0 < x 1 < x 2 <..., entonces F (x j ) = j i=0 p i, y por lo tanto X x 0 si U < p 0 = F(x 0 ) X x j si F (x j 1 ) U < F (x j ) Se trata de hallar el intervalo [F(x j 1 ), F(x j )) donde se ubica U: U [F(x j 1 ), F(x j )) = Transformada Inversa

9 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 Algorithm 2: Generar U; if U < 0.2 then X 1 y terminar. end if U < 0.35 then X 2 y terminar. end if U < 0.6 then X 3 else X 4 end

10 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

11 Orden decreciente de p i Si se ordenan de manera decreciente las probabilidades de masa p 0, p 1,..., se puede obtener un algoritmo más eficiente: Algorithm 3: Ordenando p i Generar U; if U < 0.4 then X 4 y terminar. end if U < 0.65 then X 3 y terminar. end if U < 0.85 then X 1 else X 2 end

12 Ejemplo X : {1, 2, 3, 4}. p 0 = 0.20, p 1 = 0.15, p 2 = 0.25, p 3 = 0.40 p 3 1 y = F(x) p 2 p 1 p 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4

13 Generación de variables aleatorias continuas con densidad Decimos que X es una v.a. continua con densidad si existe f : R R positiva tal que F(x) := P(X x) = x f (t) dt. Estudiaremos los siguientes métodos de generación para una tal X: Método de la transformada inversa. Método de aceptación y rechazo. Método de composición.

14 Método de la transformada inversa Propiedades de F (x) := x f (t) dt. F(x) es continua. F(x) es no decreciente. 0 F (x) 1, lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1

15 Método de la transformada inversa Teorema Si F es una función de distribución continua, inversible, y U U(0, 1), entonces X = F 1 (U) es una variable aleatoria con distribución F. P(X a) = P(F 1 (U) a) = P(F (F 1 )(U) F (a)) por ser inversible = P(U F(a)) = F(a)

16 Método de la transformada inversa

17 Método de la transformada inversa Es suficiente que F tenga inversa en (0, 1). Problemas: La inversa de F involucra funciones computacionalmente costosas. ( n f (x), log(x), etc.) La inversa de F no puede ser calculada explícitamente. (p. ej., distribución de la normal, de una gamma) Para ciertas distribuciones F pueden utilizarse otras estrategias, por ejemplo expresando a F como distribución del mínimo y/o del máximo de v. a. independientes. distribución de suma de variables aleatorias independientes distribución de una v. a. condicional a otra, o existen métodos especificos (p. ej., para X con distribución normal.) Veamos algunos ejemplos.

18 Aplicación del método de la transformada inversa Ejemplo Escribir un método para generar el valor de una v. a. X con función de densidad f (x) = x + 1, 0 x 2. 2 F(x) = x 2 + x, 0 x 2. 4 F no es inversible sobre R, pero sólo nos interesa encontrar una inversa F 1 : (0, 1) (0, 2). x x = u x = x = u o x = u Algorithm 4: Generar U; X 2 2 U

19 Aplicación del método de la transformada inversa Ejemplo Escribir un método para generar el valor de una v. a. X con función de densidad 1/4 0 x 2 f (x) = 1/2 2 < x < 3 0 c.c. 0 x 0 x/4 0 x 2 F(x) = x 1 2 < x < x 3 Generar U; if U < 1/2 then X 4U else X 2U + 1 end

20 Máximos y mínimos de v. a. independientes Consideremos X 1, X 2,..., X n v. a. independientes, con funciones de distribución F 1, F 2,..., F n, respectivamente. F i (a) = P(X i a). X = max{x 1, X 2,..., X n } F X (a) = F 1 (a) F 2 (a)... F n (a) Y = min{x 1, X 2,..., X n } 1 F Y (a) = (1 F 1 (a)) (1 F 2 (a))... (1 F n (a))

21 Máximos y mínimos de v. a. independientes U 1, U 2,..., U n v. a. independientes, idénticamente distribuidas uniformes en [0,1], X = max{u 1, X 2,..., U n } Algorithm 5: F X (t) = t n F X (x) = x n, 0 x 1, 0 en otro caso. Generar U 1, U 2,..., U n ; X max{u 1, U 2,..., U n } F X (x) = x x x }{{} n no requiere cálculo de una raíz n-ésima. se generan n 1 uniformes adicionales. requiere de n 1 comparaciones.

22 Generación de una v. a. exponencial Si X E(λ), entonces c X también es exponencial. c X E( λ c ). Calculamos la inversa de la función de distribución de X E(1): F X (x) = 1 e x u = 1 e x 1 u = e x x = log e (1 u) Algorithm 6: X E(1) Generar U; X log(u) Algorithm 7: X E(λ) Generar U; X 1 λ log(u)

23 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) En un proceso de Poisson homogéneo de parámetro λ, los tiempos de llegada entre eventos son v. a. exponenciales de media 1. λ el número de eventos en un intervalo de tiempo de longitud t es una v. a. Poisson de media λ t. N(1) es una v. a. Poisson de media λ. X 1 X 2 X 3 X n X n N(1) = max{n X 1 + X X n 1}

24 Generación de una v. a. Poisson X P(λ) Empleando v.a. uniformes para generar las exponenciales, tenemos que N(1) = max{n X 1 + X X n 1} = max{n 1 λ (log(u 1) + log(u 2 ) + + log(u n )) 1} = max{n 1 λ (log(u 1 U 2 U n )) 1} = max{n log (U 1 U 2 U n ) λ} = max{n U 1 U 2 U n e λ } N(1) = min{n U 1 U 2 U n < e λ } 1

25 Generación de una v. a. con distribución Gamma Si X 1,..., X n son v. a. exponenciales independientes, X i E(λ), entonces X = X X n es una v. a. gamma, de parámetros (n, λ). Algorithm 8: X γ(n, λ) Generar U 1,..., U n U(0, 1); X 1 λ log(u 1... U n ) Emplea n uniformes. Calcula un único logaritmo. Para generar n exponenciales independientes, hacen falta generar n uniformes y calcular n logaritmos.

26 Generación de exponenciales a partir de una distribución gamma Teorema Si X, Y E(λ), e independientes, entonces f X X+Y (x t) = 1 t I (0,t)(x), es decir, X condicional a X + Y = t es uniforme en (0, t). Para generar X, Y exponenciales independientes, de parámetro λ podemos aplicar el siguiente algoritmo: Algorithm 9: X, Y E(λ) Generar U 1, U 2 U(0, 1); t 1 λ log(u 1 U 2 ); Generar U 3 ; X t U 3 ; Y t X Calcula un único logaritmo. Emplea 1 uniforme adicional.

27 Generación de exponenciales a partir de una distribución gamma Para generar n exponenciales, se puede extender el método anterior generando una v. a. gamma, de parámetros (n, λ), n 1 v. a. uniformes, adicionales. Algorithm 10: Generar U 1,..., U n U(0, 1); t 1 λ log(u 1 U n ); Generar V 1,..., V n 1 y ordenarlos de menor a mayor; X 1 t V 1 ; X 2 t (V 2 V 1 );..; X n 1 t (V n 1 V n 2 ); X n t t V n 1

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