Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos

Transcripción

1 Tema 4: Variable aleatoria. Métodos Estadísticos

2 Definición de v.a. Definición: Una variable aleatoria (v.a.) es un número real asociado al resultado de un experimento aleatorio, es decir, una función real en el espacio muestral, X:Ω R Los valores de la variable aleatoria se notarán con letras minúsculas x en este caso.

3 Ejemplos de v.a. Ejemplos: Supongamos un experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados al aire. Bajo este experimento lo siguiente serían v.a: 1. Sea X la v.a. suma de los valores de los dados donde X puede tomar valores x=2,3,4,, Sea Y la v.a número de pares en los dados donde Y puede tomar los valores y=0,1,2. 3. Sea Z la v.a número de impares en los dados donde Z puede tomar los valores z=0,1,2.

4 Variable aleatoria discreta Definición: Se dice que una v.a. es discreta si el conjunto de todos los valores que puede tomar es un conjunto numerable. Ejemplos: Número de caras al lanzar dos dados. Número de cifras acertadas en un sorteo de la lotería.

5 Variable aleatoria discreta Definición: Dada una v.a. discreta, X, se define la función masa de probabilidad como: f(x)=p[x=x], para cada x R. Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad. Entonces: 1. f(x) 0 para todo x R 2. Σ x R f(x)=1 3. En general, para cualquier conjunto B, P[X B]=Σ x B f(x), donde x son los posibles valores de B

6 Variable aleatoria discreta Definición: Se define la función de probabilidad una v.a. discreta, X, como: distribución de F(x)=P[X x]= Σ xi x f(x), para cada x R. Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces: 1. lim F(x)=0 x - 2. lim x F(x)=1 3. F es creciente 4. F es continua a la derecha

7 Variable aleatoria discreta Además: 1. P[X a]=f(a)=σ f(x) x a 2. P[X<a]=F(a - )=Σ x <a f(x) 3. P[X a]=1- F(a - )= Σ f(x) x a 4. P[X>a]=1- F(a)= Σ x>a f(x) 5. P[a < X<b]=F(b - )-F(a) 6. P[a X<b]= F(b - )-F(a - ) 7. P[a < X b]=f(b)-f(a) 8. P[a X b]=f(b)- F(a - )

8 Variable aleatoria discreta Ejemplo 1: Sea el experimento lanzar tres monedas, y sea X v.a. número de caras. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución. Ejemplo 2: Sea el experimento sacar 2 bolas de una urna que contiene 2 bolas blancas y 3 bolas rojas, y sea Y v.a. número de bolas rojas. Calcular su función masa de probabilidad y su función de distribución.

9 Variable aleatoria continua Definición: Se dice que una v.a. es continua si el conjunto de todos los valores que puede tomar no es numerable. Ejemplos: Duración de una llamada a un servicio de atención al cliente. Tiempo que un médico tarda en atender un paciente

10 Variable aleatoria continua Definición: Dada una v.a. continua, X, se define la función de densidad de probabilidad de X, f(x) como aquella función tal que para cualquier a,b R, o a,b=±, P[a<X<b]= b af(x) dx, Proposición: Sea X v.a. continua y f(x) su función de densidad de probabilidad. Entonces: 1. f(x) 0 para todo x R 2. R f(x)=1 3. En general, para cualquier conjunto de números reales B, P[X B]= x B f(x)

11 Variable aleatoria continua Definición: Se define la función de distribución de probabilidad una v.a. continua, X, como: para cada x R. F(x)=P[X x]= x - f(t) dt, Proposición: Sea X v.a. discreta y f(x) su función masa de probabilidad y F(x) su función de distribución. Entonces:

12 Variable aleatoria continua Ejemplo: Sea f(x)=e x-2 si x < 2 y f(x)=0 en otro caso, calcular su función de distribución. Ejemplo: Sea el experimento lanzar una pelota en una habitación rectangular 2x4 y la puerta se encuentra en la pared de lado 2. Sea Y la v.a continua distancia a la pared de la puerta. Calcular su función de distribución y su función de densidad.

13 Momentos de una v.a Definición: Dada una v.a. X, y sea Y=g(X) un función suya, es decir una transformación de la variable. Entonces, se define la media de la función g(x) como, E[g(X)]= R g(x)f(x) dx, si X es continua E[g(X)]= R g(x)f(x), si X es discreta

14 Esperanza matemática de una v.a Definición: Dada una v.a. X, se define la media o esperanza matemática como, EX = R x f(x) dx, si X es continua EX= R x f(x), si X es discreta

15 Transformación de una v.a. Definición: Dada una v.a. X, a 1,..., a n constantes y g 1 (X),...,g n (X) funciones de la variable. Entonces, E[a 1 g 1 (X)+...+ a n g n (X)] = a 1 E[g 1 (X)]+...+ a n E[g n (X)]

16 Varianza de una v.a. Definición: Dada una v.a. X. Se define su varianza como, Var[X] = E[(X-EX) 2 ] = E [X 2 ] (EX) 2 Proposición: Dada una v.a. X, y sean a,b R. Entonces, E[aX+b] = a E[X] + b Var[aX+b] = a 2 Var[X]

17 Tema 4: VARIABLE ALEATORIA FIN