Figura 1. Generación de variables aleatorias.

Transcripción

1 PRÁCTICA 3. Ingeniería Técnica Industrial (2º) - Mecánica. Profesores: Javier Faulín y Francisco Ballestín 1. Generación de variables aleatorias. El programa nos permite generar variables aleatorias especificando los parámetros que caracterizan a éstas y almacenándolas en el archivo de datos. Para ello, seleccionamos el menú: Calc>Random data>nombre de la distribución. Observamos que existen distintas distribuciones para elegir. Por ejemplo, si seleccionamos la distribución normal, debemos introducir los dos parámetros que determinan esta distribución. Figura 1. Generación de variables aleatorias. En el cuadro de diálogo de la figura 1 indicamos el número de datos que queremos generar, la columna en la que queremos que sean almacenados en el archivo de datos y los parámetros que caracterizan la distribución. Otra opción es seleccionar una muestra aleatoria a partir de un archivo de datos. Supongamos que queremos seleccionar una muestra aleatoria de 5 observaciones a partir de los siguientes datos de la Tabla 1: En primer lugar introducimos los datos creando un nuevo archivo de datos y seleccionamos Calc > Random Data > Sample From Columns, obteniendo el cuadro de la figura 2. 1

2 ID Weight Tabla 1. Datos del ejemplo En la opción Sample introducimos 5, en rows from column(s) introducimos los nombres de las variables ID Weight y en Store samples in, introducimos el nombre de la variable donde queremos almacenar la muestra aleatoria, por ejemplo, Ids WEIGHTs y por último pulsamos OK. Figura 2. Sample from columns. Ejercicio 1: En este ejercicio analizamos la distribución de combinaciones lineales de variables normales. Simula 200 observaciones de una distribución normal con µ = 20 y σ = 5 (C1). Simula otras 200 observaciones con µ = 7 y σ =1 (C2). Calcula las siguientes distribuciones combinaciones lineales de las primeras: 2

3 C3 = 3*C1, C4 = 3*C1 + 10, C5 = C1 + C2, C6 = 3*C1 + 2*C2 + 3 Obteniendo la media y la desviación típica de estas muestras y los histogramas, intenta dar fórmulas que indiquen cómo las medias y las desviaciones típicas de las diferentes distribuciones están relacionadas. Si X N(µ 1,σ 2 1 ) e Y N(µ 2,σ 2 2 ), y a, b y c son números positivos o negativos, cuánto es entonces la esperanza, la varianza y la desviación típica de ax + by + c? Explícalo en el Report Pad. Ejercicio 2: La distribución uniforme y la exponencial son ejemplos de distribuciones muy diferentes a la distribución normal como podemos comprobar con los histogramas. En este ejercicio tienes que explicar en el Report Pad las diferencias que observes entre las 3 funciones de densidad. Para ello simula 5000 observaciones de una distribución uniforme U(0,1) y representa un histograma, haz lo mismo simulando 5000 observaciones de una exponencial con parámetro λ = 1. En ambos casos añade la opción de añadir la curva normal que mejor se aproxime a los datos. No añadas los histogramas al ReportPad. 2. Funciones de densidad, funciones de distribución y cálculo de probabilidades y percentiles. Con el paquete estadístico MINITAB podemos determinar distribuciones de probabilidad, distribuciones de probabilidad acumuladas y distribuciones de probabilidad acumuladas inversas. Seleccionamos el menú: Calc > Probability Distributions > Nombre de la distribución. Algunas distribuciones que podemos escoger son la Normal, la Binomial, la Poisson, la Uniforme, la Exponencial, Al seleccionar este menú se abre un cuadro de diálogo diferente dependiendo de la distribución de probabilidad que estemos analizando. En este cuadro debemos introducir una serie de parámetros que varían de una distribución a otra y que la caracterizan. Así, en la Binomial aparece el número de realizaciones (trials) y la probabilidad de éxito, en la Poisson la media (λ), etc. Por ejemplo, si seleccionamos la distribución normal (Figura 3), tenemos las opciones: Probability density: Determinamos la función de densidad. La distribución más importante en estadística es la distribución normal ya que muchas poblaciones pueden ser bien aproximadas por esta distribución. 3

4 Cumulative probability: La función de distribución acumulada proporciona la probabilidad acumulada asociada a una función de probabilidad. En particular, proporciona el área bajo la función de probabilidad hasta el valor especificado en Input constant (o Input column si queremos calcular a la vez F(x) para todos los valores x almacenados en una columna). Por tanto, con MINITAB podemos calcular la función de distribución acumulada para cualquier valor que indiquemos. Inverse cumulative probability: Nos permite calcular el valor asociado a un área, es decir, proporcionamos un área bajo un determinado valor y el ordenador proporciona este valor. Esto nos permite calcular el z α para un α determinado. En Input constant introducimos el área para la que queremos calcular el valor asociado. Figura 3. Normal distribution En Input column introducimos la columna que queremos evaluar. En Optional Storage introducimos opcionalmente la columna en la que queremos almacenar los resultados. Cuando trabajamos con una variable discreta, en lugar de la opción Probability density nos aparece la opción Probability. Con esta opción podemos calcular la probabilidad de que la variable sea igual a la constante que introduzcamos. 4

5 Ejemplo: Generemos una muestra aleatoria de tamaño 100 de una distribución normal de media 35 y desviación típica 2. Si en la figura 3 seleccionamos la opción Probability density, obtenemos para cada uno de los valores el correspondiente valor de la función de densidad. Recordemos que en una variable aleatoria continua f(x) P(X = x). Probability Density Function Normal with mean = 35,0000 and standard deviation = 2,00000 x f( x ) 36,6934 0, ,0904 0, ,0353 0, ,1647 0, ,0193 0, ,8390 0, ,9389 0,1733 Si seleccionamos la opción Cumulative probability obtenemos el área acumulada a la izquierda de ese punto. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 35,0000 and standard deviation = 2,00000 x P( X <= x ) 36,6934 0, ,0904 0, ,0353 0, ,1647 0, ,0193 0, ,8390 0, ,9389 0,2979 Si seleccionamos la opción Inverse cumulative probability, calculamos cuál es el valor que deja por debajo una determinada probabilidad. En el ejemplo anterior nos interesa calcular cuál es el valor cuya probabilidad acumulada es 0,3135. Obtenemos: Inverse Cumulative Distribution Function Normal with mean = 35,0000 and standard deviation = 2,00000 P( X <= x ) x 0, ,0281 5

6 Los ejercicios 3 y 4 se realizan utilizando el Minitab y su opción Calc > Probability Distributions. En ocasiones deberás realizar cálculos adicionales. Comenta brevemente cómo llegas a cada resultado en ReportPad. Ejercicio 3: Un empresario de la industria alimenticia asegura que sólo el 10% de sus frascos de café instantáneo contienen menos café del que se garantiza en la etiqueta. Para probar esta afirmación, 16 frascos de su café instantáneo son aleatoriamente escogidos y pesados. a) Sin utilizar el Minitab, escribe cúanto vale P(1 er frasco café seleccionado contenga menos café del que se garantiza en la etiqueta) y P(2º frasco café seleccionado contenga menos café del que se garantiza en la etiqueta). Cambia esa probabilidad en selecciones sucesivas de frascos de café? Sea X = número de frascos de café de los 16 que contiene menos café del que se garantiza en la etiqueta. Teniendo en cuenta tus respuestas anteriores, qué distribución de probabilidad sigue X? b) Calcula la probabilidad de que todos los frascos seleccionados contengan la cantidad de café que garantiza la etiqueta. c) Calcula la probabilidad de que al menos un frasco contenga menos cantidad de café de la indicada en la etiqueta. d) Sabiendo que la afirmación del empresario es aceptada si a lo sumo 3 frascos contienen menos café del que se garantiza en la etiqueta, calcula la probabilidad de que la afirmación del empresario sea aceptada. e) Se sabe que la probabilidad de que existan a lo sumo δ frascos con menos café del que se garantiza en la etiqueta es 0,5. Calcula el valor de δ. Ejercicio 4: Se sabe que el tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es normal con media igual a 12,9 minutos y desviación típica igual a 2 minutos. a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de ensamblado de la pieza sea menor que 14,2 minutos. b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de ensamblado de la pieza sea superior a 13 minutos. c) Si la probabilidad de que el tiempo de ensamblaje de la pieza sea menor o igual que δ es 0,95 Cuál es el valor de δ? 6

7 3. Representación de funciones de densidad y de distribución de algunas variables aleatorias. En ocasiones nos interesa representar gráficamente una determinada función de densidad (o de probabilidad para v.a. discretas) para ver la forma que tiene. Lo podemos hacer generando una secuencia de números para el eje de abscisas, y para cada uno de los valores x calcular f(x). VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Para crear una secuencia hemos de utilizar la ventana Comand Line Editor que se obtiene en la opción Edit del menú (o utilizando Ctrl+ L). Para cada elemento x de esa secuencia, se calcula el valor de f(x) (Probability density) utilizando Calc>Probability Distributions (valores que almacenaremos en C2). Con la opción Graph>Plot se dibuja la función de densidad (en el eje OX ponemos la secuencia y en el eje OY la columna C2, es decir, los valores de f(x) correspondientes a los valores x de la secuencia). Para realizar la gráfica de la función de distribución, se procede de la misma manera pero utilizando en Probability Distributions la opción Cumulative probability. Ejemplo: Función de densidad de N(0,1) Abrimos un nuevo Minitab Worksheet. -En comand line editor creamos la secuencia y la almacenamos en la columna C1 escribiendo: set c1-3:3 /,01 end -En Calc>Probability Distribucions seleccionamos Normal, seleccionamos Probability density (opción por defecto) y tomamos en Input column C1 y en Optional storage C2. -En Graph>Scatterplot>Simple tomamos como variable X la secuencia (C1) y como variable Y los valores de f(x) para la secuencia (C2). Ejercicio 5: Almacena en la columna C3 los valores de F(x) donde x es la secuencia dada en C1 y F(x) es la función de distribución de la variable aleatoria Normal estándar y dibújala. Guarda los gráficos de la función de densidad y la de distribución de la Normal estándar en ReportPad. Explica las propiedades de una función de densidad y una función de distribución basándote en las gráficas. Remarca las diferencias 7

8 existentes. Cuál es la relación entre f y F? Cómo se calcula P(-0 8 < X < 1 5) utilizando F y cuánto sale? 0,4 0,3 C2 0,2 0,1 0, C1 Función de densidad de N(0,1) 3 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Para variables discretas, el procedimiento es similar, aunque en este caso no hace falta crear secuencias para crear las funciones de probabilidad y los gráficos obtenidos serán diferentes. El procedimiento a seguir se explica a continuación con un ejemplo: Ejemplo: Binomial con n = 5 y p = 0.2 Abrimos un nuevo Minitab Worksheet. En la columna C1 introducimos los valores 0,1,2,3,4,5 (que son los posibles valores que puede tomar la binomial para n = 5). Figura 4: Cuadro de diálogo para la v.a B(5; 0,2) En Calc>Probability distributions> Binomial obtenemos el cuadro de diálogo correspondiente, que rellenamos como en la Figura 4. La función de probabilidad f(x) quede almacenada en la columna C2 para cada posible valor de x = 0,1,2,3,4 y 5. 8

9 Figura 5. Función de masa de probabilidad de una B(5;0.2) A continuación seleccionamos Graph>Scatterplot>Simple para realizar el gráfico. En la opción Data view seleccionamos project lines (para que realice barras verticales o proyecciones en lugar de puntos). El resultado lo puedes observar en la Figura 5. Para obtener la función de distribución es necesario crear una secuencia. Creamos en C3 la secuencia set c3-1:7 /,01 end Para esta secuencia almacenamos los valores de F(x) en C4 y dibujamos F(x) utilizando Graph>Scatterplot>Simple donde X es C3, Y es C4 y en Data View tomamos la opción Symbols (si tomamos connect line, conectará los valores y por tanto no habrá saltos, que es lo que caracteriza a las funciones de distribución de las v.a. discretas). La función de distribución de B(5; 0,2) viene dada en la Figura 6. Ejercicio 6: Dibuja la función de masa de probabilidad de una v.a. que sigue una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5. Almacena los valores de la función en C5. Comparándola con la f que has dibujado en el ejercicio 5, explica las diferencias entre una función de masa de probabilidad y una función de densidad. 9

10 Figura 6. Función de distribución de una B(5;0.2) Ejercicio 7: Dibuja la función de distribución de la v.a. del ejercicio anterior. Comparándola con la que has dibujado en el ejercicio 6, explica las diferencias entre una función de distribución de una variable continua y una discreta. Ejercicio 8: Dibuja la función de masa de probabilidad de una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. Para ello escribe en la columna C6 los valores de 0 a 8 y almacena en la columna C7 los valores de P(X = x) con x = 0,, 8. Observa que para valores mayores a 7 toma valores muy cercanos a 0. Por qué? (Recuerda el significado de una Poisson y del parámetro λ en una Poisson). Utiliza la gráfica para contestar a las siguientes preguntas Cuál es la probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson de parámetro 2 tome el valor 3? Y el valor 3,5? Cuál es la probabilidad aproximada de que tome un valor menor que 2,5? Escribe un ejemplo práctico en que se suela utilizar la distribución de Poisson. 10