TEORIA DE CONJUNTOS. Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16 2 C 8 C 1,2 C 5 C. incorrecto. Ejemplo: A = los días de la semana

Transcripción

1 TEORI DE CONJUNTOS I Noción de Conjunto Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados integrantes u elementos susceptibles de ser comparados. Ejemplos: Los días de la semana Los países del continente americano. Los jugadores de un equipo de fútbol. Notación Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves. = los días de la semana B = a, e, i, o, u Relación de Pertenencia () Se establece esta relación sólo de integrante a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado....pertenece a... :... no pertenece a.. : Esto quiere decir que dado un integrante u elemento y un conjunto Integrante conjunto u elemento C = 1,2, 1,2, 5, 16 2 C 8 C 1,2 C 5 C incorrecto Determinación de un Conjunto Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas: a) Por Extensión o forma tabular. Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes = a, e, i, o, u C = 2,4,6,8 Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él. De este modo en el conjunto = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación. b) Por Comprensión o forma constructiva Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

2 Esquema / (se lee tal que ) =... B = C = Regla de Restricción Correspondencia y/o característica o forma general (propiedad común) del elemento n/n es una vocal n²-1 / n Z,1 n 7 CONJUNTOS NUMERICOS 1. Conjunto de los números naturales IN = 1,2,3,4... EJM 17 IN IN O = IN * = 0,1,2,3,... Observación Cero (0) es natural 2. Conjunto de los Números Enteros Z=..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... 3 Z, - 24 Z 8 3. Conjunto de los Números Racionales Q = a/b / a Z b Z b Q porque : 3 = 1 0,5 Q porque 0,5 = , Q porque 0, = 3 1 = 3, Q porque b a plicación I Dado el conjunto B = 1,,, 2 1, 1,2,3 Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas * B * 1 B * 1 B * 3 B * 1,2 B * B plicación II Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos P = 2, 6, 12, 20,..., Q = 3x+1/x Z - 3 < x < 3 Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un conjunto a la clase de los conjuntos coordinables con (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto y se denota como n () ó card () = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n () = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4 Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido. Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a,, 13 ord (a) = 2, ord () = 3 Cuantificadores a) Universal: Se denota por y se lee para todo o para cualquier Si P(x) es una función proposicional,, x ; P(x) es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x a se cumpla P(x) Si = 2,4,6,8 P(x) = x es un número par P(y) = 3y 2 > 4 Luego x : x es un par (V) y : 3y 2>4 (F)

3 b. Existencial. Se denota por y se lee existe por lo menos un Si P(x) es una función proposicional, x /P(x) es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de, que cumple P (x) Ejemplo Si: B = 7,5,4,1 P(x) = x es un número impar P(y) = (y-4)² = 4 Luego: x B/x es impar (V) y B/(y-4)² = 4 (F) Negación de los Cuantificadores (x : P(x)) x / P(x) (x / P(x)) x : P(x) Diagramas de Venn Euler Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una figura geométrica cerrada en cuyo interior se indican los elementos que forman el conjunto Utiliza segmentos de línea y es utilizado en conjuntos transfinitos e infinitos C IR Q Q ZZ IN P II m Diagrama Lineal Diagrama Hasse Relación de Inclusión () Subconjunto Conjunto ZZ IN IR Q P C Q Conjunto Conjunto II m a,b,c,d,e. a. b. c. d. e Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto. Diagrama (Lewis Carroll) Su verdadero nombre es Charles- Dogston autor de licia en el país de las Maravillas utilizando un lenguaje lógico matemático utiliza el Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo. : incluido o contenido B: esta contenido en B es subconjunto en B B contiene a B x : x x B H : Hombres M : Mujeres S : Solteros C : Casados F : Fuman H F M Diagrama Lineal Hasse S C B

4 Observación: El vacío está incluído en cualquier conjunto. Conjuntos comparables Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está incluido en el otro. B ( B B) v (B B ) Dados los conjuntos: = 3,5 B = 1,2,3,4,5,6,7 C = 2,4,6,7 D = 4,7 Son conjuntos comparables: y B B y C; B y D; C y D Conjuntos Iguales Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. = B B B = 3n + 2/n ZZ, 1 n 4 B = 5,14,8,11 Se observa = B plicación Dados los conjuntos y B guales y C y D iguales donde = a+2, a+1 C = b+1, c+1 B = 7-a, 8-a D = b+2, 4 Hallar: a+b+c Conjuntos Disjuntos o jenos Dos conjuntos se denominan disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común C = x / x es un hombre D = x / x es una mujer C y D son disjuntos - Si dos conjuntos son disjuntos ambos serán diferentes. - Si dos conjuntos son diferentes entonces no siempre serán disjuntos. E = 5,2,a,b, F = 4,3,c,d E y F son disjuntos E F G = 1,3,c,d,7, H = 2,8,e,f,c G H pero G y H no son disjuntos Conjuntos Coordinables o Equipotentes Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los del segundo conjunto. dicha correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos). Ejemplo = Lima, Caracas, Bogota, Santiago B = Perú, Venezuela, Colombia, Chile Se observa que es posible establecer la correspondencia biunívoca:... es capital de... De ahí que y B son coordinables, luego: n () = n (B) Clases de Conjuntos Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen según esto tenemos: Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento. N = 3n + 2 / n ZZ 1 n 4 N es finito pues n (N) =4 P = x/x es un día de la semana P es finito pues n (U) = 7 Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos. Ejm: M = x/x Q 1 < x 2 M es infinito pues n (M) =...?

5 Conjuntos Especiales 1. Vacío o Nulo. Es aquel conjunto que carece de elementos. Notación ;. Ejm.: = x/o < x < 5 x² = 100 = = * : * * 2. Unitario o Singleton (singular) Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. B = x/x > 0 x² = 9 = 3 plicación: Si los siguientes conjuntos son unitarios e iguales, calcule a + b + c. = (2a + b); c B = (2c - 7); (5b + 2) 3. Universal: Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota generalmente por U. = 2,6,10,12 B = x+3/x es impar 0 <x< 10 Podrán ser conjuntos universales para y B U = x/x IN x < 13 U = 0,2,4,6,8, Conjunto de Conjuntos: También se le denomina familia de conjuntos o clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. C = 2,3, 3, a, 6,b, D = a,b,c, 2,3,6, 6, c, 8 Se observa que: C es familia de conjuntos D no es familia de conjuntos 5. Potencia El Conjunto de Potencia de, llamado también Conjunto de Partes de, es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto. Notación P() = x,y P() =, x, y, x,y n (P()) = 4 * Los subconjuntos, x, y son denominados propios. Nº subconj. = n (P()) = 2 n() B = x/x es primo y x < 10 B = 2,3,5,7 n (B) = 4 Nº subconjuntos de B Nº subconj. = 2 n() - 1 Propios Nº subconjuntos propiosde B 6. Par Ordenado Es un conjunto de 2 elementos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación (a, b) Se lee par ordenado a, b a: 1º componente b: 2º componente (a,b) = (c,d) a = c b = d

6 OPERCIONES CON CONJUNTOS Unión (U): La unión de 2 o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen. U B = x/x x B U B Ejemplo = 2,4,5,6,7,8 B = 1,3,6,7,9 B = 2,4,5,8 B = 1,3,9 Si B B = B Si y B disjuntos, B = U B Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a o B pero no a ambos. = 2,3,5, B = 1,7,5 U B = 2,3,5,1,7 B = x/x ( U B) x ( B) Si: B U B = B Intersección () La intersección de los conjuntos y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a y B a la vez. B = x/x x B = 8,7,6,5,4,2 B = 9,7,6,3,1 B = 2,4,5,8,1,3,9 Si B B = B Si y B disjuntos, B = U B B Complemento de (C, c,, ) El complemento de es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal U pero no al conjunto. = 2,3,4,5,6 B = 4,6,7,9 B = 4,6 Si B B = Si y B son disjuntos, B = Diferencia (-) El conjunto diferencia (- B) es aquel que esta formado únicamente por los elementos que pertenecen a pero no pertenecen a B. B = x/x x B c = = x/x U x = U Ejemplo U = x/x IN, x < 8 = 1,3,4 c = 0,2,5,6,7 Conjunto Producto o Producto Cartesiano (X) Dados dos conjuntos y B se define el conjunto producto como: x B = (a,b)/a b B B Leyes del lgebra de Conjuntos 1. Idempotencia U = =

7 2. Conmutativa U B = B U B = B 3. sociativa ( U B) UC = U (B U C) ( B) C = (B C) 4. Distributiva U (B C) = ( U B) ( U C) (B U C) = ( B) U ( C) 5. De Morgán ( U B) = B ( B) = U B 6. Del Complemento U = U = () = 7. De la Unidad U = U U = = = 8. De bsorción U ( B) = ( U B) = U ( B) = U B ( U B) = B 9. Diferencia B = B 10. dicional (U) = () = U PROBLEMS RESUELTOS 1. Dados los conjuntos unitarios = 90, a.b B = a+b, 23 Hallar la diferencia entre a y b Dados que los conjuntos y B Son unitarios se debe cumplir: = 90, a.b a.b = 90...(1) Resolviendo: a = 18 ; b = 5 ; a b = 3 2. Hallar el cardinal de si = 0,1,1,2,3,5,8, Observamos en los elementos del conjunto Se verificará la suma de 2 términos consecutivos da como resultado el tercer término. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 n () = Dado el conjunto = 5,3 3, 7, 9,11, 14 Cuántas proposiciones son verdaderas? I. 5 IV. 3 II. 3 V. 9,11 III. 7,14 VI. I. 5 a (V) II. 3 = (V) III. 7,14 (F) ya que la relación se da sólo entre integrante (singular y su conjunto) IV. 3 (V) V. 9,11 (F) Puesto que 9,11 es un integrante para y la relación integrante conjunto se da solo en pertenencia VI. (V) Puesto que el conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto 4. Si = B Calcular a b = 3a-8, 44 B = 10, b a - 20 B = 23, a+b a+b = 23...(2)

8 Si = B 3a 8, 44 = 10, b a a 8 = 10 3a = 18 a = 6 44 = b a 20 b a = 64 Reemplazando: b 6 = 64 =2 6 a = 6 b = 2 a b = 6² = 36 Rpta. 5. Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto M? M = x/x ZZ ; -7 < 4 x + 1 < 21-7 < 4x + 1 < 21-8 < 4x < 20-2 < x < 5 x = -1, 0, 1, 2, 3, 4 M = -1,0,1,2,3,4 n (M) = 6 Nº sub conjuntos = 2 n(m) 1 = = 63 Rpta. propios de M 6. Indicar el cardinal del conjunto x 1 R x/ ε Z,x 17 3 Para calcular el cardinal del conjunto R. Habrá que saber cuantos valores toma x de acuerdo a las restricciones dadas en el conjunto R. Para x < 17 y que verifique que x 1 ε Z entonces x = 2, 11 3 solamente Luego R = 2,11 n(r) = 2 Rpta. 7. Dados el conjunto = a a,, cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. I. a a II. a a III. IV. V. a, a, I. a a ; pq (V) P q VV II. a a ; pq P q VF III. ; pq P q VF IV. ; pq (F) (F) (V) P q VV V. a, a, pq (V) VV Rpta. 3 son verdaderas 8. En un salón de clase de 100 alumnos, hay diez hombres provincianos, hay 40 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 10 a número de hombre limeños. Cuántos hombre hay en el aula? Utilizando diagrama CRROLL Provincianos Limeños 10 X Hombres X Mujeres U: 100 Del Total 10 + x + x = 100 2x+60 = 100 x = 20 nº hombres = 10 + x = 30 Rpta 9. Un conjunto tiene 1024 subconjunto en total. Cuántos subconjuntos de 6 elementos tendrá? Sabemos que: Nº subconjuntos de = 2 n() Por datos: 1024 = 2 n() 2 10 = 2 n() entonces n () = 10

9 Nº Subconjuntos de 6 elementos 10! (10 6)! 6! C 10 6 n() C 6 10! 4! 6! B x Z x 8 x 2 siendo : p q p q B CONJUNTOS LÓGIC ) 48 B) 42 C) 63 D) 56 E) 45 SEMN 1 CONJUNTOS I 1. Si: ;a; a ; a,b ; Indicar las proposiciones que son verdaderas. I. a {a, b} II. {} {} III. ) solo I B) solo II C) solo III D) II y IV E) II y III 2. Dados los conjuntos: x N 2x 13 B x x² 2x Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones. I. x / x² 5 > 4 II. x ( B) / 2x + 5 < 8 III. x ( B) / x² B ) VVF B) FVF C) VFV D) VFF E) VVV 3. Sea n Z n 600 Calcule la suma de elementos del conjunto B; si 3 B a 2 a a ) 1000 B) 1296 C) 1312 D) 1424 E) Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene. 5. Dados los conjuntos unitarios = {a + b; a + 2b3; 12} y B = {x y ; y x ; 16}; halle el valor de (x + y + a² + b) ) 81 B) 92 C) 96 D) 87 E) Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si: D = {(x² 1)Z / 0 < x 4} ) 132 B) 126 C) 105 D) 124 E) Si: n [P () ]= 128; n[p (B) ]= 32 y n [P (B) ] = 8 Halle el cardinal de P (B) sumado con el cardinal de: 5 3x 1 Z x 3 C = ) 521 B) 517 C) 519 D) 512 E) Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. Cuántos nuevos matices se pueden obtener? ) 512 B) 246 C) 247 D) 503 E) 502

10 9. El conjunto tiene 200 subconjuntos no ternarios. Cuántos subconjuntos quinarios tendrá? ) 64 B) 56 C) 48 D) 21 E) Si el conjunto C tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además: n() = 4P + 2 ; n(b) = 3P + 6 y n(b) = 2P 2 Halle n(b) ) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20 II) ( B) C III) C ( B) IV) C ( B) ) FVVF B) FFVV C) FFFF D) VFVF E) FFFV 13. Sean y B dos conjuntos finitos tales que: * B = * n(b) = 2. n() * B tiene 128 subconjuntos. El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de en 993. Cuántos subconjuntos propios tiene? ) B) C) D) E) Sean los conjuntos E ; B E y C E; E conjunto universal, tal que: E = {x Z + / x < 10} = x E x 7 B = {x E / x 9 x > 2} BC = {3} BC = {x E / x 7} C = B C Determinar n() + n(b) + n(c) ) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) Dados los conjuntos: 3x 5 x N / N 4 x 1 x B N / N 2 2 C x N / 2x 25 Halle: n[(b)c ] ) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Sean, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones: * B B * si x C x B Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I) y B son disjuntos 15. Para los conjuntos, B y C afirmamos: I. Si B C C B II. III. B B IV. Si B B B B V. Son verdaderas:

11 ) todas B) solo II y III C) todas excepto V D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V 19. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por: B C D 16. Si y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de y de B suman 320, los conjuntos y B tienen 2 elementos comunes; determine n(b) ) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) Sean, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que: C B ; C B l simplificar: [B(C )] [ (B C)] se obtiene: ) B) B C) B D) C E) I) [(BC)] [C D] II) ( B) (B C) III) [( D) C] [ (BC)] ) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo II y III E) todos 20. Dado 3 conjuntos ; B y C: Si n() = m ; n(b) = m + r n(c) = m + 2r ; además: n[p () ] + n[p (B) ]+ n[p (C) ] = 896 Se sabe además que, B y C son disjuntos. Calcule n( B C) ) 16 B) 22 C) 24 D) 32 E) Sean y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar: B B B ) B B) B C) B B E) D)

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