TEMA I: Modelación Experimental de Procesos

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1 TEMA I: Modelación Experiental de Procesos Métodos Clásicos para Modelación o Identificación de Procesos. Introducción La puesta en funcionaiento de un deterinado proceso que opera en lazo cerrado, requiere de la realización adecuada del proyecto de los paráetros del controlador. A este proceso, se lo denoina coúnente, sintonía de los paráetros del controlador. Para proyectar o sintonizar correctaente los paráetros de un controlador, tal coo el que se uestra en la Figura, cuya función de transferencia es G c (s), es necesario en prier lugar identificar la dináica del proceso a controlar, o sea, la función de transferencia G p (s). Identificado el odelo del proceso, es posible efectuar la copensación adecuada del lazo de control. Rs () () Es U() s () G () c s G () p s Y s Figura Sistea lineal de control con realientación unitaria. Para realizar este proceso de identificación o odelación de los paráetros del proceso, se requiere que este últio sea alientado por algún tipo de señal, a fin de excitar los odos que deterinan el coportaiento dináico del sistea en cuestión. En este procediiento, tanto la señal de entrada coo la señal de respuesta del proceso deben ser registradas. Las señales de entrada que se pueden utilizar para realizar estos ensayos son del tipo ipulso, escalón, rapa y sinusoidal. Nótese que este procediiento puede ser realizado siepre que el sistea sea de una sola entrada y una sola salida. En el análisis y proyecto de sisteas de control, es útil adoptar una base de coparación para poder evaluar el desepeño resultante de esos sisteas. Esta base de coparación, puede forarse cotejando las diferentes respuestas de esos sisteas, aplicándose a la entrada algunas de las señales patrones, enunciadas anteriorente. Del conjunto de señales encionadas, las ás utilizadas para evaluar las características dináicas esenciales de un proceso, son la entrada en escalón y la sinusoidal; en el doinio del tiepo y de la frecuencia, respectivaente. Utilizando una entrada en escalón, es posible deterinar las principales características dináicas que identifican a un deterinado sistea o proceso, entre ellas, la estabilidad, tiepo de respuesta, atraso de transporte, polos con bajo factor de aortiguaiento relativo, error en régien peranente; entre las características ás relevantes - -

2 y que pueden inferirse visualente en la respuesta a este tipo de entrada. Por otro lado, a través de la respuesta en frecuencia, utilizándose diagraas de agnitud y de fase, tabién es posible deterinar, ediante una interpretación grafica las principales características dináicas del proceso; pero adeás, coparativaente con el étodo de odelación de respuesta al escalón, la respuesta en frecuencia posibilita obtener inforación acerca de algunas dináicas que en la respuesta al escalón no aparecen visualente y tapoco son posibles de ser deterinadas analíticaente. Es iportante destacar que estos étodos de identificación son válidos para sisteas lineales. Para el caso específico de la respuesta de un proceso con señales de entrada en escalón, se considera que el sistea es lineal si la fora de la curva de respuesta del proceso ante la entrada al escalón, no depende de la aplitud de la señal de entrada. Por otro lado, para el caso de la respuesta en frecuencia, adeás de ser aplicable solo a sisteas lineales, el proceso en cuestión debe ser estable; dado que la respuesta en frecuencia de sisteas inestables no puede ser edida. Modelación de Procesos en Lazo Abierto a través de la Respuesta al Escalón El procediiento usual es realizar una conutación abrupta a través de un auento o decreento en la agnitud del escalón, agnitud que puede ser tensión o corriente, o abertura o cierre de una válvula. Es iportante aclarar que los valores edidos de la agnitud de salida pueden estar relacionados a variables físicas no eléctricas, coo ser presión, teperatura, huedad, caudal, entre otras; no en tanto, la agnitud de entrada al proceso ipuesta por el actuador, estará relacionada generalente a una tensión o corriente. Este ensayo se realiza a lazo abierto. Algunos ejeplos de respuesta al escalón de sisteas en lazo abierto se uestran en la Figura y la Tabla I resue las características dináicas de estos procesos. Tabla I Características Dináicas de Procesos en Lazo Abierto a través de la Respuesta al Escalón Coportaiento según el tipo de respuesta Respuesta Atraso de Fase No Sub Sobre Estable Inestable Oscilatorio Transporte Mínia Aortiguado Aortiguado A X X B X X X C X D X E X X X F X X X - -

3 A Salida B Salida Entrada Entrada Tiepo, seg Tiepo, seg. 5 5 C Salida D Salida Entrada Entrada Tiepo, seg Tiepo, seg. 5 5 E Salida F Salida Entrada Entrada Tiepo, seg Tiepo, seg Figura Respuestas típicas de procesos en lazo abierto para entradas en escalón. 3 Modelación de procesos de sisteas sobre y sub-aortiguados Para realizar el proyecto de los paráetros del controlador, es coún basarse en un odelo del proceso de orden reducido que pueda representar de fora aproxiada la dináica de un sistea de orden elevado. Los odelos de orden reducido ás utilizados son los de prier o segundo orden incluyendo el tiepo uerto o atraso de transporte. Las funciones de transferencia de estos odelos de orden reducido son las dadas en (), (), (3) y (4); respectivaente, de prier orden ás atraso de transporte, polo doble ás atraso de - 3 -

4 transporte, segundo orden sobre-aortiguado ás atraso de transporte y segundo orden subaortiguado ás atraso de transporte. Prier orden ás atraso de transporte s Ys () Kp e Gp() s U( s) s () Polo doble ás atraso de transporte s Ys () Kp e Gp() s U( s) ( s ) () Segundo orden sobre-aortiguado ás atraso de transporte s Ys () Kp e Gp() s U( s) ( s )( s ) (3) Segundo orden sub-aortiguado ás atraso de transporte s Ys () K e K e Gp() s U( s) s s s s s p n p n n A efectos de poder aplicar los diferentes étodos de sintonía de controladores existentes en la literatura, algunos de los cuales serán abordados en esta asignatura, se requiere que los sisteas sobre-aortiguados de orden superior a uno, se representen en lo posible, por odelos de prier orden ás atraso de transporte coo el dado por la ecuación (), en el caso de que el tiepo uerto sea significativo respecto de la constante de tiepo del proceso. Por otro lado, algunos pocos sisteas sobre-aortiguados requieren de un odelo de segunda orden coo el de la ecuación (3). Si la respuesta del proceso es sub-aortiguada deberá representarse por un odelo coo el dado en (4). (4) 3. Modelación de procesos de prier orden Un odelo que representa la dináica de uchos de los procesos coúnente encontrados en la industria es el dado por la ecuación (). Coo se puede observar en esta función de transferencia, existen 3 paráetros a deterinar: la ganancia estática K p, el atraso de transporte y la constante de tiepo. La respuesta al escalón unitario de este odelo en el doinio de Laplace puede obtenerse a partir de la siguiente expresión: - 4 -

5 s Kp e a a Y( s), donde U( s) s s s En la (5), el paráetro a es conocido y es un valor arbitrario, adoptado en función del proceso en particular. Aplicándose la transforada inversa de Laplace a la (5), se obtiene la respuesta en el doinio del tiepo, que perite en base a ediciones, la aplicación de los diferentes étodos de estiación de los paráetros antes encionados. Esta respuesta teporal está dada a continuación: y( t) a K p e ( t) En la literatura existen una gran variedad de étodos para identificar los paráetros K p, y (tanto de odelos de prier o de segundo orden ás atraso de transporte), en base a la respuesta del proceso a una entrada en escalón. Entre ellos se presentaran aquí los siguientes: Ziegler y Nichols, 94; Sundaresan y Krishnasway, 977; Nishikawa, 984; Sith, 985; Hägglund, 99; Stark, 984; Mollenkap, 988; Seborg, 989; Dorf y Bishop, 995; Jahaniri- Fallahi, 997. Estos últios étodos se relacionan a la identificación de sisteas de segundo orden odelados por funciones de transferencia del tipo dadas en (3) y (4). (5) (6) 3.. Métodos de Ziegler-Nichols y de Hägglund En estos dos étodos, los paráetros K p, y se obtienen confore se ilustra en la Figura 3. Este étodo de identificación, propuesto por Ziegler y Nichols fue el priero, el cual surgió de un procediiento de sintonización de controladores industriales tabién desarrollado por estos dos autores. Una vez registradas las ediciones de las señales de entrada y de salida, desde que se aplica el escalón de entrada hasta que el sistea alcance el régien de operación estable, el étodo requiere que se trace una recta tangente a la curva de salida del proceso en el punto de inflexión o de áxia pendiente de la isa. Esto se uestra en la Figura

6 y f Recta tangente 4 Respuesta del sistea, yt ( ) ,% y f 3.5 y.5 Entrada en escalón, ut ( ).5 u y() t t HAG ZN t Figura 3 Métodos de Ziegler-Nichols y de Hägglund para la odelación de procesos de prier orden. El atraso de transporte se obtiene de la edición del intervalo de tiepo entre el instante de la aplicación del escalón y el punto donde la tangente trazada corta al eje del tiepo, instante t ; o en general, donde la tangente corta a la recta y( t) y(). La constante de tiepo se deterina por la edición del intervalo de tiepo entre el instante t y el instante t 3, este últio obtenido a partir de la proyección sobre el eje del tiepo de la intersección entre la tangente y la recta y() t y t f ; siendo y f el valor final finito al que tiende la variable de salida del proceso cuando. Finalente, la ganancia estática K p se deterina por el cabio total en la salida dividido el cabio en la entrada, esto es: y K p, donde y = y f. (7) u En la Figura 3 es posible observar que el étodo propuesto por Hägglund es una odificación del étodo propuesto por Ziegler y Nichols, dado que la constante de tiepo uerto y la ganancia estática K p se deterinan de la isa fora, excepto por la constante de tiepo del sistea, la cual se obtiene de edir el intervalo de tiepo entre t y t, donde t es el instante para el cual la curva de la respuesta de salida alcanza el 63,% del valor final y f, o sea, y( t) y(),63 y. Es iportante observar que el valor inicial y () puede ser tanto igual a cero f - 6 -

7 coo un valor inicial diferente de cero, es por esto que aparece explícito en las ecuaciones de las rectas. 3.. Métodos de Sith y de Sundaresan-Krishnasway Los étodos descritos en el punto 3.. requieren el trazado de una recta tangente en el punto de áxia inflexión de la curva de respuesta del proceso. Esto en la práctica no siepre es posible de realizarse de fora precisa si la respuesta presenta ruido. Este trazado ipreciso de la tangente puede afectar la deterinación tanto del atraso de transporte coo de la constante de tiepo del odelo. Por lo tanto, en estos casos, para identificar con ayor precisión estos dos paráetros, es posible establecer dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando dos puntos sobre la curva de respuesta. De este odo se garantiza que la respuesta del odelo coincide con la respuesta del sistea real, por lo enos en estos dos puntos. En el étodo de Sith, coo se aprecia en la Figura 4, sobre la curva de respuesta al escalón se arcan dos instantes de tiepo, t y t, que corresponden respectivaente a los instantes en los cuales la curva alcanza el 8,3% y el 63,% del valor final y f, o sea, y los valores de salida están dados por: t /3 t ; (8) y( t ) y(),83 y f y( t ) y(),63 y. f De esta fora, los paráetros del odelo dado en (), se calculan ediante las ecuaciones dadas en (). (9) K p y u,5( t t ) ; ( t ). ; () - 7 -

8 y f Respuesta del sistea, yt ( ) ,% y f 3.5 y 8,3% y f.5 Entrada en escalón, ut ( ).5 u y() t t Figura 4 Método de Sith para la odelación de procesos de prier orden. y f 5 85,3% y f Respuesta del sistea, yt ( ) y 35,3% y f.5 Entrada en escalón, ut ( ).5 u y() t t Figura 5 Método de Sundaresan y Krishnasway para la odelación de procesos de prier orden

9 El étodo de Sundaresan y Krishnasway, de fora seejante al étodo de Sith, evita la utilización del punto de inflexión de la curva de respuesta, estiando tabién dos instantes de tiepo t y t, que corresponden respectivaente a los instantes en los cuales la curva alcanza el 35,3% y el 85,3% del valor final y f, coo se uestra en la Figura 5. Los valores de salida están dados por: y( t ) y(),353 y f y( t ) y(),853 y f (). De esta fora, los paráetros del odelo dado en (), se calculan ediante las ecuaciones dadas en (). K p y u,67( t t ) ;,3 t, 9t ;. () 3..3 Método de Nishikawa El étodo propuesto por Nishikawa se basa en calcular los paráetros del odelo dados por la () en base a la estiación de las áreas ostradas en la Figura 6. Las áreas pueden obtenerse analíticaente ediante las siguientes ecuaciones: A y( ) y( t) dt, donde A t y() t dt, y t y( ) y y() A y( ) El área A es equivalente a la sua de las constantes de tiepo ás el tiepo uerto del sistea: n T j t j y( ) f (3) A (4) Los paráetros del odelo son calculados por las ecuaciones dadas en (5). K p y u A,368 y( ) ; ; t. (5) - 9 -

10 y f A 3.5 y.5 A.5 u y() t Figura 6 Método de Nishikawa para la odelación de procesos de prier orden Método de dos Puntos General Posteriorente al étodo de dos puntos de Sith se han desarrollado otros basados en el iso procediiento, diferenciándose únicaente en la selección de los dos instantes en que la respuesta del odelo se hace coincidir con la del proceso real. Se puede entonces establecer un conjunto de ecuaciones generales para los étodos de dos puntos, con el fin de identificar un odelo de prier orden coo el dado por la ecuación (), con base en los tiepos requeridos para alcanzar dos puntos específicos en la curva de respuesta del proceso. Si p y p son dos valores porcentuales del cabio en la respuesta del sistea a un cabio en escalón en la entrada y t y t son los tiepos requeridos para alcanzar estos dos valores, coo se uestra en la Figura 7, entonces los paráetros de un odelo de prier orden ás tiepo uerto se pueden obtener de las siguientes ecuaciones: at ct bt d t ; ; (6) y K p. u Los porcentajes del cabio en la respuesta para la deterinación de los dos tiepos requeridos por el procediiento de identificación, así coo los valores de las constantes a, b, c y d; - -

11 dependen del étodo propuesto por cada autor. Estos étodos y los respectivos valores de estas constantes y porcentajes se resuen en la Tabla II. y f p %( y ) f 4 Respuesta del sistea, yt ( ) y p %( y ) f.5 Entrada en escalón, ut ( ).5 u y() t t Figura 7 Método General de dos Puntos para la odelación de procesos de prier orden o polo doble ás atraso de transporte. Tabla II Constantes para el étodo general de dos puntos. Modelos de prier orden ás atraso de transporte Método % p (t ) % p (t ) a b c d Alfaro ,9,9,6 -,6 Bröida 8 4-5,5 5,5,8 -,8 Chen y Yang ,4,4,54 -,54 Ho ,67,67,3 -,9 Sith 8,3 63, -,5,5,5 -,5 Vitecková ,45,45,498 -,498 Por otro lado, en la Tabla III se uestran los tiepos y constantes para obtener un odelo de segundo orden con un polo doble dado por la ecuación (); y se utilizan los étodos de Ho y Vitecková, tabién basados en dos puntos sobre la curva de respuesta del proceso. Tabla III Constantes para el étodo general de dos puntos. Modelos de polo doble ás atraso de transporte Método % p (t ) % p (t ) a b c d Ho ,463,463,574 -,574 Vitecková ,749,749,937 -,

12 Algunos ejeplos típicos de procesos de prier orden, pueden ser los siguientes: Control de Nivel de Líquidos; Procesos Téricos; Control de Velocidad de Servoecanisos. 3. Modelación de procesos de segundo orden Considere la representación ateática clásica de un sistea de segundo orden subaortiguado descrito por la siguiente función de transferencia: Ys () Gp( s) para U( s) s s n n n Si la entrada U(s) es un escalón unitario, la (7) puede ser escrita de la siguiente fora: (7) a Ys () s s s n n n, donde a = (8) La transforada inversa de Laplace de esta ecuación, la cual puede ser obtenida directaente por tabla, resulta: nt y( t) e cos( nbt) sen( nbt) o tabién b nt y( t) e cos( dt) sen( dt) para t b donde b d n es la frecuencia angular natural no aortiguada, y b. (9) El pico áxio de la respuesta al escalón se da en el instante t p (tiepo de pico), el cual se obtiene haciendo la derivada priera respecto al tiepo de la (9) e igualándola a cero, dado que en este punto áxio la pendiente es nula. Evaluando esta derivada priera en t p este instante de tiepo resulta dado por, t p b n d En este instante puede evaluarse el sobrepaso áxio de la respuesta de salida respecto al valor de régien estacionario de la isa, o sea, y f, que es igual a en este caso: () n ( / d ) M p y( t p) e cos( ) sen( ) b p n ( / d ) / d M e e e / por lo tanto, es fácil saber cuánto vale el prier pico áxio de la respuesta en el instante t p : () y( t ) M e p p () - -

13 Estas especificaciones se pueden ver en la respuesta al escalón sub-aortiguada ostrada en la Figura 8. Es posible observar, que idiendo de la gráfica el valor de y(t p ), el factor de aortiguaiento puede ser calculado a partir de la () coo presenta la ecuación (3), o sea: ln yt ( p) ln yt ( ) p, (3) y con la ecuación () puede deterinarse la frecuencia natural no aortiguada n. De la isa Figura 8 se pueden obtener los restantes paráetros de interés de este tipo de respuesta, paráetros que pueden ser usados coo factores de érito para coparar el desepeño dináico de diferentes procesos. Entre ellos podeos deterinar: Tiepo de subida, t r : tiepo que la salida del sistea lleva para ir desde a % del valor final y f, para el caso de sistea sub-aortiguados, esto es. Para sisteas sobre-aortiguados, se utiliza el intervalo de a 9%; Tiepo de asentaiento o de estableciiento, t s : es el tiepo que lleva la respuesta del sistea para encontrarse en un intervalo del o del 5% del valor final; Porcentaje de sobrepaso o sobreipulso, M p : Valor en porcentaje del áxio pico que alcanza la respuesta, luego de aplicada la entrada en escalón, por sobre el valor final o de referencia: M y( t ) y p f p(%) yf Error en régien peranente, e ss : Diferencia entre el valor de referencia deseado (valor de la entrada en escalón para cuando t. t ) y el valor alcanzado por la respuesta El caso del proceso de segundo orden anteriorente analizado no tiene en cuenta el valor de ganancia estática K p y un posible atraso de transporte. Casos ás generales de sisteas de segundo orden, sobre-aortiguados o sub-aortiguados son coo los representados por las funciones de transferencia (3) y (4). Aquí teneos 3 paráetros a deterinar, adeás de la ganancia estática, por lo tanto se requieren de tres puntos sobre la curva de respuesta al escalón para identificar correctaente esos paráetros. A continuación se presentan los étodos desarrollados por Stark- Mollenkap y el de Jahaniri-Fallahi

14 ( ) yt p Respuesta del sistea, yt ( ). M p Entrada en escalón, ut ( ) y f e ss t r t p t s t Figura 8 Respuesta al escalón de un proceso de segundo orden. 3.. Método de tres puntos de Stark Mollenkap Los instantes seleccionados en este étodo, son los tiepos requeridos para que la respuesta al escalón alcance el 5% ( t 5 ), el 45% ( t 45 ), y el 75% ( t 75 ) del valor final y f. Basado en estos instantes de tiepo, los paráetros del odelo son calculados por el siguiente algorito: (i) (ii) t x t t t , 85 5,547(, 475 x) x,356 (4) (5) (iii) f ( ), 78(,8) para (iv) f ( ),6,6 para f() n t t 75 5 (6) (7) (v) f ( ),9(,66) (vi) 3 f () (8) 3 t45 (9) n (vi), si, y solo si n (3) - 4 -

15 y f % y f Respuesta del sistea, yt ( ) 3.5 y 45% y f.5 Entrada en escalón, ut ( ) 5% y f.5 u y() t t t 3 Figura 9 Método de tres puntos de Stark-Mollenkap para la odelación de procesos de segundo orden ás atraso de transporte. % ( 3.. Método de tres puntos de Jahaniri Fallahi Este étodo está basado en los tiepos requeridos para que la respuesta al escalón alcance el t ) o el 5% ( t 5 ), el 7% ( t 7 ), y el 9% ( tiepo, las ecuaciones para identificar el odelo son: 5 t 9 ) del valor final y f. Basado en estos instantes de t o t, dependiendo cuál de estos tiepos da el enor error de odelo (IEAP) (3) t t t (3), , ,946444, para,477 (33) 3,935 para,477 (34) t9, 443 4,6533,654 La ganancia estática, en cualquiera de los casos de identificación de odelos de segundo orden se calcula igualente que para los casos de prier orden e K p y. u (35) - 5 -

16 3.3 Índices de Desepeño Definiendo el error de predicción de un odelo coo la diferencia entre la salida edida de la planta, y p (t) y la salida predicha por el étodo de identificación, y (t), pueden definirse los siguientes índices de desepeño: Integral del error de predicción absoluto: IEAP y ( t) y ( t) dt Integral del error de predicción cuadrático: p (36) IECP yp( t) y( t) dt Estos índices pueden ser considerados coo índices de desepeño del proceso a controlar. El índice IEAP, representa el área diferencial entre la respuesta de la planta y la del odelo identificado, de anera que si este índice tiende a cero, entonces y ( t) y ( t) p (37). Cuanto enor sea este índice de desepeño, ejor será la representación dada por el odelo. El índice IECP da ayor peso a las desviaciones grandes que a las pequeñas, por lo que dados dos odelos que posean valores del IEAP siilares, el que tenga un enor IECP, predecirá la salida de la planta con desviaciones áxias enores. Dado que es iposible hacer la evaluación infinita de las expresiones (36) y (37), estos se pueden calcular para un intervalo de tiepo finito, entre y T, siendo las constantes de tiepo de la planta. T n i i la suatoria de 4 Identificación de las constantes de la función de transferencia de un otor CC ediante la respuesta al escalón Este es un étodo de estiación paraétrica donde se asue que la función de transferencia del proceso es conocida, pero no sus paráetros. La función de transferencia de un otor de CC que acciona una carga de oento de inercia J vinculada rígidaente al eje del otor, y cuya variable de salida es la posición angular del eje, viene dada por: donde K Kt K K br t b a la constante de tiepo del otor. y () s K Gp() s (38) U( s) s( s ) JRa K K br t b a, son respectivaente la ganancia estática del otor y - 6 -

17 A pesar de que K t, K b, R a y L a pueden ser dadas por el fabricante u obtenerse ediante ensayos experientales, el oento de inercia J de la carga y el coeficiente de fricción viscosa b no son fácilente edibles. El oento de inercia de la carga J puede ser obtenible de fora analítica si la carga posee fora regular, pero el coeficiente de fricción b, no puede ser obtenido analíticaente. Por otro lado, estas dos últias constantes pueden ser obtenidas en base a edidas. Entonces, si deben realizarse ediciones, es ás fácil hacerlas para obtener directaente la función de transferencia (38). Supongaos que aplicaos la tensión de aradura al otor y edios la velocidad angular del eje; entonces, la función de transferencia (38) se reduce a: s ( s) W ( s) K Gp() s U( s) U( s) s Sea a la tensión aplicada en fora de escalón para calculada coo: t (39), la velocidad puede ser K a W() s s s Utilizándose la expansión en fracciones parciales y luego aplicándose la transforada inversa de Laplace, se puede obtener fácilente la expresión de la velocidad en función del tiepo, o sea: (4) donde, Ws () a a s s (4) K a a ( s ) ak s s s K a a s ak s s s ak ak Ws () s s (4) (43) La transforada inversa de Laplace de la (43) resulta: w t ak ak e, para t/ () t (44) Dado que es positivo, el térino t/ e a edida que t y por lo tanto, la respuesta en estado estacionario tiene al valor la Figura. ak. Esto iplica que W( ) ak, coo uestra - 7 -

18 Figura. Respuesta al escalón del otor. Valor de la referencia aplicada a = rad/seg. O sea, que si se conoce la velocidad final o de régien peranente a partir de la edida de la isa y conocido el valor de a del escalón aplicado, la constante del otor K resulta: K W ( ) a, para t Para hallar la constante del otor, de la ecuación (44) se tiene: (45) e t / w( t) w( t) ak W ( ), (46) Así, aplicándose el logarito natural a abos lados de la (46) se tiene que: t w() t ln W ( ) Es fácil observar, que si se ide la velocidad en un instante t, digaos. (47) t t, en la región del transitorio, de la últia ecuación se tiene que la constante de tiepo del otor puede calcularse coo, wt ( ) t ln W ( ) Así, la constante de tiepo del otor, es fácilente obtenible a partir de la velocidad final y una edida adicional de la velocidad en un instante t de la etapa transitoria. De la Figura, se pueden obtener los siguientes datos: W( ),5rad/seg, a rad/seg y de (45), K, 5. Luego, t,5seg y wt ( ),75rad/seg y de la ecuación (48),46seg.. (48) - 8 -

19 Con estos datos, la función de transferencia estiada idiéndose la velocidad resulta: y idiendo la posición del eje, Ws ( ),5,3 U( s),46 s s 8, 57 (49) ( s),5,3 U( s) s(,46 s ) s( s 8,57). (5) 5 Modelación de Procesos ediante la respuesta en Frecuencia 5. Introducción El étodo de la respuesta en frecuencia en la identificación de sisteas lineales está basado en los diagraas de Bode. En este étodo se aplican entradas de tipo sinusoidal al proceso a identificar, y se ide la salida del iso una vez que este está operando en régien peranente. En este ensayo deben ser observados y adquiridos o registrados tanto la agnitud coo el desplazaiento de fase entre la señal de entrada y la señal de salida. Estas edidas son obtenidas en un intervalo de frecuencias de interés para el proceso en particular. En la aplicación práctica deben garantizarse señales sinusoidales en diferentes frecuencias y edir precisaente en estas frecuencias las razones de agnitud y de fase entre las señales de entrada y de salida. Es iportante siepre recordar que este étodo es aplicable solaente a sisteas o procesos lineales y adeás estables, ya que la respuesta en frecuencia de sisteas inestables no puede ser edida en la práctica. Dado que los sisteas físicos poseen varios tipos de no linealidades, es necesario considerar cuidadosaente la aplitud áxia de la señal sinusoidal que será aplicada a la entrada del proceso. Si la aplitud es tal que lleva al sistea a la saturación, el ensayo de respuesta en frecuencia resultará ipreciso. El ensayo podría resultar erróneo tabién, si la aplitud de la señal sinusoidal es uy pequeña. Para asegurarnos que el sistea bajo ensayo está operando en su región lineal, debe apreciarse y verificarse en cada edición que la señal adquirida o uestreada a la salida del proceso sea tabién sinusoidal

20 u( t) U sen( t) y( t) Y sen( t ) G() s K i j ( s z ) ( s p ) i j Generador de Funciones Aplificador Proceso a Identificar Osciloscopio Figura. Esquea de bloques para la obtención de la respuesta en frecuencia de un proceso. Si la función de transferencia del proceso es G(s), entonces la respuesta en frecuencia se obtiene por la substitución de s por j, o sea: G( j) Re( j) j I( j). (5) Donde, G( j ) G( ) ( ) G( ) e j ( ). (5) G( ) Re( ) I( ) y I( ) ( ) tg Re( ). (53) Y U G( ) y ( ) t, (54) con t, intervalo de tiepo entre las señales de entrada, u(t) y de salida y(t). La identificación o estiación de la función de transferencia del proceso a partir de la gráfica de Bode, trazada en base a los valores experientales de agnitud, fase y frecuencia, es fácilente obtenible recordando las diferentes contribuciones de agnitud y fase de factores coúnente encontrados en una función de transferencia: (i) Ganancia constante K; (ii) polos o ceros al origen, siples o últiples; (iii) polos o ceros sobre el eje real, siples o últiples; (iv) par de polos o ceros coplejos conjugados. En gran parte de los casos prácticos reales de procesos, se encontrarán pares de polos coplejos conjugados. Ejeplo : Considere la función de transferencia de un proceso dada a seguir y su correspondiente diagraa de Bode: Gp () s,89. (55) 5,9, 3 9, 4, s s s s - -

21 5 Magnitud (db) db/década Fase (grados) , rad/seg c Frecuencia (rad/seg) Figura. Diagraa de Bode del proceso dado por la ecuación (55). Ejeplo. Del diagraa de agnitud y de la aproxiación asintótica es fácil identificar las siguientes propiedades del sistea: La ganancia estática K es unitaria, dado que en las bajas frecuencias, la asíntota de baja frecuencia es paralela al eje de db y corta al eje de agnitud en db. La inclinación final en las altas frecuencias es de -8dB/década, lo que sugiere que el sistea es de orden 4, en relación al núero de ceros, esto es n 4. Adeás, la curva de fase no deuestra la presencia de ceros en alta frecuencia. Por otro lado, la asíntota de baja frecuencia o de ganancia estática, corta a la asíntota de alta frecuencia aproxiadaente en, rad/seg; definiéndose así la frecuencia de corte. Es iportante agregar, que la intersección de estas dos asíntotas, se produce donde la ganancia cae aproxiadaente a -3dBx(orden del sistea); en este caso a -db. A partir de estos datos, la función de transferencia estiada será: Gpe 4, ( j) j, 4 (56) Gpe 4, () s ( s,) Con el objetivo de coparar abos sisteas y tener una idea de la estiación efectuada, se trazan abas respuestas en frecuencia, la de la planta real y la de la planta estiada, en un iso gráfico, coo se uestra en la Figura 3. 4 (57) - -

22 5 Planta Estiada Planta Real Magnitud (db) Fase (grados) Frecuencia (rad/seg) Figura 3. Respuestas en frecuencia del proceso real, dado por la ecuación (55) y el proceso estiado, dado por la ecuación (57). Ejeplo. Ejeplo : Considereos a continuación la respuesta en frecuencia del proceso de la Figura 4. Del diagraa de agnitud y de la aproxiación asintótica pueden inferirse las siguientes propiedades del sistea: La ganancia estática K es unitaria, dado que en las bajas frecuencias, la asíntota de baja frecuencia es paralela al eje de db y corta al eje de agnitud en db. La inclinación final en las altas frecuencias es de -6dB/década, lo que sugiere que el sistea es de orden 3, en relación al núero de ceros, esto es n 3. La asíntota de baja frecuencia, corta a la asíntota de alta frecuencia aproxiadaente en rad/seg, donde la ganancia cae aproxiadaente a -3dBx3 = -9dB; definiéndose así la frecuencia de corte. Por otro lado, en la curva de fase, se observa que el proceso identificado, curva en línea de trazos azul, presenta un increento constante de fase respecto a la que sería la curva de fase en concordancia con la curva de agnitud. Esto indica que el proceso presenta un tiepo uerto. En el caso de que el tiepo uerto fuese nulo o despreciable, la curva de fase tendería a un valor de fase dado por 9 x(orden del sistea), en este caso, 7 dado que el orden del sistea es igual a 3. Este tiepo uerto o atraso de transporte, puede ser inferido ediante la diferencia de fase entre la curva real y la curva del proceso sin atraso. - -

23 Magnitud (db) db/década Fase (grados) rad/seg c Frecuencia (rad/sec) Figura 4. Respuestas en frecuencia del proceso real, dado por la ecuación (55) y el proceso estiado, dado por la ecuación (57). Ejeplo. En la Figura 4 se describen valores de ángulos entre estas curvas, de 5 y 3 para frecuencias angulares de,5 rad/seg y rad/seg, respectivaente. Sabiendo que t, donde está dado en radianes, se tiene: 5 o radianes t 4 segundos 3 o 4, 4 radianes t 4 segundos Y de esta fora podrían probarse con otros valores de ángulos y frecuencias, los que darían aproxiadaente un atraso de trasporte de 4 segundos. Con base en la estiación realizada hasta aquí a partir de las curvas de agnitud y fase, puede decirse que la función de transferencia estiada del proceso es la siguiente: G pe 4s e () s ( s ) 3. (58) Ejeplo 3: Estiar la función de transferencia a partir del diagraa de Bode ostrado en la Figura

24 db/década Magnitud (db) db/década Fase (grados) c K,rad/seg 5,rad/seg Frecuencia (rad/seg) Figura 5. Respuesta en frecuencia del proceso a identificar. Ejeplo 3. Del diagraa de agnitud y de la aproxiación asintótica pueden inferirse las siguientes propiedades del sistea: La inclinación inicial de la curva de agnitud es de -db/década, lo que indica que el proceso tiene un polo al origen. El cruce de la asíntota en las bajas frecuencias con el eje de db perite encontrar la ganancia estática K, donde K,rad/seg. La inclinación final en las altas frecuencias es de -4dB/década, lo que sugiere que el sistea es de orden, en relación al núero de ceros, esto es n. La asíntota de baja frecuencia corta a la asíntota de alta frecuencia aproxiadaente en la frecuencia de 5, rad/seg y donde la ganancia cae aproxiadaente a -3dBx = -6dB; definiéndose así la frecuencia de corte. A partir de estos datos podeos escribir la función de transferencia de este sistea para régien peranente, de la siguiente fora: o tabién, Ge ( j), j( j ) 5,. (59) - 4 -

25 y sustituyendo j por s, resulta: Ge,4 ( j ) j (5, j ). (6),4 Ge () s ss ( 5,). (6) La coparación entre el gráfico de agnitud del proceso real y el estiado se uestra en la Figura 6, y la coparación de la fase, en la Figura 7. - Planta Estiada Planta Real G () s e,4 ss ( 5,) - Magnitud (db) Frecuencia (rad/seg) Figura 6. Respuesta en frecuencia del proceso identificado y proceso real. Curva de Magnitud. Ejeplo

26 Fase (grados) CONTROL CLÁSICO Y MODERNO -9 G () s e,4 ss ( 5,) - Planta Estiada Planta Real Frecuencia (rad/seg) Figura 7. Respuesta en frecuencia del proceso identificado y proceso real. Curva de fase. Ejeplo 3. Ejeplo 4: La curva de agnitud de la respuesta en frecuencia de la Figura 8 presenta una inclinación inicial a -db/década en las bajas frecuencias, lo que supone la presencia de un polo al origen, o sea un térino (-/j). La intersección de esta línea recta con el eje de db, nos da el valor de frecuencia igual a la ganancia estática, en este caso: K = 5,6. Las sucesivas pendientes en el sentido de las altas frecuencias son de -4dB/década, -6dB/década y finalente -4dB/década. Esto indica la presencia de dos polos reales negativos, aproxiadaente en 4rad/seg y 5rad/seg, y finalente un cero real negativo en -7rad/seg. La presencia de este cero se puede inferir no solaente del cabio de pendiente en las altas frecuencias sino tabién de la tendencia de la curva de fase en las altas frecuencias, Figura 9; que produce un aporte de fase positivo. A partir de estos datos podeos escribir la función de transferencia de este proceso para régien peranente, de la siguiente fora: o tabién, G ( j) 5,6 e ( j/ 7). (6) j( j/ 4)( j/ 5) - 6 -

27 y sustituyendo j por s, resulta: G ( j) 8 e ( j7) j( j 4)( j 5). (63) ( ) 8 ( s 7) Ge s s ( s 4)( s 5) (64) 4 - Magnitud (db) p 4rad/seg 5,6rad/seg K p 5rad/seg 7rad/seg z Frecuencia (rad/sec) 3 Figura 8. Respuesta en frecuencia del proceso identificado. Curva de agnitud. Ejeplo

28 -9-35 Fase (deg) Frecuencia (rad/sec) 3 Figura 9. Respuesta en frecuencia del proceso identificado. Curva de fase. Ejeplo 4. Ejeplo 5: La curva de agnitud de la respuesta en frecuencia de la Figura no presenta inclinación inicial en las bajas frecuencias, lo que representa un térino constante igual a la ganancia estática, en este caso K =. La pendiente en las altas frecuencias es de -4dB/década y adeás ésta respuesta presenta un pico de resonancia en la frecuencia de 5rad/seg lo que indica la presencia de un par de polos coplejos conjugados con parte real negativa. El valor de agnitud en decibeles del pico de resonancia, representado en la gráfica, es de aproxiadaente 7,86dB; a partir del cual es posible conocer cuánto vale el factor de aortiguaiento relativo. Este factor de aortiguaiento resulta igual a,. La expresión escrita en la gráfica de agnitud de la Figura, surge del siguiente análisis: La expresión en régien peranente sinusoidal de un sistea con un par de polos coplejos conjugados, puede escribirse de la siguiente fora: G( j) K j n n y la agnitud en decibeles para el trazado del diagraa de Bode resulta:, (65) - 8 -

29 AdB log( K) log j n n. (66) Para = n, considerando que K = y obteniéndose el valor absoluto, la anterior resulta A ( ) log( ) db n. (67) A partir de estos datos podeos escribir la función de transferencia estiada de este proceso para régien peranente, de la siguiente fora: G ( j) e j j n n Multiplicando y dividiendo la (68) por n, resulta en,, (68) Ge ( j ) y finalente, sustituyéndose j por s, se tiene: n n n( j ) ( j ) Ge () s s 5 s5, (69). (7) log( ) 7,86dB - Magnitud (db) db/década rad/seg Frecuencia (rad/seg) n Figura. Respuesta en frecuencia del proceso identificado. Curva de agnitud. Ejeplo

30 Es iportante destacar que n ax, pero dado que la diferencia es pequeña, la consideración de considerarlas iguales resulta en una aproxiación aceptable para estiar la función de transferencia. Si se quisiera obtener un valor ás aproxiado del factor, el valor áxio en db de la curva de agnitud surge de calcular la derivada priera del valor absoluto de la (66) e igualándola a cero para obtener ax. Esta agnitud resulta igual a. ax n para / Sustituyéndose este valor de en la (66) y calculándose el ódulo, para K =, se tiene que: AdB ( ax ) log 4 ( ). (7) Para el valor obtenido de =, se tiene que A ( ) 8,36 db ax, valor próxio al obtenido experientalente. Ejeplo 6: A continuación se uestra un caso de odelación experiental en base a la respuesta de agnitud en función de la frecuencia, de un sensor de tensión aislado utilizado para edir tensiones de corriente alterna elevadas en sisteas de control. Este circuito edidor de tensión está forado por un transductor ás un circuito de acondicionaiento, coo uestra la Figura. ut () yt () Sensor Acondicionador de Señal Figura Sistea dináico. Sensor + Acondicionador de señal. (Caja negra). Tabla IV Valores experientales de entrada-salida para diferentes valores de frecuencia Frecuencia Tensión de Tensión de (khz) Entrada u(t). (V pp) Salida y(t). (V pp) Ganancia (db) Fase (s) Fase (), 8 8, 8 8, 8 8, 8 8, 8 8,

31 Magnitud (db) CONTROL CLÁSICO Y MODERNO La Tabla IV uestra los valores experientales obtenidos durante el proceso de edición y los gráficos de la Figura y la Figura 3, uestran las respuestas de agnitud y de fase en función de la frecuencia, trazadas en base a los datos experientales y al odelo estiado. Se observa en este gráfico, que la asíntota de alta frecuencia de la respuesta experiental de agnitud, presenta una pendiente de -4dB/década, con lo que el sistea resulta ser de orden. Adeás, observando la curva de fase, se aprecia que no existen ceros en alta frecuencia. La asíntota de baja frecuencia corta al eje de db en, por lo tanto la ganancia estática de este sistea es unitaria. La intersección de las asíntotas de baja y alta frecuencia se cortan donde la agnitud cae a 6dB; definiéndose así la frecuencia de corte en n 5 4,7 rad/seg Sabiendo que la función de transferencia noralizada de un proceso de segundo orden, en régien peranente senoidal, puede escribirse por la siguiente ecuación, G ( j ) e n ( j) ( j) n Dado que el sistea no posee pico de resonancia, el iso presenta polos reales negativos, y por lo tanto, = ; de esta fora, sustituyéndose los valores de y n y reeplazando j por s, la función de transferencia estiada para estos valores experientales es la siguiente:.. (7) G () s e s (4,7 ) 4,7 5 5 s (73) 5 Experiental Estiada Frecuencia (rad/seg) Figura Respuesta en frecuencia de agnitud

32 - Experiental Estiada Fase (grados) Frecuencia (rad/seg) Figura 3 Respuesta en frecuencia de fase. Referencias Bibliográficas [] Feedback Control Systes, Charles L. Phillips and Royce D. Harbor, Fourth Edition, Prentice Hall,. [] Identificación De Procesos Sobreaortiguados Utilizando Técnicas De Lazo Abierto, Víctor M. Alfaro, Ingeniería (,):-5, San José. Costa Rica. [3] Identificação de Sisteas Dinâicos Lineares, Antonio, A. R. Coelho e Leandro, Dos Santos Coelho. Editora da UFSC, 4. [4] Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata, Third Edition, Prentice Hall,