LÍMITES Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 CONCEPTOS BÁSICOS ÍMITES Y CONTINUIDAD a deinición de ite para unciones de varias variables es siilar a aquélla para unciones de una variable, pero con la salvedad de que los entornos toados alrededor del punto donde quereos encontrar el ite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la diensión del espacio de las variables. Mientras que en unciones de una variable ha sólo dos aneras de acercarnos a un punto del doinio por derecha por izquierda, en unciones de varias variables ha ininitos cainos para acercarse a un punto del plano de las variables. Para que eista un ite, el iso debe ser igual para todos los posibles acercaientos. Igual que en unciones de una variable, para que una unción de varias variables sea continua en un punto debe estar deinida en el iso, debe tener ite en él el valor de la unción debe ser igual al del ite. una unción es cobinación de otras continuas, será tabién continua ecepto en aquellos puntos donde no esté deinida. PROBEMAS. Conjuntos abiertos. Mostrar que el siguiente conjunto del plano es abierto: {, } A En el plano, un conjunto es abierto cuando dado un eleento perteneciente al conjunto es posible trazar un disco alrededor de dicho punto tal que todos los eleentos del disco pertenecen al conjunto. En el caso de nuestro problea, teneos que cualquier - punto perteneciente al conjunto estará a una cierta distancia de cada uno de los cuatro bordes, no pudiendo estar eactaente sobre los isos dado que las desigualdades son estrictas. - En esas condiciones, para seleccionar un tal que todos los puntos en un disco de radio pertenezcan al conjunto, basta toar: ín{, -,, - } Esto es, debe ser enor que la enor distancia del punto a los bordes. De esa anera, tendreos que para cualquier punto del disco se veriicará:

2 Esto es, cualquier punto dentro del disco cuplirán las cuatro condiciones requeridas para que pertenezca al conjunto A. Por ende, el conjunto es abierto.

3 . Cálculo de ites. Calcular los ites siguientes: a e b sen a e. Se trata en este caso de unciones continuas abas, su producto está deinido en el punto indicado, por lo tanto el producto es continuo allí. Entonces el ite de la unción es igual al valor de la unción, o sea. sen sen sen b sen sen. Usaos la propiedad de que el ite de un producto es igual al producto de los ites.

4 . Eistencia e ineistencia de ites. sen a Usar la regla de l Hôpital para calcular. sen b Eiste? a sen cos 4sen 6 8cos 6 4 Usaos la regla de l Hôpital tres veces sucesivas, dado que se trataba de casos de cero sobre cero. a cuarta vez a era un ite que se podía calcular, así lo hicios. b Eainareos este ite doble acercándonos al origen a través de dos cainos: por el eje por el eje. Por el eje : sen sen 4 aprovechaos el resultado anterior. Por el eje : sen os ites a través de acercaientos dierentes son distintos, por ende no eiste el ite, de la isa anera que no eistía en cálculo de unciones de una variable cuando el ite por izquierda daba distinto del ite por derecha.

5 4. Más cálculos de ites. Resolver los siguientes ites: a b a Éste es un cociente de unciones continuas adeás deinido en el origen, por lo cual la unción es continua su ite es el valor de la unción en el origen, vale decir. b En este caso, si bien las unciones del nuerador el denoinador son abas continuas, el cociente entre abas no está deinido en el origen. Para tratar de ver si eiste un ite, analizareos priero los acercaientos por los ejes. Por el eje : Por el eje : Esto es alentador parecería que deberíaos probar ahora que el ite es. n ebargo, conviene analizar otros acercaientos al origen. Debeos recordar que una sola coincidencia entre ites por distintos acercaientos no garantiza nada por el contrario, un solo caso de ite distinto prueba que no eiste el ite. Noralente, se suelen calcular a ese eecto los ites radiales, en los cuales se deterina el ite por líneas rectas oblicuas que convergen al punto en análisis. En nuestro caso, las líneas rectas que convergen al origen son de la ora: Deterineos, pues, los ites acercándonos por estos cainos: [ ] Este últio valor depende de por lo tanto variará de acuerdo al caino de acercaiento al origen. Coo los ites no son todos iguales para todos los acercaientos, se conclue que no eiste el ite.

6 5. Cálculo de un ite por ε -. Calcular: Priero calculeos los ites radiales. Dan todos lo iso. Se sugiere al lector calcular otros ites por otros cainos coprobar que tabién dan. De esa anera, se puede conjeturar que el ite es. Para coprobarlo, debeos ver que el valor satisace alguna de las deiniciones de ite aplicada a este caso particular. o intentareos con la deinición según ε -, que establece: ε ε / En térinos intuitivos, esto quiere decir que siepre habrá un disco alrededor de para el cual los valores de la unción estarán tan cerca del ite coo queraos. El radio del disco será unción de la cercanía al ite ±ε que ipongaos. En nuestro caso, postulaos. Por ende: Por otro lado,, con lo cual el disco que buscaos satisará: Reeplazando esto arriba será: Por lo tanto, para que - sea enor que ε, basta con que ε. Por ende, dado ε, eiste ε/ que satisace la condición de ite. Por lo cual el valor de postulado, que es, es realente el ite de la unción en el origen.