PROBLEMAS RESUELTOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

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1 0 PROLEMAS RESUELTOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA PROLEMAS DEL CURSO Un rotor de 100 espiras gira dentro de un capo agnético constante de 0,1 T con una elocidad angular de 50 rad/s. Sabiendo que la superficie de cada espira tiene un área de 0,4 2 y que en el instante t = 0 el ector S fora un ángulo de 60º con, se pide: a) Fuerza electrootriz instantánea y áxia inducida en la espira. b) Periodo y frecuencia de la corriente. c) Representación gráfica de la fe. d) Intensidad instantánea cuando se conecta una resistencia de º El flujo a traés de cada espira del rotor es Scos( t ) y la fe inducida en las 100 espiras del rotor iene dada por, d N N Ssen( t ) dt El alor áxio de se da cuando sen( t ) 1; es decir, εax 0 N S ,10,4 628 V Coo 60º 3 rad, el alor de la fe en cada instante es, ε = 628cos( 50π -π 3)V El periodo de la corriente; o sea, el tiepo que le llea al rotor dar una uelta copleta es, t 2 2 T 50 0,04 s (ya que se trata de un M.C.U.) y la frecuencia es f 1 T 1/ 0,04 25 Hz Teniendo en cuenta que en el instante t = 0 el alor de la fe es, 628sen( 3) 544 V la representación gráfica fe/t es la de la figura adjunta. Si el generador es ideal (sin resistencia interna) la aplicación de la ley de Oh al circuito da, 628 i sin(50 t 3) 10,5sin ( 50π t -π 3 ) A R 60 donde 10,5 A es el alor áxio de i; esto es, I 0 = 10,5 A. -1-

2 F e Responde: a) Qué diferencia de potencial eléctrico se crea entre los extreos del ala de un aión que uela horizontalente a una elocidad de 900 k/h en un lugar donde la coponente ertical del capo agnético terrestre es de T? b) Representa gráficaente el sistea, con el capo agnético y la fuerza que actúa sobre las cargas eléctricas libres. Dato: Distancia entre los extreos de las alas, d = 45. F Las cargas libres del ala etálica del aión se ueen en el interior del capo agnético terrestre. Por lo tanto, éste ejerce una fuerza sobre dichas cargas a lo largo del ala que hace que se acuule una carga positia en un extreo del ala y negatia en el otro, tal coo se e en la figura (recuerda que la fuerza es la isa para las cargas positias y negatias, pero de sentido opuesto). Esto crea en el interior del ala un capo eléctrico que ejerce una fuerza sobre las isas cargas, pero en sentido opuesto (er figura). Cuando se alcanza el equilibrio teneos, F q 5 3 N q qe E T 5,00 10 Fe qe s C Coo la ddp entre los extreos de un conductor en el que existe un capo eléctrico iene dada por V EL, donde L es la longitud del conductor, 3 V EL Ed 510 N C 45 0,225 V Aunque no se ha deostrado, la diferencia de potencial entre los extreos de un conductor en el que existe un capo eléctrico E iene es V = EL, donde L es la longitud del conductor. ********************************* Un generador de corriente alterna suinistra 25 A a V al priario de un transforador. Cuál es la intensidad en la salida si ésta se realiza a V? Cuál es la relación de transforación? Si el generador es ideal se cuple que su fe coincide con la ddp en sus extreos, V 8000 V Por otro lado, la conseración de la energía aplicada al transforador da, VI V I donde VI es la energía que por unidad de tiepo suinistra el generador al priario del transforador y V I la energía que por unidad de tiepo el priario del transforador suinistra al secundario. Por lo tanto, V 8000V I I 25A I 0,800 A V V Por otro lado, la relación de transforación iene dada por, N N V 8000 N1 1 V N 31,

3 Un alabre de 1 de longitud desliza sin rozaiento por dos guías etálicas paralelas (er figura 1) en el interior de un capo agnético de 1 T. Si la elocidad de desplazaiento del alabre es de 1 /s y el capo agnético perpendicular al iso, deterina: a) La diferencia de potencial eléctrico entre los extreos del alabre. b) La intensidad que circulará por el alabre si se cierra el circuito con una resistencia de 1 (er fig 2). (Se considera que la resistencia del alabre y de las guías es despreciable) c) La fuerza electrootriz inducida y su sentido. d) La potencia disipada en la resistencia. e) La fuerza que se debe ejercer sobre la espira para antener la elocidad constante antes y después de cerrar el circuito. f) La potencia suinistrada al circuito por el agente que ejerce la fuerza sobre el alabre. Figura 1 Figura 2 F E Apartado a) Coo el conductor se uee en el interior de un capo agnético, las cargas libres del iso están soetidas a una fuerza agnética dada por la ley de Lorentz, F e F q La dirección y el sentido de la fuerza se deterinan por la regla de la ano derecha (er figura). Esto hace que en un extreo del conductor se acuule la carga positia y en el otro la negatia (recuerda que la fuerza es la isa para las cargas positias y negatias, pero de sentido opuesto). Coo consecuencia de ello aparece una diferencia de potencial en los extreos del conductor y, por lo tanto, un capo eléctrico en su interior que ejerce una fuerza eléctrica (F e ) sobre las cargas; esta fuerza actúa en sentido opuesto a la fuerza agnética, coo ilustra la figura. A edida que las cargas eléctricas se an acuulando en un extreo del conductor, el capo eléctrico en el interior del iso se a increentando. Llega un oento en el que F F, alcanzándose una situación de equilibrio. Coo e F qsen90 q (ya que y son perpendiculares) y F qe, teneos que, qe q E 1 / s1t 1N C Por lo tanto, la ddp entre los extreos del conductor, que es constante, iene dada por, Apartado b) V EL 1N C 1 ΔV =1V El conductor en el interior del capo agnético es un generador que da una ddp de 1 V. En consecuencia, al aplicar la ley de Oh (noral) a los extreos de la resistencia (que son los del conductor) teneos que, V 1V I I1A R 1 Resultado álido sólo si la resistencia del conductor es despreciable frente a 1. e -3-

4 Apartado c) L I x X Al desplazar el conductor hacia la derecha, el flujo a traés del circuito cerrado disinuye (ya que el núero de líneas de inducción que lo atraiesan es cada ez enor). Por lo tanto, en el circuito se induce una fe inducida igual a, d dt t ya que, al ser la elocidad constante, la disinución del flujo es proporcional al tiepo, lo que significa que la fe inducida es constante. El flujo a traés del circuito (por ser el capo agnético constante, la superficie del circuito (S) plana y perpendicular a S) es, Scos90 Lx ya que S = Lx, coo se e en la figura. Por lo tanto, f i 0 Lx x L L 1T 11 ε 1 V t t t t t s Obsera que f 0 porque cuando el conductor óil se coloca al lado de R el área del circuito (S) es cero y no hay flujo; por su parte i Lx porque inicialente S = Lx. Por otro lado, x t porque el oiiento es unifore. Coo a edida que pasa el tiepo el flujo disinuye, el sentido de la corriente inducida es tal que crea un capo agnético que se opone a esta disinución. Por ello el capo agnético creado ha de tener el iso sentido que el que genera la corriente. La regla de la ano derecha deterina que el sentido de la corriente es el indicado en la figura. Apartado d) Sabeos que una resistencia disipa energía eléctrica en fora de calor. La energía disipada por unidad de tiepo es la potencia que, en el caso de la corriente continua (es decir constante), iene dada por, P VI 1V 1A P 1 W F Apartado e) Antes de cerrar el circuito, suponiendo que no hay rozaiento, no es necesaria fuerza alguna para antener constante la elocidad del conductor óil, pues no existe ninguna fuerza que se oponga al oiiento que llea. Después de cerrar el circuito el capo agnético que crea la corriente inducida ejerce una fuerza sobre el conductor, porque ahora circula por el iso una intensidad I I F ext F IL F ILsen90 IL 1A11T F 1N La fuerza agnética ejercida sobre el conductor óil tiene la dirección de la elocidad y sentido opuesto, coo se deduce al aplicar la regla de la ano derecha al producto ectorial anterior (er la figura adjunta). Por lo tanto, para que el conductor siga con su oiiento unifore es necesario aplicar una fuerza externa igual y opuesta a F, es decir F F 1 N ext -4-

5 I n Apartado f) La potencia de una fuerza F aplicada a un cuerpo que se uee con elocidad es, donde es el ángulo forado por F y. P F F cos Recuerda que la potencia de una fuerza no es ás que el trabajo realizado por unidad de tiepo. Coo el trabajo es una fora de transferir energía de un cuerpo a otro, la potencia es la energía transferida por unidad de tiepo. En nuestro caso, coo = 0 y cos = 1, la potencia (es decir, la energía suinistrada por el agente externo por unidad de tiepo) es, P F 1N1 P1W ext Es decir, la isa energía disipada en la resistencia es la que aporta el agente externo. La energía se transfiere del agente externo al circuito (realizando un trabajo sobre él) en fora de energía eléctrica, que luego se disipa en fora de calor a traés de la resistencia. ********************************* Una bobina de 50 espiras de 8 c 2 está colocada en un capo agnético de anera que el que el flujo sea áxio. Si el capo aría de acuerdo con la función = 0,200 0,0100t, halla la fe inducida en la bobina. Suponeos que el capo agnético, aunque aría en el tiepo, es constante en el espacio; es decir, su alor es el iso en todos los puntos de la superficie plana deliitada por cada una de las espiras que foran la bobina, coo se aprecia en la figura. En estas condiciones podeos aplicar la ecuación, Scos donde es el ángulo forado por el capo agnético ( ) y la noral a la superficie de la espira ( n ), coo se e en la figura. Para que el flujo sea áxio, cos 1 0; es decir, las espiras tienen que estar colocadas perpendicularente al capo agnético. Así pues el flujo sobre cada espira es, S (0,20,01 t) T 810 (1,6 0,08 t) 10 Wb y la fe inducida en la bobina con N = 50 espiras es, 4 d d(1,6 0,08 t) 10 4 N ,0810 4,00 10 V dt dt -5-

6 PROLEMAS DE SELECTIVIDAD (UPNA) Una espira conductora de 10 c de radio se encuentra en una región del espacio donde existe un capo agnético de dirección paralela a la del eje de la espira y de ódulo ariable según la expresión = 5 sen 314 t T. Calcula la expresión de la fuerza electrootriz inducida (f.e..). (S07) Para encontrar la fe inducida hay que obtener priero el flujo del capo agnético a traés de la superficie de la espira. Sin ebargo, en teoría ios cóo calcular el flujo de un capo constante a traés de una superficie plana, ientras que el problea habla de un capo agnético ariable. La definición de flujo que se io en teoría es aplicable siepre que la superficie sea plana y la inducción agnética constante en el espacio; esto es, que su agnitud, dirección y sentido sean iguales en todos los puntos. El problea dice que el capo agnético aría en el tiepo, pero no dice que lo haga en el espacio. Entonces suponeos que la inducción agnética (aunque ariable en el tiepo) es la isa en todos los puntos de la superficie de la espira, por lo que podeos aplicar la definición de flujo de un capo agnético constante. De acuerdo con la ley de Lenz, la corriente inducida crea un capo agnético que se opone a la ariación del capo agnético externo que la produce. La regla de la ano derecha indica que el sentido de la corriente ostrada en la figura se da cuando el capo agnético está auentando (sen 3144 t > 0); ientras que tendrá sentido opuesto cuando el capo agnético disinuya. El flujo agnético a traés de la espira es, 2 2 Scos 5sin314t R R 5sin314t ya que es el ángulo forado por y la perpendicular a la superficie de la espira que, coo se e en la figura, es de 90º ( cos cos90 1 ). Para que la unidad del flujo sea el Wb (Weber) que es la unidad del S.I., es necesario que la inducción agnética se exprese en T (Teslas) y el radio de la espira en 2. Por lo tanto, coo la inducción iene dada en T y el radio en c, la expresión del flujo en Wb es, R 5sin314t 0,1 510 sin(314 t) T 1,57 10 sin(314 t) Wb I Aplicando ahora la ley de Lenz, d d 4-2 1,5710 sin314t -4,93 10 cos314tv(oltios) dt dt Por ejeplo, la f.e.. al cabo de 5 s es, 2 2 (5 s) 4,9310 cos ,9310 cos ,9310 cos ,9310 V El signo enos no significa que la f.e.. es negatia, sino que se opone a la ariación del capo agnético que produce. -6-

7 S Una bobina forada por 300 espiras cuadradas de 9 c de lado gira uniforeente a razón de ueltas/inuto en un capo agnético unifore de alor 0,2 T. Halla: (J03) a) La expresión de la fuerza electrootriz inducida. b) Representarla gráficaente indicando sus alores áxio y eficaz. Apartado a) La figura esqueatiza la espira cuadrada (ista de perfil) que gira en el interior de un capo agnético constante. Coo no nos dicen cual es la posición de la espira cuando se epieza a contar el tiepo, la colocaos en la posición ás fácil, que es perpendicular al capo agnético (ectores S y paralelos). En estas condiciones el flujo a traés de cada espira de la bobina es, Scos( t ) Scost pues 0 al ser S y paralelos en t = 0. y la fe inducida en las N espiras es, d N NS sint dt Recuerda que para que la fe salga en oltios (unidad del SI), las unidades de todas la agnitudes han de enir expresadas en el SI. Entonces, por lo tanto, S 9 c9 c ,10 10 ueltas 2 rad rad in 60 s s NS sin t ,28,110 sin100 t -153sin 100πt V 3 Apartado b) 0 T t Para representar gráficaente frente a t daos alores a t epezando desde cero. A lo largo de un periodo (T) se obtiene la gráfica indicada en la figura. Puesto que, T 2,00 10 s (no lo pide el problea) T 100 La fe áxia ( 0 ) se obtiene haciendo sin t 1 en la ecuación de la fe, ε 0 3 NS ,28, V Obsera que hay que igualar el seno a 1 porque en la ecuación de la fe aparece un signo negatio. Finalente, la fe eficaz se define coo, ε ef V