MATEMÁTICAS II 2010 OPCIÓN A. para x a.

Transcripción

1 MTEMÁTICS II OPCIÓN Ejercicio : Sea una unción deinida coo a b ( ) para a. a a) Calcula a b para que la gráica de pase por el punto (, ) tenga una asíntota oblicua con pendiente -. b) Para el caso a =, b =, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa =. Solución: partado a) La unción está deinida par todo valor de, ecepto para = a puesto que en ese punto se anula el denoinador. Entonces: Do( ) a Por tanto, si quereos que pase por el punto (, ) tendreos: a b a a b a 6 a a a b 6 a b 6 Sabeos que tiene una asíntota oblicua con pendiente -: n li li a b a a a. a b 6 sí : b 6 a 6 a li a b a li a b a a

2 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] partado b) Para a = b = ) ( es continua derivable en todo su doinio, es decir. 8 8 ) ( Esta derivada en el punto = tiene el siguiente valor: 9 8 ) ( que es el valor de la pendiente de la recta tangente a la unción en el punto dado hora lo resolvereos con Wiris: Figura.

3 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Calcula sen Solución: d Priero eectuareos un cabio de variable después resolvereos la integral por partes: Opción ) Opción ) t tdt d sen d sent t dt t sent dt t t u t du dt cos cos t t t dt cos dv sent dt v sent dt t t cost sent Consideréosla coo una integral indeinida: t t sen d sent t dt d t dt u t du dt dv sent dt v sent dt cost cos sen C. plicando la regla de Barrow: cos cos sen sen t sent dt t cost cost dt t cost sent C sen cos sen d cos sen cos sen cos sen

4 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] - hora lo resolvereos con Wiris: Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Sean las atrices 5 C B a) Indica los valores de para los que es invertible. b) Resuelve la ecuación atricial t B C para = (B t es la atri traspuesta de B). X Solución: partado a) Calculeos, en prier lugar, el deterinante de la atri. Estudieos los valores para los que el deterinante se anula: 6

5 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Para que sea una atri invertible, su deterinante tiene que ser distinto de cero, luego es invertible si sólo sí., partado b) Coo = la atri adopta la siguiente ora: Teneos que resolver la ecuación: B C X B C X t t Calculeos la atri inversa de : adj t det Cálculo de enores: Cálculo de la atri adjunta: adj Por tanto, la atri inversa es la siguiente: t Resolvaos ahora la ecuación: 5

6 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] B C X t - hora lo resolvereos con Wiris: Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 6

7 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Ejercicio : Considere las rectas r s de ecuaciones a) Deterina su punto de corte. b) Halla el ángulo que oran r s. c) Deterina la ecuación del plano que contiene a r s. Solución: partado a) Llaaos: r s Operando: Entonces r r,,, siendo el vector director,, Consideraos ahora en la recta s que Por tanto, todos los puntos de la recta son de la ora,, Es decir,,,,,,. De esta anera, un punto de esta recta es,, su vector director,, Buscaos ahora un punto que perteneca a las dos rectas, es decir, que satisaga las dos ecuaciones. Si un punto de la recta s es de la ora,, tendrá que cuplir las condiciones de la recta r, es decir,. v s 7

8 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] ó ó que es obvio. En consecuencia, el punto de corte de las dos rectas será:,,,, partado b) Calculeos ahora el ángulo que oran las dos rectas. El ángulo que oran los vectores directores de las dos rectas será el supleentario del ángulo que oran las dos rectas. Por tanto, priero calculareos el ángulo que oran los dos vectores directores. u v u v cos Considereos los vectores directores de las rectas r s: u r,, u v s,, v 6 cos u u v v,,,, cos arccos 6 º 6 En consecuencia, el ángulo que oran las dos rectas será supleentario, es decir, 8º 6º 6 9º 86. partado c Para encontrar el plano que contiene a las dos rectas calculaos el deterinante que tiene por colunas los vectores XP, u, v e igualaos a cero, siendo P un punto de la recta r. El plano que buscaos contiene al punto P su dirección la deterinan los dos vectores directores: 8

9 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Por tanto, el plano tiene coo ecuación - hora lo resolvereos con Wiris: Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 9

10 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] OPCIÓN B Ejercicio : e e Calcula li sen Solución: li e e sen cos e L Hopital ˆ L Hopital ˆ li e sen li e sen e sen cos cos e sen li e sen e sen cos e sen - hora lo resolvereos con Wiris: Figura 5. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Considera la unción deinida por 5 la unción g deinida coo g para. a) Esboa el recinto liitado por las gráicas de g indicando sus puntos de corte. b) Calcula el área de dicho recinto.

11 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Solución: partado a) La unción deine una recta la unción g una hipérbola. Los puntos de corte serán: g Conociendo estos puntos de corte dándole distintos valores a las unciones obtendreos el recinto buscado. Para, Para, La unción 5 es una recta decreciente la unción son los ejes de abscisas ordenadas: () g una hipérbola cuas asíntotas g() Figura 6.

12 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] partado b) Calculaos el área del recinto teniendo en cuenta que la variable varía entre las rectas = = que el recinto está liitado por las dos unciones. Cálculo del área: Área g d 5 d 5 5 ln 8 ln 5 ln ln 8ln,95 unidades de supericie 5 - hora lo resolvereos con Wiris: Figura 7. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

13 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño Ejercicio : Sea el siguiente sistea de ecuaciones a) Discútelo según los valores de. b) Tiene siepre solución? c) Resuelve el sistea para. Solución: partados a b) Sea la atri de coeicientes: Calculaos el deterinante de esta atri: Igualando el deterinante a cero: Para se anula este deterinante, esto quiere decir que para todos los valores de el sistea es copatible deterinado (pudiendo aplicar Craer para su resolución) tiene una solución única.

14 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] 6 6 Para el caso tendríaos el siguiente sistea: Coo se puede observar la priera la tercera ecuación son la isa. Por tanto debeos supriir una de ellas. Supriiendo la priera el sistea quedaría:.,, En este caso, el sistea es copatible indeterinado. El sistea tabién se podría haber estudiado ediante el étodo de Gauss-Jordan: F F F F F F F Es decir:

15 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño - hora lo resolvereos con Wiris: Figura 8. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: Ejercicio : Los puntos P(,, ) Q(-,, ) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S pertenece a la recta r de ecuación a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es una recta perpendicular a la recta que pasa por P S. b) Coprueba si el triángulo es rectángulo. Solución: partado a) Los puntos de la recta r tienen la siguiente ora: Para teneos: 5

16 PRUEBS PU [EDUCNDO CON WIRIS] Luego los puntos son cobinación lineal:,, los podeos epresar ediante la siguiente,,,,,, Por tanto, un vector director de la recta r es u,, Cualquier punto S tiene coo coordenadas,, para un deterinado. El vector que une los puntos P S será: PS S P,,,,,, Coo la recta r es perpendicular a la recta que pasa por los puntos P S, los vectores PS u han de ser perpendiculares, en consecuencia su producto escalar será nulo, es decir: u, PS,,,, Coo 6 partado b) el punto S será: S 6,, Coprobeos ahora que el triángulo es rectángulo. Para ello, supongaos que el ángulo recto estás situado en el vértice P. S r P Q PS S P PQ Q P 6,,,,,,,,,,,, PQ PS,,,, PQ, PS 6

17 [RESOLUCIÓN DE LS PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD] ño En consecuencia, podeos airar que es un triángulo rectángulo adeás el ángulo recto se encuentra en el vértice P. Si el anterior producto nos hubiera dado distinto de cero, tendríaos que coprobar, de la isa ora, que el ángulo recto está sobre alguno de los otros dos vértices para poder airar que el triángulo es rectángulo. - hora lo resolvereos con Wiris: Figura 9. Enlace con el ejercicio resuelto en la Web: 7