Pruebas de Acceso a Ensen anzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

Transcripción

1 PAEG junio 06 Opción A Mateáticas II º Bachillerato Pruebas de Acceso a Ensen anzas Universitarias Oiciales de Grado (PAEG) Mateáticas II (Universidad de Castilla-La Mancha) junio 06 Propuesta A EJERCICIO x x x ax 6, a Dada la unción a) Deterinar el valor del paráetro a punto de inlexión sea (,5 puntos), se pide: para que la pendiente de la recta tangente a la gráica de b) Para el valor del paráetro encontrado, calcular los extreos relativos e intervalos de creciiento y decreciiento de x a) Deriveos (,5 puntos) dos veces ' x x 6x a, '' x 6x 6 '' x 0 6x 6 0 6x 6 x ''' x 6, que es distinta de cero sea quien sea x Entonces, el punto de inlexión es x soluciones serán posibles puntos de inlexión orden tres es La pendiente de la recta tangente a la gráica de x en su Igualeos la segunda derivada a cero Las La derivada de x en su punto de inlexión es la derivada de la unción en x, es decir, ' 6 a 6 a a Entonces a, con lo que a 0 b) Para 0 x Estudieos el signo de la x,0 0, : 0 a es ' x x 6x Entonces ' x 0 x 6x 0 priera derivada en los intervalos Por tanto signo de ' onotonía,, y,, 0 0, es estrictaente creciente en, 0, y estrictaente decreciente en,0 En el punto x alcanza un áxio relativo, concretaente en el punto de coordenadas, En el punto x 0 EJERCICIO Calcula la integral deinida alcanza un ínio relativo, concretaente en el punto de coordenadas 0, 6 Nota: Puede ayudarte hacer el cabio de variable t 4 cos x dx (,5 puntos) 0 x y a continuación aplicar integración por partes PAEG junio 06 Propuesta A Página

2 PAEG junio 06 Opción A Mateáticas II º Bachillerato Tal y coo se sugiere, priero aplicareos el cabio de variable y luego integrareos por partes cos x dx cos x dx x t dx dt dx tdt t cos t dt t cos t dt x u t du dt t sen t sen t dt t sen t cos t C dv cos t dt v sen t Deshaciendo el cabio: cos x dx x sen x cos x C Entonces: 4 cos x dx x x x sen cos sen cos 0 sen 0 cos 0 sen cos cos 0 EJERCICIO a) Discute el siguiente sistea de ecuaciones lineales en unción del paráetro a x y z 0 4x y z x y z PAEG junio 06 Propuesta A Página (,5 puntos) b) Calcula la solución cuando el sistea sea copatible indeterinado ( punto) a) La atriz de los coeicientes y la atriz apliada son, respectivaente: El rango de A A 4 ; 0 A b 4 es al enos dos porque contiene un enor de orden dos distinto de cero: A Adeás, A 0 0 Entonces De lo anterior deducios que: Si, A 0, con lo que rango A rango A b n ( n indica el núero de incógnitas), y el sistea es copatible deterinado (solución única)

3 PAEG junio 06 Opción A Mateáticas II º Bachillerato 0 Si Ab 4, 0 cuyo rango tabién es dos pues la tercera ila es proporcional a la priera En este caso teneos por tanto que rango A rango A b n, con lo que el sistea es copatible indeterinado (ininitas soluciones), el rango de la atriz de los coeicientes es dos La atriz apliada es b) Resolvereos el sistea en los dos casos: cuando sea copatible deterinado y cuando sea copatible indeterinado Supongaos que 0 (copatible deterinado) y apliqueos la regla de Craer 4 x A y A z A Supongaos que (copatible indeterinado) En este caso el sistea es el siguiente: x y z 0 4x y z x y z 0 Podeos eliinar la últia ecuación (es proporcional a la priera), llaar z (el grado de libertad es uno) y escribir el sistea, equivalenteente, así: Volveos a aplicar la regla de Craer x y 4x y x ; y 4 Por tanto las soluciones, en el caso de que el sistea sea copatible indeterinado, las podeos escribir así: x, y, z,,,, 0,, Soluciones ininitas que oran, evidenteente, una recta en el espacio aín PAEG junio 06 Propuesta A Página

4 PAEG junio 06 Opción A Mateáticas II º Bachillerato EJERCICIO 4 Sea r,0, la recta deterinada por el punto a) Calcula el punto de r b) Calcula el punto siétrico de Q a) Lo hareos de dos oras distintas: Priera ora P Q ás cercano al punto y el vector v,,0 0,0, respecto a r ( puntos) (,5 puntos) x Las ecuaciones paraétricas de la recta r son: r y Entonces, un punto cualquiera de r es de la ora z M,, El punto M r ás cercano debe cuplir que QM v lo que 0 Por tanto, el punto de r Segunda ora Vaos a calcular el plano perpendicular a la recta r, es decir,, 0,, 0 ás cercano a, con Q 0, 0, es M,, que pasa por el punto Q 0,0, Podeos toar el vector director de la recta r, v,,0, coo vector perpendicular del plano, con lo que la ecuación del plano será de la ora x y D 0 Coo Q, entonces 00 D 0 D 0, con lo que la ecuación del plano es x y 0 PAEG junio 06 Propuesta A Página 4

5 PAEG junio 06 Opción A Mateáticas II º Bachillerato La recta r y el plano se han de cortar en un punto M Vaos a hallarlo Cualquier punto de r es de la ora,, y el que buscaos está en el plano, por lo que 0 0 De aquí obteneos que M,, Q 0,0, b) El punto siétrico de respecto de r edio al punto M,, (ver igura anterior) Por tanto QM a, b, QR, es decir,,, 0 abc,, c Así, el punto siétrico de Q R a, b, c, que lo vaos a llaar, tiene claraente coo punto, de donde, igualando coordenadas, teneos que respecto a r R,, es PAEG junio 06 Propuesta A Página 5