Evaluació n para Accesó a la Universidad

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1 EVAU junio 07 Propuesta B lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Matemáticas II º Bachillerato Evaluació n para Accesó a la Universidad Matemáticas II (Universidad de Castilla-La Mancha) junio 07 Propuesta B EJERCICIO Calcula razonadamente los siguientes límites: (,5 puntos por límite) a) b) lim x x x x x x lim x0 a) b) xln x cos x x x x x x x x x x x 4 0 lim Indeterminación lim lim x 5x x 4 0 x x x x x 0 x x x Indeterminación lim lim 0 x x x x x x xln x ln x 0 0 lim Indeterminación lim x Indeterminación x0 cos x 0 x0 sen x 0 x x lim x0 cos x En este último apartado se ha hecho uso de la regla de L Hôpital (dos veces) para calcular el límite EJERCICIO Dadas las funciones f x x y g x x x 4 a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas (,5 puntos) b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de gx en el punto de abscisa x ( punto) a) Calculemos en primer lugar las abscisas de los puntos en los que se cortan las gráficas de f x y de gx : Además, entre x y x f x g x x x x x x x x es f x g x pues la inecuación x x x 4, cuya solución es precisamente el intervalo, x x 4 0 x x 0 es equivalente a A del recinto cerrado limitado por las gráficas de f y g viene dada por la siguiente integral definida: Por tanto, el área EVAU junio 07 Propuesta B Página

2 EVAU junio 07 Propuesta B lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Matemáticas II º Bachillerato x 6 f x g x dx x x 4 dx x 4x uds b) La recta normal a la gráfica de gx en el punto de abscisa x es la perpendicular a la recta tangente en dicho punto La recta tangente viene dada por y g g ' x La derivada de la función g es g ' x x Por tanto, g ' Como g, tenemos que la recta tangente en x es y x y x Dos puntos de esta recta son, por ejemplo, el, y el,, luego un vector director suyo es u, Un vector perpendicular al anterior es fácil de calcular, por ejemplo: v, Por tanto, la recta normal es la que pasa por el punto, y tiene dirección la del vector v : x y y x x y 9 0 Este apartado se podría haber resuelto sabiendo que la pendiente de la recta normal es m pendiente de la recta tangente Es decir, la pendiente de la recta normal en nuestro caso sería donde m es la y de aquí, la recta normal en x es de la forma y x n Como esta recta pasa por el punto, se tiene, sustituyendo, que n n n 9 n 9 9 Por tanto, la recta que se busca es y x (esta es la ecuación afín o explícita de la recta) Si se pasa a general o implícita se obtiene xy 9 0 EJERCICIO Dadas matrices a) Tiene inversa la matriz I 0 A 0 0, B? Razona la respuesta B 0, C I es la matriz identidad de orden ( punto) b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que X C A X B (,5 puntos) a) I B Sabemos que una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de cero Como EVAU junio 07 Propuesta B Página

3 EVAU junio 07 Propuesta B lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Matemáticas II º Bachillerato 0 I B resulta que, efectivamente, la matriz I B tiene inversa b) X C A X B X XB AC X I B AC X I B I B AC I B X AC I B La matriz adjunta de I B 4 d es I B d t La traspuesta de la adjunta es I B d t 4 4 I B 0 0 Por tanto, la matriz inversa es I B I B X X A C I B Así pues: EJERCICIO 4 a) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos 0,, Q 4,,0 ( punto) P y b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de P x r y z 5 y Q y que pertenezca a la recta (,5 puntos) a) Un vector director de la recta es u PQ 4, 4, Podemos tomar como vector director uno proporcional al anterior más sencillo de manejar, por ejemplo u,, La ecuación de la recta en su forma continua es x 0 y z, y en su forma general o implícita es x y x y 0 x z 4 x z 4 0 EVAU junio 07 Propuesta B Página

4 EVAU junio 07 Propuesta B lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Matemáticas II º Bachillerato La ecuación general o implícita puede adoptar distintas maneras Antes hemos eliminado denominadores igualando las razones primera y segunda por un lado, y primera y tercera, por otro Pero si eliminamos denominadores con la primera y segunda, y con la segunda y tercera obtenemos: b) Un punto A de r x y x y 0 y z 4 y z 0 es siempre de la forma A,, 5 Si deseamos encontrar un punto de la recta r equidiste (estar a la misma distancia) de P y Q, se ha de cumplir que AP AQ Tenemos que que Por tanto: AP,,,,, 5 AQ AP AQ Y de aquí deducimos que: AP AQ De este modo el punto buscado es: 7 A,, 5 A,, 5 A,, 5 EJERCICIO 5 a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B En A tengo 0 novelas, 0 ensayos y 0 libros de matemáticas y en la B tengo novelas y libros de matemáticas Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro Calcula razonadamente la probabilidad de que: a) El libro elegido sea de matemáticas (0,75 puntos) a) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B (0,5 puntos) b) El tiempo de espera en una parada del autobús se distribuye según distribución normal de media 5 minutos y desviación típica 5 minutos b) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de minutos (0,75 puntos) b) Cuántos minutos de espera son superados por el % de los usuarios? Razona la respuesta (0,5 puntos) a 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0,0 0,5000 0,50 0,500 0,50 0,560 0,599 0,59 0,579 0,59 0,559 0, 0,59 0,54 0,547 0,557 0,5557 0,5596 0,566 0,5675 0,574 0,575 0, 0,579 0,5 0,57 0,590 0,594 0,597 0,606 0,6064 0,60 0,64 0, 0,679 0,67 0,655 0,69 0,6 0,66 0,66 0,644 0,640 0,657 0,4 0,6554 0,659 0,66 0,6664 0,6700 0,676 0,677 0,60 0,644 0,679 EVAU junio 07 Propuesta B Página 4

5 EVAU junio 07 Propuesta B lasmatemáticaseu Pedro Castro Ortega Matemáticas II º Bachillerato a) Llamemos A y B P A P B a los sucesos elegir la estantería A o B, respectivamente Entonces 0,5 N E Llamemos también, y M a los sucesos elegir una novela, elegir un ensayo o elegir un libro de matemáticas, respectivamente Entonces, según el enunciado, tenemos las siguientes probabilidades condicionadas: 0 0 P N / A 0,5 ; P E / A 0,5 ; 0 P N / B 0,6 ; P M / B 0,4 0 0 P M / A 0,5 Según el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que el libro elegido sea de matemáticas es: P M P M A P M B P M / A P A P M / B P B 0,5 05 0,4 0,5 0,5 Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, la probabilidad de que fuera de la estantería B viene dada por la siguiente probabilidad condicionada (teorema de Bayes) b) Llamemos X PM P B M P M / B P B 0,4 0,5 0, PB / M 0, 65 P M 0,5 0,5 X a la variable tiempo de espera se distribuye según una normal de media 5 minutos y X 5 X N 5, 5 Por tanto, la variable Z se distribuye 5 P Z a desviación típica 5 minutos Simbólicamente: según una normal de media 0 y desviación (tipificación de la variable), cuyas probabilidades podemos mirar en la tabla adjunta La probabilidad de esperar menos de minutos viene dada por: 5 P X P Z P Z 0, 4 P Z 0, 4 P Z 0, 4 0, ,446 5 Para saber los minutos de espera que son superados por el % de los usuarios, llamaremos al número de minutos y plantearemos la siguiente ecuación: P X x 0, Ahora operamos teniendo en cuenta las propiedades de la distribución normal: x 5 P X x 0, P X x 0, P X x 0, 66 P Z 0, 66 5 x 5 0,4 x5,05 x 7,05 5 Esto quiere decir que el % de los usuarios superan los 7,05 minutos de espera x EVAU junio 07 Propuesta B Página 5