Trayectoria es la línea imaginaria que describe un cuerpo en el transcurso del movimiento. Clases de trayectoria:

Transcripción

1 Cinemáica 1 Cinemáica 1. SISTEMA DE REFERENCIA. La posición es el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio con respeco a un puno que consideramos fijo. Sisema de referencia es el marco con respeco al cual vamos a indicar la posición de un cuerpo. Anes de comenzar el esudio de los movimienos, es preciso indicar que se dice que un cuerpo esá en reposo cuando su posición no varía con respeco a un puno fijo y que se oma como referencia a medida que ranscurre el iempo. En caso conrario se dice que el objeo esá en movimieno. Es de inerés resalar que no exisen punos de referencia fijos y que odos esán doados de movimieno. Los cuerpos que aparecen en reposo con respeco a nosoros, ales como un árbol o una casa, se mueven con la Tierra y ésa, como los demás planeas, alrededor del Sol, el cuál, a su vez, se mueve en el Universo. En consecuencia, resula evidene que el concepo de reposo es relaivo.. TRAYECTORIA. CONCEPTO Y CLASES. Trayecoria es la línea imaginaria que describe un cuerpo en el ranscurso del movimieno. Clases de rayecoria: a) Recilínea: Si la línea imaginaria descria por el cuerpo es una reca. Ej.: Un cuerpo que cae libremene. b) Curvilínea: Si la línea imaginaria descria por el cuerpo es una curva. Ej.: circular, la de un puno siuado en la periferia de la rueda de un molino que gira; parabólica, la del movimieno de un balón que sale del suelo oblicuamene; elípica, la de cualquier planea alrededor del Sol. 3. ESPACIO RECORRIDO. DESPLAZAMIENTO. Espacio recorrido es la longiud de la rayecoria descria por un cuerpo. Desplazamieno es la diferencia enre la posición inicial y final de un cuerpo. Ambas magniudes son longiudes y su unidad en el S.I. es el mero (m). Espacio recorrido B Desplazamieno A

2 Cinemáica Sólo coincidirá espacio recorrido y desplazamieno en el caso de que la rayecoria sea recilínea y el móvil no cambie de senido 4. CONCEPTO DE VELOCIDAD. Velocidad es la variación del espacio con respeco al iempo. Velocidad media es el cociene que resula de dividir el espacio recorrido por un móvil y el iempo inverido. Por ejemplo, si un coche arda 1,5 h en recorrer una disancia de km, su velocidad media será: v = e e km v = = = 133, 3 1, 5 h Velocidad insanánea es la velocidad que posee un móvil en un deerminado insane de su movimieno. Aunque el coche del ejemplo anerior haga una media de 133,3 km/h, es evidene que en insanes deerminados su velocidad ha sido superior y en oros inferior a esa velocidad media; puede que a los 5 minuos exacos de su movimieno su velocidad fuese 9,7 km/h y a los 6 minuos exacos fuese 15 km/h. Las unidades de la velocidad en el S.I son los m/s. Oras unidades usadas son: km/h, nudo (1 nudo = 1,85 km/h). 5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME. (M.R.U.). Un móvil se desplaza con M.R.U. cuando su rayecoria es una reca y su velocidad es consane. Por ejemplo, un coche que sobre un ramo de carreera reca maniene su velocidad en 1 km/h consanemene GRÁFICA v/ PARA EL M.R.U. Por ser consane la velocidad la represenación de v frene a nos da una reca paralela al eje del iempo. Supongamos un auomóvil que maniene una velocidad consane de m/s por un ramo recilíneo de una carreera. Si omamos una abla de la velocidad a diferenes iempos llegaremos a los siguienes resulados: km h Tiempo (s) Velocidad (m/s)

3 Cinemáica v GRÁFICA e/ PARA EL M.R.U. Es una evidencia que a medida que pasa el iempo el móvil recorre cada vez más espacio. Si analizamos el espacio que recorre el anerior móvil en función del iempo: Tiempo (s) Espacio (m) La represenación del e frene a nos llevaría a la siguiene gráfica: e La pendiene de la reca es precisamene la velocidad m/s. Por ello la ecuación del espacio para un movimieno recilíneo uniforme es: e = v Teniendo en cuena que para un movimieno recilíneo el espacio recorrido coincide con el desplazamieno, es decir, se corresponde con la diferencia enre la posición final (x f ) e inicial (x ) del móvil, concluiremos que: e x f x = v =

4 Cinemáica 4 EJERCICIOS 1. Un avión rompe la barrera del sonido cuando supera la velocidad del sonido, 34 m/s. a) Cuál es dicha velocidad en km/h? b) Qué espacio recorre un avión con esa velocidad en 37 minuos? Resp.: a) 14 km/h. b) 754,8 km.. Un cuerpo recorre con velocidad consane una rayecoria reca de 1 km en minuos. a) Cuál es su velocidad en el S.I? b) Qué espacio (en meros) recorrerá en dos horas? c) Cuános segundos ardará en recorrer 5 m? Resp.: a) 1 m/s. b) 7 m. c),5 s. 3. La velocidad de la luz en el vacío es de 3 km/s. La disancia de la Tierra al Sol es de 15 millones de kilómeros. Cuáno iempo arda en llegar la luz del Sol a la Tierra? Resp.: 8 min s. 4. Un avión se mueve en línea reca con una velocidad consane de 864 km/h. a) Cuál es su velocidad en el S.I.? b) Cuáno iempo arda en recorrer 7 m? c) Qué disancia recorre en minuos? Resp.: a) 4 m/s. b),9 s. c) 88 m. 5. Cuános km recorre un auomóvil en 4 minuos que se mueve en línea reca con una velocidad consane de 7 km/h? Resp.: e = 467 m. 6. Un auomóvil se encuenra en el kilómero 18 de la carreera de la Coruña, y circula con una velocidad consane de 75 km/h hacia esa ciudad. a) Qué disancia habrá recorrido cuando ranscurran,5 h.? b) En qué puno kilomérico se enconrará? Resp.: a) 187,5 km. b) 5,5 km. 7. Un coche recorre la disancia enre Madrid y Valencia (33 km) del siguiene modo: en los primeros 13 km arda 75 minuos, en los 15 km siguienes arda horas y los 5 km úlimos los recorre en 3 minuos. Calcule: a) La velocidad media en cada una de las res eapas. b) La velocidad media en odo el recorrido. Resp.: a) v I = 14 km/h, v II = 75 km/h, v III = 1 km/h. b) v T = 88 km/h. 8. Un cuerpo se mueve en línea reca de acorde a los siguienes daos: Tiempo (s) Espacio (m) a) Confeccione la gráfica e/. b) Calcule la velocidad gráficamene. c) Calcule el espacio recorrido por el cuerpo a los,5 s. d) Halle el iempo que arda el cuerpo en recorrer 5 m. Resuelva los aparados c) y d) gráfica y numéricamene. Resp.: a)... b) 15 m/s. c) 37,5 m. d) 3,33 s. 9. Un ren se mueve con una velocidad consane de 1 m/min. a) Cuál es su velocidad en el S.I?. b) Confeccione la gráfica e/ para los 5 primeros segundos. c) Qué espacio recorre en 3,5 s? d) Cuáno iempo arda en recorrer 85 m? e) Cuáno iempo le lleva en ir de Saniago de Composela a Madrid, si la disancia, por vía férrea, enre ambas ciudades es de 57 km? Resuelva los aparados c) y d) gráfica y numéricamene. Resp.: a) m/s. b)... c) 7 m. d) 4,5 s. e) 7,9 horas.

5 Cinemáica 5 6. ACELERACIÓN. Aceleración media es el cociene que resula de dividir la diferencia de dos velocidades a dos iempos diferenes enre el iempo ranscurrido en al variación. a m = v f v Ej. Si un coche cambia su velocidad de 7 km/h ( m/s) a 9 km/h (5 m/s) de manera progresiva en 1 s enonces: a v v 5 1 f m = = = m,5 s La aceleración de un cuerpo puede ser posiiva, si aumena la velocidad de ése, o negaiva, si disminuye la velocidad, es decir, si frena. 7. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO. (M.R.U.A). Un móvil se desplaza con M.R.U.A. cuando su rayecoria es una reca y el módulo de su velocidad varía uniformemene (aceleración angencial) GRÁFICA v/ PARA EL M.R.U.A. Sea un cuerpo que se desplaza con M.R.U.A. que responde a la siguiene abla: Tiempo (s) Velocidad (m/s) Una represenación gráfica de esos daos nos daría la siguiene reca: v

6 Cinemáica 6 Esa reca responde a la ecuación : v = n + k dónde n es la ordenada en el origen de valor n = 1 m/s que coincide con la velocidad inicial v (velocidad para = ), y k la pendiene de la reca, de valor k = m/s que es precisamene el valor de la aceleración experimenada por el cuerpo. Por ello, se puede escribir la anerior ecuación de manera general como: v = 1 + v = v + a que es la ecuación de velocidad para un M.R.U.A., una ecuación que nos dará el valor de la velocidad en función del iempo. 7.. GRÁFICA e/ PARA UN M.R.U.A. Para un M.R.U.A. se puede comprobar que el espacio recorrido es cada vez mayor para inervalos regulares de iempo, como lo confirma la abla que se expone : Tiempo (s) Espacio (m) Represenando esos daos en una gráfica de e frene a : 3 5 e La única ecuación que responde a esa gráfica (curva) es: 1 e = 3 +

7 Cinemáica 7 Por lo ano, de manera general: 1 e = x f x = v + a que es la ecuación del espacio para un M.R.U.A., es decir, una expresión que nos da el espacio recorrido por un cuerpo en función del iempo. Una ercera ecuación para el M.R.U.A. donde no inerviene el iempo sería: v = v + a e EJERCICIOS. 1. En la publicidad del Porsche 911 Turbo se puede leer que ése acelera de km/h a 1 km/h en 4,5 s. Calcule: a) La aceleración del coche en el S.I. b) La velocidad del coche (en km/h) al cabo de 7 s. c) El espacio que recorre al cabo de 8 s. Resp.: a) 6,17 m/s. b) 155,5 km/h. c) 197,4 m. 11. Un coche reduce su velocidad de 1 km/h a 8 km/h en 5 s. a) Cuál es el espacio recorrido en esos 5 s? b) Cuál será la velocidad del coche al cabo de 7 s? c) Si frena con la misma inensidad, deermine el iempo oal que arda en pararse y el espacio oal que recorre. Resp.: a) 138,9 m. b) 6,6 km/h. c) 15,1 s, 5, m. 1. Deermine para cada ramo de la siguiene figura: a) Aceleración. b) Espacio recorrido. v (m/s) (s) Resp.: a) y b) a I = 1,5 m/s, e I = 1 m. a II = m/s, e II = 1 m. a III = - 1 m/s, e III = 18 m. 13. Un avión pare del reposo, acelera a razón de 1 m/s mienras recorre la pisa de despegue y empieza a ascender cuando su velocidad es de 36 km/h. Calcule: a) Cuána pisa ha recorrido?. b) Qué iempo ha empleado?. Resp.: a) 5 m. b) 1 s. 14. Una moo lleva una deerminada velocidad, ésa frena oalmene con una deceleración de 1,85 m/s en 85 m. Calcule: a) Qué velocidad enía la moo? b) Cuáno iempo ardó en pararse? Resp.: a) 63,8 km/h. b) 9,58 s.

8 Cinemáica CAIDA LIBRE DE UN CUERPO. Es un caso especial de M.R.U.A. Los cuerpos que caen libremene esán someidos a una aceleración, que es producida por la denominada fuerza de la gravedad, es decir, la aracción graviaoria de la Tierra. Galileo comprobó que odos los cuerpos de la misma forma y amaño, aunque sean de disina masa, caen libremene en el aire con la misma aceleración. Por ejemplo, dos esferas del mismo amaño, una de acero y ora de madera, llegan a la vez al suelo al caer libremene desde la misma alura. Gráficas e/, e/, v/. Ecuaciones. Deducción del valor de la aceleración debida a la gravedad. Si esudiamos la caída libre de un cuerpo se puede llegar a los siguienes daos. (s) e (m) 4,9 19,6 44,1 78,4 Represenando e/: e Traemos de represenar e/. (s) e (m) 4,9 19,6 44,1 78,4

9 Cinemáica 9 e Qué clase de gráfica obienes? Puedes llegar a alguna ecuación? Te recuerda a alguna ecuación visa aneriormene? Compáralas y obén el valor de la aceleración de la gravedad, y encuenra la ecuación final que liga el espacio con el iempo para un cuerpo en caída libre.

10 Cinemáica 1 Si ahora raamos de relacionar la velocidad con el iempo, llegaríamos a la siguiene abla: Represena v/ (s) v (m/s) 9,8 19,6 9,4 39, v Qué clase de gráfica obienes? Puedes llegar a alguna ecuación? EJERCICIOS. 15. Un cuerpo cae libremene desde lo alo de un edificio ardando,3 s en llegar al suelo. Calcule: a) La alura del edificio. b) La velocidad (en km/h) del objeo al llegar al suelo. Resp.: a) 5,9 m. b) 81,1 km/h. 16. Se dice que el choque de un auomóvil que sufre una colisión a una velocidad de 85 km/h equivale al impaco del propio auomóvil cayendo libremene desde lo alo de la orre Eiffel. a) Cuál es la alura de la orre Eiffel?. b) Cuál seria la velocidad del auomóvil si cayese desde un edificio de 1 m?, cuáno iempo duraría la caída desde el edificio de 1 m?. Resp.: a) h = 319,8 m. b) v = 159,4 km/h, = 4,5 s.

11 Cinemáica 11 EJERCICIOS DE REPASO R1. Un ren recorre con velocidad consane una disancia de 5 km en 4 horas. Halle: a) Velocidad en el S.I. b) Disancia que recorre en 15 minuos. c) Tiempo que le lleva en recorrer 1 m. Resp.: a) 34,7 m/s b) 31,5 km. c),56 s. R. Un ciclisa sale de Eseiro a las 11:45 A.M. hacia Muros maneniendo una velocidad consane de 18 km/h llegando a Muros a las 1:5 P.M. Calcule: a) Disancia que separa a Eseiro de Muros. b) Tiempo que le lleva en recorrer los primeros 3 m. c) Espacio recorrido en un cuaro de hora. Resp.: a) 1 km b) 6 s. c) 45 m. R3. Una moo iene una velocidad consane de 3 m/s y un coche una velocidad uniforme de 9 km/h. Deermine: a) Cuál iene mayor velocidad?. b) Si ambos paren desde el mismo puno y en el mismo insane, qué disancia le saca un vehículo al oro al cabo de minuos?. Resp.: a)... b) 6 km. R4. Dos amigos se despiden y se alejan por dos calles que son perpendiculares. Si uno maniene una velocidad de,75 m/s y el oro una velocidad de 1,5 m/s, cuál será el desplazamieno que los separa al cabo de un minuo?. Resp.: 87,5 m. R5. Un cuerpo se mueve en línea reca según los daos de la abla: Tiempo (s) Espacio (m) a) Represene la gráfica e/ e idenifique la clase de movimieno. b) Calcule la velocidad gráficamene. c) Calcule el espacio recorrido por el cuerpo a los 5 s. d) Halle el iempo que arda el cuerpo en recorrer 1 m. Resuelva los aparados c) y d) gráfica y numéricamene. Resp.: a)... b)... c) 15 m. d) 4 s. R6. El nivel de agua en un embalse crece a un rimo de cm/h. Si el nivel inicial de agua esá 8 m por debajo del ope máximo del embalse. Deermine: a) Cuáno iempo ardará en desbordarse el embalse?. b) Qué aumeno experimenará el nivel del agua en un día? Supóngase que en odo momeno persisen las lluvias. Resp.: a) 4 h. b) 4,8 m. R7. La disancia enre Muros y A Coruña es de 1 km. Un coche pare de Muros hacia A Coruña con una velocidad de m/s, y de A Coruña hacia Muros pare una moo con una velocidad de 45 km/h. Calcule: a) El iempo que ranscurrirá cuando los dos vehículos se crucen. b) A qué disancia de Muros se produce el encuenro?. Resp.: a),85 h b) 61,5 km. R8. Un coche pare de un puno A con una velocidad consane de 5 m/s. Tres minuos más arde y desde el mismo puno pare una moo en su persecución a una velocidad consane de 18 km/h. Halle: a) El iempo que le lleva a la moo en alcanzar al coche. b) A qué disancia del puno A se produce el alcance?. Resp.: a) 15 minuos. b) 7 km.

12 Cinemáica 1 R9. Un camión reduce su velocidad de 8 km/h a 6 km/h en 1 m. Deermine: a) Tiempo que arda el camión en efecuar al disminución de la velocidad. b) Velocidad que iene al cabo de 8 s. c) Si maniene el rimo de frenado, cuál es el iempo inverido en pararse y el espacio oal que recorre? a) 5,14 s b) 49,1 km/h. c),75 s, 3 m. R1. Un coche acelera de a km/min en 8 s. Calcule: a) La aceleración del coche en el S.I. b) La velocidad del coche (en km/h) al cabo de s. c) El espacio que recorre al cabo de 6 s. Resp.: a) 4, m/s. b) 3,4 km/h. c) 75,6 m. R11. Un coche iene una aceleración de 6 m/s y, pariendo del reposo, alcanza en ciero insane una velocidad de 1 km/h. Calcule: a) Espacio recorrido y iempo inverido en alcanzar la velocidad de 1 km/h. b) Espacio recorrido en el úlimo segundo. Resp.: a) 4,63 s, 64,3 m b) 4,8 m. R1. Un coche con una velocidad de 6 km/h frena compleamene en un espacio de 8 m. Halle: a) Tiempo que le lleva pararse. b) Disancia recorrida en el úlimo segundo. Resp.: a) 9,5 s. b) 1 m. R13. Un móvil se mueve de acuerdo con la siguiene gráfica v/: v (m/s) (s) Deerminar: a) Su velocidad inicial y la aceleración. b) Sus ecuaciones de la velocidad y el espacio en función del iempo. c) El espacio recorrido en 5 s. Resp.: a)... b)... c) 11,5 m. R14. Un objeo describe una reca respondiendo a los siguienes daos: Tiempo (s) Velocidad (m/s) Deermine: a) La aceleración del objeo. b) La velocidad del objeo a los 3,5 s. c) El iempo que arda en alcanzar la velocidad de 35 m/s. d) El espacio recorrido a los 4 s. Resuelva los aparados b) y c) de forma gráfica y numérica. Resp.: a) - 6 m/s. b) 9 m/s. c),5 s. d) 15 m.

13 Cinemáica 13 R15. El proyecil de una bala incide en un ablón de madera a una velocidad de 4 m/s, penerando 1 cm en ése. Calcule: a) Aceleración del proyecil. b) Tiempo que arda en pararse. Resp.: a) - 8 m/s b),5 s. R16. Un balón cae por una pendiene recorriendo un espacio de m en 8 s hasa llegar a la base. Calcule la velocidad del balón en la base de la pendiene. Resp.: 8 m/s. R17. Un camión miliar pare desde un puno A con una velocidad consane de 9 km/h. Transcurrido un minuo, desde el puno A se dispara un misil conra el camión con una aceleración de 7 m/s. Deermine: a) Tiempo que arda en alcanzar el misil al camión. b) Disancia desde el puno de impaco al puno A. c) Velocidad del misil en el puno de impaco. Resp.: a) 6,91 s. b) 167 m. c) 483,7 m/s. R18. Se deja caer una piedra desde un acanilado. Calcule la velocidad y espacio recorrido por la piedra para los insanes: a) = 1 s. b) = s. c) = 3 s. d) = 4 s. e) = 5 s. Resp.: a) 9,8 m/s, 4,9 m. b) 19,6 m/s, 19,6 m. c) 9,4 m/s, 44,1 m. d) 39, m/s, 78,4 m. e) 49 m/s, 1,5 m. R19. Un balón cae libremene por el hueco de las escaleras desde una alura de 19 m. Calcular: a) El iempo que arda en caer. b) La velocidad del balón al llegar al suelo. Resp.: a) 1,86 s. b) 65,7 km/h. R. Se deja caer un ieso desde una venana ardando,5 s en llegar al suelo. Halle: a) Alura de la venana con respeco al suelo. b) Velocidad del ieso en el suelo. c) Espacio recorrido en el úlimo segundo. Resp.: a) 3,6 m. b) 4,5 m/s. c) 19,6 m. R1. Se arroja vericalmene hacia abajo un ieso desde una venana, con una velocidad inicial de 6 m/s ardando,5 s en llegar al suelo. Halle: a) Alura de la venana con respeco al suelo. b) Velocidad del ieso en el suelo. c) Espacio recorrido en el úlimo segundo. Resp.: a) 45,6 m. b) 3,5 m/s. c) 5,6 m. R. Se arroja un objeo vericalmene hacia arriba con una velocidad de 9,4 m/s. Calcule la velocidad y alura de la piedra para los insanes: desde s hasa 6 s, cada segundo. Resp.: a) 9,4 m/s, m. b) 19,6 m/s, 4,5 m. c) 9,8 m/s, 39, m. d) m/s, 44,1 m. e) - 9,8 m/s, 39, m. e) - 19,6 m/s, 4,5 m. e) - 9,4 m/s, m. R3. Se dispara vericalmene hacia arriba un cohee con una velocidad inicial de 5 m/s. Deerminar: a) La alura máxima que alcanzará. b) El iempo que esá el cohee en el aire. c) La velocidad que iene a los 1 s. d) La alura cuando su velocidad sea de 3 m/s. Resp.: a) 1755 m. b) 1 s. c) 4 m/s. d) 8163 m. R4. Un proyecil es disparado vericalmene hacia arriba alcanzando una alura máxima de 4 km. Calcule: a) Velocidad inicial del proyecil. b) Tiempo que esá en el aire. c) Insanes y velocidades del proyecil cuando se encuenran a 1 meros sobre el suelo. Resp.: a) 8 m/s. b) 57 s. c) 3,8 s, 4 m/s; 53, m/s, - 4 m/s. R5. Desde lo alo de un puene, a m sobre un río, se arroja vericalmene hacia arriba un objeo con una velocidad inicial de 3 m/s. Halle: a) Alura máxima que alcanza la piedra sobre el puene. b) Insane y velocidad de la piedra cuando vuelve a

14 Cinemáica 14 pasar por el puno de lanzamieno. c) Insane y velocidad de la piedra cuando cae al río. Resp.: a) 45,9 m. b) 6,1 s,... c) 6,7 s, - 35,94 m/s. R6. Un objeo se deja caer desde 8 m sobre la superficie marciana ardando un iempo de,5 s en llegar a ésa. Deermine: a) La gravedad de Mare. b) La velocidad con la que llega al suelo. Resp.: a) 3,8 m/s. b) 7,79 m/s. R7. Sea arroja un objeo vericalmene hacia arriba en Mare con una velocidad de m/s. Calcule: a) Alura máxima que alcanza. b) Tiempo que arda en caer. c) Resuelva los aparados aneriores para el caso de la Tierra. Resp.: a) 5,6 m. b) 1,5 s. c),4 m, 4,1 s. R8 Con el programa de W. FENDT resuelve el supueso prácico: valores iniciales: x =, v =, a = m/s. Los valores de la velocidad a disinos iempos para ese caso serían: (s) v (m/s) a) Represena dichos valores en una gráfica velocidad/iempo: v (m/s) b) Varía la velocidad? Cómo clasificarías el movimieno? c) Serías capaz de idear un méodo (con el programa de Waler Fend) para deerminar la velocidad insanánea del móvil en un puno? Uilízalo para conocer la velocidad del móvil para la posición x = 36 m. d) Halla la pendiene de la reca en la gráfica v/. Con qué magniud coincide? e) Siuando los deecores en los punos correspondienes raa de complear la siguiene abla: (s) e (m) 1 6,5 9,5 49 f) Traza a gráfica posición-iempo (e/), según los resulados obenidos: (s)

15 Cinemáica 15 x (m) (s) g) Tiene la misma forma que la gráfica e/ en un movimieno uniforme?