MA0455 (Tarea 1) b(s)µ 1 (s)ds + µ(t)b(t)µ(t) 1. a(s)ds 0 µ(t) t a(s)ds. a(s)ds t. + e

Transcripción

1 MA0455 Tarea Problema. Eisencia y unicidad de la ecuación lineal Sean a y b funciones coninuas en el inervalo I, con 0 I. Enonces eise una única solución al problema de Cauchy que viene dada por a = b, I 0 = 0 donde µ = e asds 0. = µ 0 + µ bsµ sds, 0 I Eisencia. Suponiendo que eise : I R que saisface. Derivando se obiene: Por ano cumple. = 0 dµ d + dµ d µ = 0 ae asds 0 + ae asds 0 µ 0 bsµ sds + µbµ = a 0 e asds 0 + e asds 0 µ = a + b 0 bsµ sds + b 0 bsµ sds + b Unicidad. Asuma que eisen dos funciones, g y z, definidas en I que cumplen el problema de Cauchy, por ano, basaría probar r = g z Noe que r = 0, I r + ar = g z ag z = g ag z az = b b = 0 Enonces enemos la ecuación de variables separables r ar = 0 Aneriormene se probó que dichas ecuaciones poseen solución única y en ese caso esá dada por: asds r = ce 0 Pero de la hipóesis de que g y z cumplen el problema de Cauchy r 0 = g 0 z 0 = 0 De donde se obiene c = 0 y por ano r = 0, para odo I. Se ha demosrado que g y z son iguales, o sea, la solución en única.

2 Problema. Inerés compueso Supongamos que inverimos I 0 colones en una insiución financiera que paga inereses compuesos al año de r por cieno. El valor de una inversión a iempo años, depende la consancia en que se paguen los inereses. Los bancos normalmene pagan inereses anuales, mensuales, semanales o inclusive diarios.. Muesre que si el banco paga inereses cada m periodos enonces el valor de la inversión viene dada por I m = I 0 + m r m. Por definión de inerés compueso, se sabe que si se inviere I 0 colones en el iempo 0, al final del periodo se endrá: Para el segundo periodo será: I 0 + I 0 r = I 0 + r Al final de n periodos se endrá: I 0 + r + I 0 + rr = I 0 + r A n = I 0 + r n Se debe ener claro que r es un inerés compueso converible a m periodos, o sea, si se quiere conocer el inerés aplicable a cada periodo, se debe omar: i = r m Siguiendo la lógica que se eplicó al inicio, al final de m periodos se abrá acumulado: I m = I 0 + r m m. Como m represena el número de periodos en que se esá dividiendo el año, si se quisiera averiguar cuáno se ha acumulado al final de años, basa con elevar la ecuación a m, pues eso indica el número de capializaciones oales que se efecuaron. De esa forma se obiene la ecuación: I m = I 0 + r m m. 3. Supongamos que el banco paga los inereses de manera coninua, enonces la velocidad de acumulación de la inversión viene dada por I = I 0 I. encuenre el valor de I y demuesre que I m iende a I cuando m. El problema de Cauchy sería I = ri I0 = I 0 Noe que es una ecuación de variables separables, de donde obenemos fácilmene: ahora se inroduce el límie I = I 0 e r lim I m = lim I 0 m m = I 0 lim m = I 0 e r m + r m + r m m

3 3. Asuma que un banco paga inereses de manera bimensual y used desea uilizar la aproimación coninua 3 para calcular el valor de la inversión después de 5 años. Cuál es el inerés máimo que puede ener el banco si used quiere que su error se menor a ɛ colones? Definiendo para una asa de inerés converible cada dos meses, durane 5 años, el error, respeco un esquema de conversión coninua, se iene que ɛ = e 5r + r 30 6 omando fr = e 5r + 6 r 30 ɛ, se desea enconrar, los valores de r ales que, fr = 0. Donde una forma de aproimar dicho valor, omando r 0 = 0.5 como valor inicial, vendría dada por r 0 = 0.5 r n+ = r n e5rn 30 + rn 6 ɛ 5e 5rn rn 6 aravés del méodo de aproimación de Newon-Raphson. Problema 3. Conaminación del lago Considere un lago que inicialmene coniene millones de liros de agua fresca. Agua que coniene un químico conaminane empieza a enrar al lago a una velocidad de 5 millones de liros/año y la mezcla sale del lago a la misma velocidad. La concenración γ del químico en el agua que enra varía periódicamene de acuerdo a la epresión γ = + sin 3 gramos/liro.. Encuenre la canidad del químico presene en el agua cada año. Considerando los siguenes daos V = millones liros Velocidad enra agua = Concenración químico agua que enra se desea enconrar d d q = 5 Velocidad sale agua millones liros + sin 3 año así, el problema de Cauchy vine dado por = 5 millones liros año = γ = + sin 3 gramos liros 0 6 gramos 5 millones liros q = sin q q0 = liros millones liros millones liros q año V gramos millones liros Noe que esa ecuación es lineal y por ano posee un facor inegranre de la forma µ = e así, usando q = µ + sin 3s 0 6 u sds 0 = e sin 3s e s ds 0 = e e 5 0 4s ds + sin 3s e 5 0 4s ds 0 0 = e e sin 3s e 5 0 4s ds 3 0

4 Resolviendo la inegral, se obiene como resulado: q = e [ e e sin cos 3 e ]. Encuenre res limiaciones del modelo uilizado. Se asume que la velocidad con la que sale y enra el agua es la misma, ese argumeno es poco úil pues en la realidad hay muchos facores, como el relieve, la época del año o elemenos como ramas u oros objeos en el medio que pueden hacer que la velocidad de enrada y fuga del agua sea disina. Se asume que el químico se dsiribuye de forma uniforme denro del agua, sin embargo, eso no sucede necesariamene, porque el químico se quede arapado enre las raíses de los árboles, por ejemplo. No se conoce sobre oros químicos que hayan en el agua y que puedan reaccionar creando ora susancia, de esa forma, la concenración de nuesro químico sería disina. Problema 4. Imposibilidad de oscilaciones Sea f CR una función no nula. Demuesre que no eisen soluciones periódicas de la ecuacón diferencial. = f Asuma por conradiccón que = + T para T > 0 y = f. Ahora: +T fs ds = +T fs sds Dado que es diferenciable y su derivada es inegrable f es coninua para odo R, en paricilar lo es en el inervalo [, + T ]. Por lo que se puede realizar el siguiene cambio de variable: acá hace fala referenciar la prueba de cambio de variable Asi u = s du = sds Ahora veamos lo siguiene +T fs ds = +T fs sds = +T fudu = fuds, = 0 Lo cuál es una conradicción pues f es no nula. +T fs ds = 0 f 0 = 0, 0 [, + T ] Problema 5. Daación por carbono 4 Los arqueólogos usan el decaimieno radioacivo del carbono 4 para esimar la fecha de muere de maerial orgánico. El carbono es esable mienras que el carbón 4 es radioacivo y al pasar el iempo decae a nirógeno 4 y oras parículas. Mienras el organismo esá vivo las canidades de carbono y 4 se manienen iguales, porque el organismo repone el carbono 4 por medio de acividades como respirar y comer. Cuando el organismo muere, la reposición del carbono 4 se deiene y 4

5 empieza a decaer a una velocidad proporcional a la canidad presene a iempo seg. La vida media de un compueso radioacivo es el iempo en que dura en desinegrarse la miad del compueso. Se conoce que la vida media del carbono 4 es de años. Asuma que obiene una muesra de hueso de humano en el que se ha desinegrado el 70% del carbono 4.. Formule una ED para la canidad de carbono 4 y resuélvala. Sea 0 la canidad inicial de carbono 4 presene en el fósil. Enonces, el problema de Cauchy asociado viene dado por = κ 0 = 0 así, pueso que el problema es de la forma, su solución viene dada por para a = κ, b = 0, la solución es de la forma = 0 e κ adicionalmene, se conoce que la vida media del maerial saisface por lo ano, la solución de la ED viene dada por. Halle la edad del fósil enconrado. Calculando la inversa de, se saisface que 0 = 0 e κ5730 ln = 5730κ κ = ln 5730 = 0 e ln 5730 = 0 e ln ln = ln = ln ln en paricular, para 0 = 0.7 la edad de fósil, en años, viene dada por = ln ln Problema 6. Trayecorias orogonales Dos curvas suaves se llaman orogonales si en cada puno de inersección poseen recas angenes perpendiculares enre sí. Sea Ω R abiero y F C R al que F 0 en Ω. Considere la familia de curvas F, y = c ;, y, c Ω R. 4 Las rayecorias orogonales a la familia 4 son odas las curvas que son orogonales a odas las curvas de la familia 4 en Ω. 5

6 . Encuenre la ED que saisfacen las rayecorias orogonales a la familia 4. Tenemos noe que G, y = F, y c G, y = 0,, y Ω así como, ambien se cumple que G = F 0 G y = F 0. Con lo cual, por el eorema de la y función implícia, asumiendo S.P.G G 0. Eise y = y, al que y dy d = G/ G/ y = F/ F/ y Donde, para z = z rayecoria orogonal de 4 sobre Ω, se debe saisfacer que dz dy d d = dz d = dy/d dz d = F/ y F/ de forma que, la ED asociada viene dada por dy d = F/ y F/. Sean a, b R + y Ω = R \ 0, 0. Encuenre las rayecorias orogonales a la familia de elipses Tomando F, y de la forma 5, se saisface a + y b = c,, y, c Ω R 5 F F y = a = y b La ED es de la forma dy d = a y b dy = a d y b = a b dy y d ln y = a b ln + C con lo cual, la familia de curvas orogonales a 5 son de la forma b ln y a ln = C pues, y son separables. 6

7 3. Qué an esencial es la condición F 0 en Ω? Hace fala prueba Problema 7. Modelo SI para epidemias En una comunidad de N = individuos hay I = individuos infecados con una enfermedad conagiosa y S individuos sanos. Después de un mes se observa que la canidad de infecados ha crecido a individuos.. Uilice el modelo SI del documeno aneo para aproimar la canidad de infecados en cualquier insane poserior. Considerando los siguenes daos Población N = individuos del modelo, se iene que donde el problema de Cauchy se epresa como con lo cual, resolviendo luego, evaluando en = 0 r = cγ N I = rin I I0 = di = rin I d dt = rd IN I dt = r d pues I, son separables. IN I di N I + di = r d N I ln I lnn I = rn + C I ln = rn + C N I I = Ce rn ecuación N I I = Ce rn N I I = CNerN + Ce rn por ano, la equación queda definida como I0 = CN + C = CN + C C = CN C = C = 9 I = 06 e e N 50000

8 . Cuáno ardará en infecarse la miad de la población? Se quiere observar cuáno arda en meses en reducirse la población a = 06 e e Diga res limiaciones del modelo y cómo podría mejorarse. Se asume que N población es fija, una limiane basane fuere, pues esas se encuenran en consane cambio por la muere y nacimienos de individuos. Sería conveniene N esé en función de, que permiar conabilizar la canidad de individuos en el momeno. El modelo pide una población lo suficienemene grande para que el cambio de N por N no afece los cálculos, eviando que ese modelo se pueda usar de forma adecuada en poblaciones pequeãs. Sin embargo, si se revisa con deenimieno el modelo, se puede observar que el cambio fue innecesario, pues manener N no complica el modelo. Sería ideal analizar la población por secores geográficos. Pues la ransmisión de una enfermedad infecciosa se da por medio del conaco de personas y eso a su vez se produce denro de grupo de personas que se relacionan. Problema 8. Reacciones químicas Dos susancias químicas P y Q reacciones para formar ora susancia PQ. La velocidad a la que PQ se produce es proporcional al produco de la canidad de susancia P y Q que esá presene a iempo min. Para formar gramos de PQ necesiamos un gramo de cada una de las susancias P y Q. Inicialmene hay 00 gramos de P y 50 gramos de Q y luego de 0 minuos hay 0 gramos de PQ.. Encuenre un ED para la canidad de susancia PQ luego de minuos. Considerando los siguenes daos Canidad inicial P 0 Canida inicial Q 0 Velocidad PQ Canidad resane P Canidad resane Q = 00 gramos = 50 gramos = κp Q gramos minuos = 00 = 50 con lo cual, la ecuación de Cauchy viene dada por. Resuelva la ED y encuenre para odo. Resolviendo la ecuación anerior gramos gramos = κ = 0 8

9 [ ln d = κ d d = κd d = κ d d = κ + C ln 50 ] = 5κ + C 00 ln 50 = 5κ + C = Ce 5κ = 00 Ce5κ Ce 5κ Dado que en momeno = 0 hay una canidad 0 de P Q = Ce 5κ0 C = 3. Cuál es la canidad máima de PQ que se puede formar en esa reacción? Calculando Ce5κ lim = lim 00 Ce 5κ L H 5κCe 5κ = 00 lim 5κCe 5κ = 00 con lo cual, la canidad máima de la susancia P Q producida iende a 00 gramos. 4. Cuáno sobra de las susancias P y Q después de un largo periodo de iempo? Considerando lim 00 lim 00 = = lim 00 lim 00 = 50 = 0 con lo cual, se pude apreciar que después de un iempo suficienemene largo, oda la susancia Q se consume, y an solo la miad de la susancia P es uilizada durane la reacción. 9