APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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1 Complemeno 3 del capíulo APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.3 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO.4 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO.5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO UTILIZANDO MAPLE 7.6 PRÁCTICA DE LABORATORIO: CRECIMIENTO DE UNA CÉLULA SUSPENDIDA EN UNA SOLUCIÓN.7 PRÁCTICA DE LABORATORIO: DEMOSTRACIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON.3 APLICACIONES DEL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO En los problemas al esablezca la ecuación diferencial que represena la siuación física planeada y resuélvala por el méodo de separación de variables, inroduciendo las condiciones de conorno para obener el modelo maemáico del escenario.. Cuando un rayo de luz pasa a ravés de una susancia ransparene su inensidad I disminuye en forma proporcional a I (), en donde represena el espesor del medio expresado en pies. En agua de mar la inensidad a 3 pies bajo la superficie es 5% de la inensidad inicial I del rayo incidene. Cuál es la inensidad del rayo a 5 pies bajo la superficie? 6

2 6 Complemeno 3 del capíulo Los daos que se iene son I I I 3 5 % 5% 3? 5 y la ecuación diferencial del problema es di KI Aplicando en esa ecuación el méodo de separación de variables se obiene que di I K ln I K + C e e ce I () ce Susiuyendo aquí la condición inicial se encuenra que I () I e K ln I K + C K K Susiuyendo en esa ecuación la condición de fronera se obiene que 3.5 I e K Susiuyendo el valor de K resula que K ln. 5 / I () I e. 46 y de aquí se iene que Por ano, la inensidad del rayo a 5 pies bajo la superficie es I( 5). % I( 5) e ( ) Un marcapasos esquemaizado consa de una pila elécrica, un pequeño capacior y el corazón, que funciona como resisencia en el circuio. Cuando el conmuador S se coneca a P, el capacior (o condensador) se carga; cuando S esá conecado a Q, el capacior se descarga enviando un esímulo elécrico al corazón. Durane ese lapso la ensión elécrica aplicada al corazón esá dada por de RC E ; < < Q conmuaor P S Corazón R C E

3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 63 en donde R y C son consanes. Deerminar E() si E( ) E, la fuerza elecromoriz de la pila. Desde luego la conmuación (el cambio de conexión del conmuador) es periódica, a fin de simular el rimo cardiaco naural y producir el esímulo del corazón. Los daos que se ienen son de RC E ; E()? E( ) E < <, Separando variables se obiene que de E RC E e + RC c E c e RC Susiuyendo la condición inicial se obiene que E c e RC E c e RC E e E RC e RC E E e RC e RC Por ano la solución paricular es E () E e ( ) RC 3. En ciero modelo que represena la variación de la población P() de una comunidad se supone que en donde db/ y dd/ son las asas de naalidad y de moralidad, respecivamene. a) Deerminar P() si db kp dp b) Analizar los casos k > k, k k y k < k db y dd dd k P

4 64 Complemeno 3 del capíulo db dd a) Susiuyendo kp dp db dd y k P en se iene que dp kpkp dp ( k k ) P ( k k ) dp ( k k ) ( k k ) P ( ) ln( k k k k ) P + c ( k k ) ( k k ) c ( k k ) P e e ( k k ) P ke ( k k ) k Haciendo con k e ( k k ) c C se iene que ( k k ) ( P Ce k k ) Tomando en cuena que para se iene que P P enonces C P y la solución viene dada por ( P P e k k ) b) Para el caso k > k se iene que la población crece en forma exponencial y se concluye que la naalidad es mayor que la moralidad. En el caso k k se iene que la población es igual a la población inicial. Finalmene en el caso k < k resula que la población decrece, es decir, la asa de moralidad es mayor que la asa de naalidad. 4. El número de supermercados C() en odo el país que usan un sisema de conrol por compuadora de los horarios de salida se describe por medio del problema de valor inicial dc C(. 5C); > ; C( ) Cuános supermercados esarán usando dicho sisema cuando? Cuánas empresas se esima que adoparán el nuevo procedimieno en el fuuro? A parir de la ecuación diferencial del problema se iene que dc C. 5C ( ) (A)

5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 65 Usando fracciones parciales resula que A B C. 5C C. 5C ( ) + (B) A B Susiuyendo las consanes A y B en la ecuación (B) se obiene que / C. 5C C. 5C ( ) + y usando esa ecuación en la ecuación (A) resula que dc dc + C. 5C Inegrando se obiene que ln C ln. 5C + K C 5C e + K. ( ) C Ke. 5C Susiuyendo la condición inicial C ( ) se obiene que K. 5 Susiuyendo el valor de K en la solución general resula que C. 5C. 5 e Para el número de supermercados que esarán usando dicho sisema es C e. 5C C Para el número de supermercados que esarán usando dicho sisema es C e C C Para el número de supermercados que esarán usando dicho sisema es C e. 689 *. 5C C 7. * *

6 66 Complemeno 3 del capíulo Para 5 el número de supermercados que esarán usando dicho sisema es 5 C e 4. *. 5C * C 6 7* Para el número de supermercados que esarán usando dicho sisema es C e 7*. 5C * C * En base a los resulados aneriores se concluye que la canidad de empresas que se esima que adoparán el nuevo procedimieno en el fuuro es de, aproximadamene. 5. El número de personas N() de una comunidad que verán ciero aviso publiciario se rige por la ecuación logísica. Inicialmene N() N 5 y se observa que N(). Si se predice que el número límie de personas de la comunidad que verán el aviso es 5, deermine N(). Los daos que se ienen son N( ) N 5 N( ) N () 5 La incógnia es cualquiera. N (), eso es, el número de personas que verán el aviso en un insane La ecuación logísica del problema es dn an bn cuya solución es dn N a bn ( ) ln N ln a bn + c a a N ln a bn a + ac y de aquí se obiene que N a bn a ce N ac e a () + bc e a ac bc + e a

7 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 67 Si N( ) N, se obiene que c N, N a b abn y de ese modo, después de susiuir y simplificar, la solución es N () an bn + a bn e a ( ) Susiuyendo aquí la condición inicial se comprueba que la solución es correca, pero se necesian dos condiciones de fronera para deerminar a y b, y sólo se cuena con N( ) N () 5 ( ) Por oro lado, la solución de la ecuación no lineal dn an bn, mediane Maple 7 es > ode:diff(n(),)-a*n()-b*(n())^; > bernoullisol(ode,n(); ode : ( ) a ( ) b ( ) N N N a {N() b+ e (- a ) C a } Esa solución no conduce a un resulado favorable en cuano al iempo que se necesia para que N personas vean el aviso. Ahora, si > ode:diff(n(),)-*n()-*(n())^; > bernoullisol(ode,n(); ode : ( ) ( ) ( ) N N N { N( ) } + ( ) e C Como para la ecuación logísica se iene la resricción de que a > y b >, enonces se puede observar que se omó a y b, en el sofware mencionado, obeniéndose la solución general N () + Ce

8 68 Complemeno 3 del capíulo Susiuyendo la condición inicial se obiene el valor de la consane C y, por ano, la solución general se ransforma en Cualquiera de los inenos fallidos permien observar que la solución de dn an bn esá acoada cuando. También se sabe que bn, b >, se inerprea como la inhibición y que a es mucho mayor que b en la mayoría de las aplicaciones. A coninuación se deermina el valor de a y b. an Susiuyendo N 5 en la solución general N() se iene que bn + a bn e a N N () Susiuyendo la primera condición de fronera () + ( ) 5a e b 5 e N( ), se obiene que La segunda condición de fronera es N( ) 5 y de aquí se concluye que el valor de a es mayor 5 veces que b, lo que prueba lo dicho anes. Por oro lado, la ecuación diferencial dn an no es un modelo muy fiel de la población cuando ésa es muy grande. Sin embargo, se considera que el número límie de 5 es una población pequeña, por lo que se planea deerminar el iempo en que esa población límie verá el aviso. En ese caso la ecuación diferencial del problema es dn Separando variables e inegrando se obiene que 5a 5b+ a5b e a ( ) a ( ) a ( ) an e ( ) dn an dn a N ln N + c a Susiuyendo las condiciones inicial y de fronera se obienen las siguienes dos ecuaciones simuláneas igualadas a una misma consane ln 5 c a ln c a

9 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 69 Igualando esas ecuaciones se iene que ln 5 ln a a a.693 Como N( ) se obiene que c ln( ) + c. 693 por lo que N () en un insane cualquiera es Si N 5 N se encuenra el iempo límie para el cual eso sucede e e ln Por ano, 3. 4 es el insane en que 5 personas verán el aviso publiciario. 6. La población P() de un suburbio en una gran ciudad en un insane cualquiera se rige por el problema de valor inicial dp 7 P( P) P( ) 5 en donde se expresa en meses. Cuál es el valor limie de la población? Cuándo igualará la población la miad de ese valor límie? Separando variables e inegrando se iene que dp 7 P( P) Uilizando la fórmula du ln u( a + bu) a u a+ bu + c se iene que P ln 7 P + c P 7 P ee c Por ano, la solución general es P 7 P ce

10 7 Complemeno 3 del capíulo Susiuyendo la condición se obiene que Susiuyendo el valor de c y suponiendo que, se obiene el número de habianes P 7 P( ) 5 5 ce 7 ( 5) 55. 5e P 5 c ( 5) P habianes Susiuyendo el valor de c y suponiendo que se obiene el número de habianes P habianes Eso quiere decir que murieron más de los que nacieron. Suponiendo que 5 se iene que P 5 habianes. Se concluye que esa es la población límie. Para obener cuándo la población igualará la miad de ese valor límie, se planea lo siguiene P P personas ( 5 3) 5.9 meses 55. 5e 7. Obener la solución de la ecuación logísica modificada dp Pa ( bp)( cp ) a, b, c > Uilizando Maple 7 se obiene que > wih(deools): > ode : diff(p(),) P()*((a-b*P())*(-c*P()^(-))); exacsol( ode, P() ); ode : P( ) P( ) ( a b P( ) ) c P( ) P( ) e ( a) e (_C a ) a e ( bc) e (_C b c) + c b e ( a) e (_C a ) e ( bc) e (_C b c)

11 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 7 > simplify({p() (/exp(*b*c)*exp(*a)/exp(_c*b*c)*exp(_c*a)*a-c)/(- +b/exp(*b*c)*exp(*a)/exp(_c*b*c)*exp(_c*a))});` P( ) a e (( + _C ) ( bc+ a) ) c + b e (( + _C ) ( bc+ a) ) 8. Dos susancias químicas A y B se combinan para formar una susancia química C. La reacción que resula enre las dos susancias químicas es al que por cada gramo de A se usan 4 g de B. Se observa que se forman 3 g del compueso C en min. Deermine la canidad de C en un insane cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional al produco de las canidades de A y B resanes y si en un principio hay 5 g de A y 3 g de B. Qué canidad de compueso C hay después de 5 min? Inerpree la solución cuando. Sea x () el número de gramos de compueso C presenes en un insane cualquiera. Claramene se sabe que x ( ) y x ( ) 3. Suponiendo que hay gramos de compueso C habrá a gramos de A y b gramos de B. Por ano, a+ b, b 4a. En al caso se iene que uilizar a gramos de susancia A y 5 b 8 5 x 4 gramos de B. Para x gramos de C se deberán emplear gramos de A y gramos de B. 5 5 x 4 Las canidades resanes de A y B en un insane cualquiera son 5 x y 3 x. La rapidez 5 5 con que el compueso químico C se forma saisface la ecuación dx Se facorizan /5 del primer érmino y 4/5 del segundo, luego se inroduce la consane de proporcionalidad dx Aplicando separación de variables se obiene que dx k ( 5 x)( 4 x) x α k( 5 x)( 4 x) x / / + 5 x dx dx k 4 x 5 x ln 5 x c e 4 k + c x 4 x 4 5 k

12 7 Complemeno 3 del capíulo Aplicando la condición x ( ) se obiene que c 5 / 4. Sabiendo que x 3 para se iene que 88 k ln X X 4 (min) x(g) 3 4 (a) Susiuyendo el valor de k resula que Fig (medido) (b) En la Fig. 3. se muesra que x 4 cuando. Eso significa que se forman 4 gramos de compueso C y que quedan de susancia A de susancia B 9. La alura del nivel h del agua que fluye de un orificio en el fondo de un anque cilíndrico esá dada por A A ( ) g ( 4) g dh e x () 5 4e A pie gh, g 3 s A en donde y son las áreas de las secciones ransversales del anque y el orificio, respecivamene. Resuelva la ecuación si el nivel inicial del agua esá a pies y A A 4 pie. Cuáno demora el anque en vaciarse? Se iene los daos dh g A A pie 3 s gh 5 pie y

13 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 73 A 5 pie A pie h( ) pie 4 Separando variables e inegrando se iene que dh h 5 h + c 5 Susiuyendo la condición h( ) se iene que c y la solución viene dada por h + 5. Suponga que un alumno es porador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay esudianes. Si se supone que la rapidez con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la canidad x de alumnos infecados sino ambién a la canidad de alumnos no infecados, deermine la canidad de alumnos infecados reina días después si se observa que a los cuaro días x(4)5. Suponiendo que nadie sale de la escuela se iene que dx kx( x), x( ) ax Susiuyendo a k y b k en la ecuación x () se iene que bx + ( a bx ) e a k x () k k + 999e k + 999ke k Susiuyendo la condición x(4)5 se obiene el valor de la consane k y se obiene que x () e 996 Por ano, en 3 días el número de alumnos infecados será x( 3) e alumnos.

14 74 Complemeno 3 del capíulo. La población de una pequeña ciudad crece, en un insane cualquiera, con una rapidez proporcional a la canidad de habianes en dicho insane. Su población inicial de 5 aumena 5% en años. Cuál será la población denro de 3 años? Se ienen los daos N 5 N( ) N y la ecuación del problema es dn kn Separando variables e inegrando se iene que dn N k ln N k + c Enonces la solución general viene dada por N ce k y a parir de la condición de fron- Aplicando aquí las condiciones iniciales resula que era N ( ) 575 se obiene que 5 c 575 5e k k. 397 Para N ( 3) resula que N 5e. 397( 3) N 76. Cuando un objeo absorbe calor del medio que lo rodea se obiene la fórmula dt kt ( T ). Una pequeña barra de meal, cuya emperaura inicial es de C, se deja caer en un recipiene con agua hirviendo. Calcule el iempo que dicha barra demorará en alcanzar los 9 C. Si se sabe que su emperaura aumenó C en segundo, cuáno se ardará la barra en alcanzar los 98 C? La ecuación de ese problema es dt ( ) ktt

15 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 75 y ambién se ienen los daos Tinicial C Separando variables e inegrando se obiene que dt k T T T agua _ hirviendo C T 9 C T 98 C dt T k ln T k + c T ce k Susiuyendo la condición inicial dada, T ( ) resula que + ce k( ) c 8 Susiuyendo c en la solución general se obiene que T 8 e k Tomando en cuena la condición T () se iene que ln e k() k Por ano, la solución paricular de ese problema es y para T 9 C resula que T () 8e ( ) ee seg En un iempo de 8.3 segundos la barra de meal alcanzará los 9 C. Para iempo es e T 9 C, el En un iempo de 45.7 segundos la barra de meal alcanzará los 98 C..4 APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE PARA RESOLVER LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO En los problemas del al planee la ecuación diferencial que represena la siuación física implicada, y resuélvala por el méodo del facor inegrane bajo las condiciones de conorno para deerminar el modelo maemáico represenaivo del escenario.

16 76 Complemeno 3 del capíulo. Un anque coniene liros de agua en el cual se disuelven 3 gramos de sal. Una salmuera que coniene gramo de sal por liro se bombea al anque con una inensidad de 4 liros/minuo; el agua adecuadamene mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. a) Calcule el número de gramos A () de sal que hay en el anque en un insane cualquiera. b) Cuána sal habrá en el anque al cabo de un iempo infinio? Se iene que La ecuación de ese problema es y el facor inegrane es Por ano, se iene que R R liro gramo 4 4 gr min * liro /min liro 4 min * 4A gramos A gr A() gramos min 5 min da + A () μ e e () d e 5 A 4e 5 A + ce 5 Susiuyendo aquí la condición, A 3 se iene que c 7 y, por ano, la solución A 7e 5 que da la canidad de sal en un insane cualquiera. Por oro lado, para A 7e se obiene que Por ano, exisen gramos de sal en un iempo infiniamene grande.. Se bombea cerveza con un conenido de 6% de alcohol por galón a un anque que inicialmene coniene 4 gal de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el inerior con una rapidez de 3 gal/min, en ano que el líquido mezclado se exrae con una rapidez de 4 gal/min. Obenga en número A () de galones de alcohol que hay en el anque en un insane cualquiera. Cuál es el porcenaje de alcohol que hay en el anque después de 6 minuos? Cuáno demorará el anque en vaciarse?

17 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 77 Si la solución se exrae con una rapidez de 4 gal/min, enonces la solución se vacía con una rapidez de Después de minuos hay 4 galones de cerveza con un porcenaje A de alcohol en el anque. En al caso la rapidez con la que la cerveza sale es También se iene que gal ( 3 4) min gal min 4gal A alcohol 4A min 4 gal 4 Variación del % de Rapidez con que enra Rapidez con quesale alcohol la cervez a con 6% de la cerveza con A% respeco al iempo alcohol de alcohol alcohol min Por ano, la ecuación de ese problema es da gal alcohol A 3. 6 gal 4 min 4 alcohol min da 4A El facor inegrane de esa ecuación es Susiuyendo el facor inegrane en la ecuación diferencial del problema se obiene la solución general A d ( 4 ) 8. ( 4) μ ( x) e ( 4 ) da ( 4 ) 4 4 4A 8. 4 La condición inicial es que en se iene A() 3. alcohol galón, y de aquí 4 da A 4 ( ) A (). 6( 4 )+ c4 4 + A 4 ( ) 8. 4 ( ) ( ) c ( )+ ( ) c c ( )

18 78 Complemeno 3 del capíulo Por ano, la solución es A (). 6( 4 ) ( ) 4 Esa ecuación represena la canidad de alcohol en el anque a cualquier iempo. Por oro lado, el porcenaje de alcohol en el anque a los 6 minuos es A. 6( 4 6) () ( ) 4 A () 789. % El depósio iene inicialmene 4 galones de cerveza la cual se exrae a una rapidez de 4 galones por minuo, pero le bombean cerveza a su inerior con una rapidez de 3 galones por minuo. Por ano ( 3 4) gal / min gal / min. Por ano, el iempo que arda en salir odo el 4gal conenido de cerveza es igual a: 4 min, lo cual se puede comprobar al susiuir gal /min ese dao en la solución general, la cual queda como en vaciarse el anque es 4 min. A (). Enonces el iempo que arda 3. La rapidez con que un medicameno se disemina en el flujo sanguíneo se rige por la ecuación diferencial en donde A y B son consanes posiivas. La función X describe la concenración del fármaco en el flujo sanguíneo en un insane cualquiera. Deerminar el valor límie de X() cuando. Cuáno demora la concenración en alcanzar la miad de ese valor límie? Suponga que X ( ). Se iene la ecuación diferencial dx dx ABX + BX A () y el facor inegrane de ésa es B μ ( x) e e B Por ano, la solución general es B B d( e X) Ae X A B () + B ce

19 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 79 Si X ( ) enonces se iene que A + B ce c A B Por ano, la solución general es X A y para resula que X() B. Cuáno arda la concenración en alcanzar la miad de ese valor límie? Eso es A B () A B e B X () A B A A A B B B e B ln ln e B Resolviendo esa ecuación con Maple 7 se iene que el iempo que arda la concenración en alcanzar la miad de ese valor límie es Ora forma de obener ese resulado es mediane el méodo de coeficienes indeerminados. El procedimieno es el siguiene. Primero se resuelve la ecuación diferencial homogénea Luego se resuelve la ecuación no homogénea Por ano, la solución general es Si X ( ) enonces c c y, por ano, X X + X c e + c c e c B X X + X c e + c p X c e c c m + B X p m B c c e D( A) m p B B ( ) B B

20 8 Complemeno 3 del capíulo Para se iene que B X() c ( e )c El iempo que demora la concenración en alcanzar la miad de ese valor límie es X c c () B c c e + c. 693 B Por ano, el iempo que arda en alcanzar la miad es B NOTA. Como se puede observar, el méodo de coeficienes indeerminados ambién funciona cuando se aplica en ecuaciones diferenciales de primer orden. 4. En marzo de 976 la población mundial llegó a los 4 mil millones. Una revisa predijo que con una asa media anual de.8% la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años más. Cómo se compara ese valor con el predicho por el modelo que dice que la rapidez de crecimieno en un insane es proporcional a la población presene? La ecuación diferencial de ese problema es dn kn La condición inicial es N ( ) N y la condición de fronera es N( 45) N. El facor inegrane de la ecuación diferencial es y, por ano, se iene que k μ( ) e e k ( ) d k k e N e k Ne C N Ce k Aplicando las condiciones iniciales se iene que 4 C y, por ano, N 4 9 Susiuyendo las condiciones de fronera se obiene que e k N( 45) k 8 4 e k

21 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 8 Finalmene la solución viene dada por Por ano, la población mundial sería de 8 mil millones en 45 años más. N e N ( 45) e N habianes. 5. Un culivo iene una canidad inicial de bacerias. Cuando h, la canidad medida 3 de bacerias presenes P es P. Si la rapidez de crecimieno es proporcional a la canidad de bacerias presenes P () en el momeno, calcule el iempo necesario para riplicar la canidad inicial de microorganismos. La ecuación diferencial de ese problema es y el facor inegrane es () La solución de la ecuación es P dp kp k μ( ) e e k d k k e * P e ( ) P () ce k Cuando se iene que P ce c y, por ano, cuando P () Pe k Como 3 P() P se iene que 3 P P e k 3 k ln. 455 P (). 455 Pe Para esablecer el momeno en que se riplica la canidad de bacerias despejamos de P P e y se obiene que 7. h. 6. Los arqueólogos uilizaron madera quemada enconrada en el siio para fechar las pinuras prehisóricas de Lascaux, Francia. Deermine la edad aproximada de un rozo de madera, si se enconró que había desaparecido el 85% del carbono 4.

22 8 Complemeno 3 del capíulo La ecuación diferencial de ese problema es El facor inegrane de esa ecuación es da ka μ () e k Inegrando la ecuación diferencial dada resula que ( ) d k k e A e Ae k c Uilizando la condición A( ) A se obiene que c A y por ano A A e k Aplicando el hecho de que la vida media (iempo que ranscurre para que se desinegre la miad de los áomos de una muesra inicial, A, y se convieran en áomos de oro elemeno) es A A 5 6 años se iene que A Ae k ln k ( 5 6) k. 3 Enonces resula que la solución es A A e. 3 Como el 85.5% ya coexise en la madera, sólo queda 4.5% de carbono 4 en ella A.45A. 3( ). 45A A e ln La edad aproximada de un rozo de madera es de años. 7. Un circuio en serie en el cual la resisencia es de Ω y la capaciancia de 4 F se le aplica una ensión de volios. Calcule la carga q () en el capacior si q( ) y obenga la corriene.

23 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 83 Se ienen los daos La ecuación diferencial del problema es Susiuyendo aquí los daos se obiene que R Ω C 4 F E () V q( ) C q () + Rdq E () 4 q dq () + El facor inegrane es dq + 5q (). 5 μ( ) e e Inegrando la ecuación diferencial se iene que 5 5 (. ) d 5 qe 5 e 5 q. + ce 5 Susiuyendo la condición inicial q( ) se obiene que c. y, por ano, q.. e 5 es la carga en el capacior. Como i dq enonces d(.. e 5 ) i Por ano, la corriene elécrica en cualquier insane es del orden de i 8. El isóopo radioacivo del plomo, Pb-9, se desinegra en un insane cualquiera con una rapidez proporcional a la canidad presene en dicho insane y iene una semivida de 3.3 horas. Si inicialmene hay gramo de plomo cuáno iempo ranscurrirá para que se desinegre el 9% de dicho elemeno? e 5

24 84 Complemeno 3 del capíulo La ecuación diferencial del problema es El facor inegrane es da Inegrando la ecuación diferencial se iene que ka k μ( ) e e k ( ) d k k e q e Ae k c En un inicio se iene que A A por eso A c y, por ano, Tomando en cuena la semivida del isóopo se obiene que k A A e k A Ae k 33 (. ) ln( 5. ) k. 33. El iempo que ranscurrirá para que se desinegre el 9% de dicho elemeno se deermina susiuyendo los daos conocidos en la ecuación.. e ln(. ). por lo que el iempo para que se desinegre el isóopo es de. 96 horas aproximadamene. 9. Un gran anque esá parcialmene lleno con galones de líquido, en los cuales se disuelven libras de sal. Una salmuera que coniene / libra de sal por galón se bombea al anque con una rapidez de 6 galones por minuo. La solución acualmene mezclada se bombea en seguida hacia fuera con una rapidez menor de 4 galones por minuo. Deerminar el número de libras de sal que hay en el anque después de 3 minuos. La canidad de solución que se acumula es 6 gal 4 gal gal min min min

25 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 85 R es la rapidez con que enra la sal R gal lb lb 3 min gal min 6 R es la rapidez con que sale la sal Como da R R El facor inegrane es enonces la ecuación diferencial del problema es da μ( ) e + e ( + ) Inegrando la ecuación diferencial se iene que R gal A lb 4A min ( + ) gal + 4 4A ln + d ( + ) A 3( + ) ( + ) A + c( + ) Como A( ) se iene que c + ( ) c 4 La canidad de sal en un insane dado es ( + ) 4 A ( + ) El número de libras de sal que hay en el anque después de 3 minuos es ( + ( 3)) 4 A libras ( + ( 3)). Un gran depósio esá lleno con 5 galones de agua pura. Una salmuera que coniene libras de sal por galón se bombea al anque a razón de 5 galones por minuo, y la solución adecuadamene mezclada se bombea hacia fuera con una rapidez de galones por minuo. Deerminar el número de libras de sal A () que hay en el anque en un insane cualquiera. Cuáno demorará el anque en vaciarse?

26 86 Complemeno 3 del capíulo La solución es similar a la del problema 9. La enrada de sal al depósio es La salida de sal del depósio es La ecuación diferencial del problema es El facor inegrane es y la solución general viene dada por gal lb lb R 5 min gal min gal A() lb Alb () R min 5gal 5 min da + A 5 μ( ) e 5 e 5 de ( 5 A) e 5 A 5 + Ce 5 Susiuyendo la condición inicial A( ) se obiene que C 498 y por eso la sal presene en cualquier insane es A 5 498e 5 Cuando minuo la canidad de sal es del orden de A 5 + Ce 5 () libras. Un cuerpo de masa m que cae a ravés de un medio viscoso encuenra una resisencia proporcional al cuadrado de su velocidad insanánea. En ese caso, la ecuación diferencial en un insane cualquiera m dv mg kv es en donde k es una consane de proporcionalidad. Resuelva la ecuación sujea a la condición v()v Cuál es la velocidad límie del cuerpo que cae? La ecuación diferencial de ese problema es dv + k m v g

27 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 87 El facor inegrane es k m μ( ) e e k m Inegrando la ecuación diferencial se iene que k d e m k v ge m mg v + ce k k m Susiuyendo en la ecuación anerior la condición inicial dada se obiene que Susiuyendo el valor de c en la solución general resula que v c v mg + v k mg k mg k e k m Cuando la velocidad del cuerpo es v () mg k. A un circuio en serie, en el cual la resisencia es de Ω y la capaciancia de 5 6 F, se la aplica una ensión de volios. Encuenre la carga q () en el capacior si i( ). 4. Deermine la carga y la corriene para. 5 segundos y la carga cuando. La ecuación diferencial de ese problema es C q () + Rdq E () Susiuyendo aquí los daos dados se obiene que F q dq () Ω v dq + q (). El facor inegrane para la ecuación anerior es μ( ) e e

28 88 Complemeno 3 del capíulo Inegrando la ecuación diferencial del problema se iene que d q e e (. ) q. + ce Susiuyendo la condición i( ). 4 en la ecuación anerior se obiene que c.39 9 por lo que la carga en el capacior en cualquier insane esá dada por q e Cuando. 5 segundos, la carga en el capacior es del orden de (. 5) q e. 477 Como la corriene elécrica viene dada por i dq, enonces se iene que d( e ) i i 79. 8e y para. 5 segundos se obiene que (. 5) i 79. 8e amperes Cuando la carga oma el valor de q. y la corriene se anula i dq..5 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE MODELA UN SISTEMA FÍSICO UTILIZANDO MAPLE 7 En los problemas del al 5 se planea la ecuación diferencial que represena la siuación física dada y se resuelve usando Maple 7 bajo las condiciones de conorno para obener el modelo maemáico del problema.. La ecuación diferencial que describe la forma de un cable con un peso consane w que cuelga someido sólo a la acción de su propio peso es d y w dy + dx T dx en donde T es la ensión horizonal en el puno más bajo del cable. Las condiciones para ese problema son y( ), y ' ( ).

29 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 89 Usando Maple 7 para resolver la ecuación diferencial del problema se obiene que >ode:diff(y(x),x$)- ((w/t[])*(sqr(+(diff(y(x),x))^))); ans:dsolve(ode); ode : y( x) x w + T x y( x) ans : y( x ) Ix + _C, y( x) Ix + _C, y( x) T cosh w ( x + _C ) + _Cw T w Susiuyendo en esa solución general que da Maple la condición y( ) se obiene que w T wc cosh C w T + wc w Tcosh T C w Por oro lado, la primera derivada de la solución que da Maple es T w wx wc y ( x) * senh w T T y susiuyendo aquí la condición y ' ( ) se obiene que wc senh T A parir de aquí se ve que C debe ser diferene de, ya que de lo conrario habría una solución rivial. Por ano, se iene que wc senh senhn T ( π ) wc nπ T C n T π w y enonces w nπt w T cosh * T w T C cosh nπ w w

30 9 Complemeno 3 del capíulo Susiuyendo ese valor resula que la solución paricular es yx ( ) Resolviendo mediane Maple 7 la ecuación diferencial dada se obiene el resulado siguiene >ode : diff(y(x),x,x)- ((w/t[])*(sqr(+(diff(y(x),x))^))); w + ode : y( x) x y( x) x T Susiuyendo la primer condición inicial resula que T wx nπt cosh T ) w T cosh n + ( ) π w > ans[] : dsolve( {ode, y()}, y(x)); ans : y( x) Ix+, y( x ) Ix+, y( x) cosh w ( x + _C ) T + T cosh w_c w T w Susiuyendo al mismo iempo las dos condiciones iniciales se obiene que > ans[] : dsolve( {ode, y(), D(y)()}, y(x)); T T cosh wx T + T w ans : y( x), y( x) w T w I π T x + cosh w + T + T w w. Una ecuación similar a la dada en el problema anerior es x d y v dy + dx v dx Esa ecuación surge al esudiar la rayecoria de un depredador que se desplaza con una velocidad v y que busca capurar una presa que se mueve con una velocidad v. Para resolver esa ecuación se consideran dos casos:

31 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 9. Caso v. Caso v. Caso v v v v La solución de Maple 7 a la ecuación diferencial dada es >ode:x*diff(y(x),x$)- ((v[]/v[])*sqr(+(diff(y(x),x))^)); ode : x v + y( x) x y( x) x v > ans:dsolve(ode); ans : y( x ) Ix + _C, y( x) Ix + _C, En la Fig.. se muesra el comporamieno de la rayecoria del depredador que se desplaza con una velocidad menor que la velocidad de su presa. >v[]:;v[]:;_c:;_c:;plo(/*x*v[]/(- v[]+v[])/(x^(/v[]*v[]))*exp(/v[]*v[]*_c)+/*x*v[]/ (v[]+v[])*x^(/v[]*v[])/exp(/v[]*v[]*_c)+_c,x-..,y-..); v : v : _C : _C : v xv e xv x y( x ) + + _C v _C v v _C ( v + v ) x v v ( v + v ) e v v v v

32 9 Complemeno 3 del capíulo y x Fig.... Caso v v La solución de Maple 7 a la ecuación diferencial dada es >ode3:x*diff(y(x),x$)- ((v[]/v[])*sqr(+(diff(y(x),x))^)); ode3 : x y( x ) + x x y ( x) > ans3:dsolve(ode3); ans3 : y( x ) Ix + _C, y( x) Ix + _C, y( x ) + 4 _C _C ln ( x ) _C En la Fig..3 se muesra el comporamieno de la rayecoria del depredador que se desplaza con una velocidad igual que la velocidad de su presa. x

33 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 93 >v[]:;v[]:;_c:;_c:;plo(/4*x^/_c- /*_C*ln(x)+_C,x-..,y-3..3); v : v : _C : _C : y 3 x 3 Fig La ecuación diferencial no lineal dr μ h +, r en donde μ y h son consanes no negaivas surge del esudio del problema de los dos cuerpos en mecánica celese. Aquí la variable r represena la disancia enre las dos masas. Resuelva la ecuación en los casos h y h >.

34 94 Complemeno 3 del capíulo Se iene que ode4:(diff(r(),))^-(*mu)/r+*h; μ ode4 : R ( ) + h r ans4:dsolve(ode4); por lo que la solución es r ( μ + hr) r ( μ + hr) ans4 : R() + _C, R() + _C r r Caso I h A parir de la solución anerior resula que r( ) r( ), R () μ R () μ + C + C r r En las Figs..4 y.5 se muesra el comporamieno de los cuerpos celeses para el Caso I. >r:7;mu:;h:;plo(/r*(-*r*(-mu+h*r))^(/)*,-..); r : 7 : h : y Fig..4.

35 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 95 >r:7;mu:;h:;plo(-/r*(-*r*(-mu+h*r))^(/)*,-..); r : 7 : h : y Fig..5. En las Figs..6 y.7 se muesra el comporamieno de los cuerpos celeses para el Caso II. > r:7;mu:8;h:;plo(/r*(-*r*(-mu+h*r))^(/)*,-..); r : 7 : 8 h :

36 96 Complemeno 3 del capíulo y Fig..6. > r:7;mu:8;h:;plo(-/r*(-*r*(-mu+h*r))^(/)*,-..); r : 7 : 8 h :

37 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 97 y Fig La ecuación diferencial se presena en los esudios de ópica y describe el ipo de curva que reflejará odos los rayos incidenes hacia el mismo puno. Demuesre que la curva debe ser una parábola. Usando Maple 7 se iene que x dx dx x dy + dy > ode5:x(y)*(diff(x(y),y))^+*diff(x(y),y)x(y); ode5 : x ( y ) + x ( y ) y x ( y ) y x ( y )

38 98 Complemeno 3 del capíulo > ans5:dsolve(ode5); ans5: x( y), y ln( x( y)) + x( y) + arcanh y ln( x( y)) + + x( y) arcanh En la Fig..8 se muesra el comporamieno de la curva que refleja odos los rayos incidenes hacia el mismo puno. >_C3:Pi;plo(-(-ln(x(y))- sqr(+x(y)^)+arcanh(/(sqr(+x(y)^)))-_c3),x- Pi/..*Pi,y-..); _C3 : π + xy ( ) + x( y) _ 3 C _ C3, y x Las ecuaciones de Loka y Volerra Fig..8. dy y( α β x) dx x( γ + δ y)

39 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 99 en donde α, β, γ y δ son consanes posiivas, se presenan en el análisis del equilibrio biológico enre dos especies de animales como un depredador y su presa (por ejemplo zorros y conejos). Aquí, x() y y() son las poblaciones de las dos especies en un insane cualquiera. Aunque no exisen soluciones explicias del sisema, es posible obener soluciones que relacionan a las dos poblaciones en un insane cualquiera. Divida la primera ecuación enre la segunda y resuelva la ecuación no lineal de primer orden que resula. Usando Maple 7 se obiene que >ode6:diff(y(x),x)-(y*(alpha-bea*x))/(x*(- gamma+dela*y)); y ( α β x ) ode6 : Y ( X ) X x ( γ+ δ y ) > ans6:dsolve(ode6); ( α β x ) X y ans6 : Y ( X ) + x ( γ+ δ y ) _C4.6 PRÁCTICA DE LABORATORIO: CRECIMIENTO DE UNA CÉLULA SUSPENDIDA EN UNA SOLUCIÓN ABSTRACT Nowadays, i is undeniable ha he appreniceship-eaching process reques o be differen o he eachihg radiional mehod, his is, i is necessary joined heory and pracice in subjecs involved in sudy programs. In his respec, he applicaions of he linear diffeenial equaions are no a excepion, reason for which, in his laboraory pracice, he undergraduae use he knowledge and creaiviy for joined mahemaical model wih experimen for prove he diffusion physical phenomenon, ha involved direcly he Fick Law. In his case, here are a diffusion process because of i is esablished a concenraion gradien beween he sal soluion and blood cells. The model and simulaion of he physical phenomenon above-menioned, o agree wih carried ou experimen. Keywords: Modelling, Simulaion, Laboraory pracice, Diffusion, Fick Law, Cell, Sal soluion RESUMEN Es innegable que en esos iempos se requiere de un proceso de enseñanza-aprendizaje disino al radicional méodo de enseñanza, es decir, es necesario aricular la eoría con la prácica en los emas involucrados en los programas de esudio. A ese respeco, las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales no son la excepción, razón por la cual en esa prác-

40 Complemeno 3 del capíulo ica de laboraorio el alumno pone en juego su conocimieno y creaividad para conjunar modelo maemáico con experimeno para demosrar el fenómeno físico de difusión, que involucra direcamene la Ley de Fick. En ese caso exise un proceso de difusión oda vez que se esablece un gradiene de concenración enre una solución salina y células de sangre. El modelado y simulación del fenómeno físico concuerda con basane exaciud con el experimeno realizado. Palabras clave: Modelo, Simulación, Experimenación, Difusión, Ley de Fick, Célula, solución salina. Objeivo Que el esudiane del curso de ecuaciones diferenciales consruya su propio aprendizaje mediane la modelación, simulación y experimenación del fenómeno de difusión de una susancia en un medio y unas células, usando la Ley de Fick como una de las aplicaciones que surgen de esa rama de las maemáicas. Inroducción La modelación de fenómenos físicos de nuesro enorno, ales como crecimieno y decrecimieno de poblaciones, cuerpos en caída libre, rapidez de cambio de facores inrínsecos que posee un individuo, como la memorización, la variación de la corriene y la carga en un circuio elécrico, la rapidez con que se efecúan las reacciones químicas, la rapidez de cambio con que se difunde una susancia en un medio, la diferencia de aluras de un líquido que sale del orificio de un recipiene, la rapidez de desinegración de susancias radiacivas, ec., son represenados mediane ecuaciones diferenciales de primer orden. Sin duda alguna, las aplicaciones de las maemáicas a siuaciones físicas como las señaladas han sido de inerés fundamenal para los alumnos del Insiuo Tecnológico de Ciudad Cuauhémoc, ITCC. Es así como surge la inquieud de represenar físicamene lo que en eoría se ha aprendido. En el presene rabajo se muesra un ipo de enseñanza-aprendizaje inegral, mediane el fenómeno de difusión de una susancia [-], con la finalidad úlima de que el esudiane ponga en juego su capacidad y creaividad experimenal ligándola con la pare eórica mediane la modelación maemáica. A ese respeco, Zill [,] propone la solución a esos fenómenos físicos mediane ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, como modelos maemáicos que represenan adecuadamene ese ipo de siuaciones, mienras que Corral [3] resuelve ese ipo de problemas propuesos por Zill [] con lujo de dealle. Por oro lado, Williamson [4] maneja un nivel más avanzado. Marco Teórico El marco de referencia en el que se fundamena el presene rabajo iene que ver con dos aspecos imporanes: ) la aplicación de las maemáicas a ravés de una de sus ramas, las ecuaciones diferenciales; ) la represenación física del fenómeno de difusión. La primera se susena en el modelo maemáico eórico adecuado a esa siuación, y la segunda en el experimeno realizado para la comprobación eórico-prácica.

41 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias En ese caso, se hace uso de la Ley de Fick de la difusión de un fluido en un medio y células de sangre, oda vez que exise un proceso de difusión siempre que se esablezca un gradiene de concenración. De acuerdo con la ley de Fick, el flujo de masa de soluo que araviesa la membrana de una célula es proporcional al gradiene de concenración. La consane de proporcionalidad se denomina coeficiene de difusión D. En general, el coeficiene de difusión D cambia con la emperaura, pero por razón de simplicidad supondremos que se maniene consane a emperaura ambiene. El modelo que aquí se presena explica el esablecimieno de un flujo de parículas enre elemenos adyacenes de un medio cuando exise enre dos punos del mismo un gradiene de concenración. Cuando se ponen en comunicación células de sangre y solución salina, los cuales conienen disino número de parículas, se alcanza el equilibrio cuando el número de parículas es el mismo ano en las células como en la solución. El equilibrio no es esáico sino dinámico, ya que el sisema (células) y los alrededores (solución salina) inercambian parículas a nivel microscópico. El número final de parículas en el sisema y los alrededores no es fijo sino que flucúa en orno al de equilibrio, las flucuaciones, como se ha comprobado [3-], disminuyen al incremenar el número de parículas salinas. Cuando se ponen en conaco las células y la solución salina, la solución salina pasa a las células hasa que se esablece el equilibrio. El proceso es irreversible, en el senido de que no observamos nunca el proceso inverso. Como podemos apreciar en la simulación, la irreversibilidad significa la improbabilidad de alcanzar el esado inicial desde el esado final de equilibrio. Esa improbabilidad se debe al gran número de consiuyenes del sisema. Se sabe que cuando el número de parículas es grande,,, ec., se observa que es muy improbable que volvamos a ver odas las parículas en el esado inicial de no equilibrio [3-]. El número de parículas en un sisema real es muy elevado, un mol de cualquier susancia coniene 6. 3 moléculas. Por ano, la simulación se debe de considerar como una imagen cualiaiva de lo que ocurre en un sisema real, en el que el carácer dinámico del equilibrio y las flucuaciones son muy difíciles de observar. Cabe mencionar que en ese caso inerviene ambién el movimieno browniano, el cual puede explicarse a escala molecular por una serie de colisiones en una dimensión en la cual pequeñas parículas (moléculas) experimenan choques con una parícula mayor. En nuesro modelo se supone que las parículas de agua (medio) y las parículas brownianas (sal) esán encerradas en un recino. Las parículas de agua esán disribuidas uniformemene en el recino y se mueven con ciera velocidad, la misma en odas las direcciones. Las parículas brownianas se mueven bajo la acción de su propio peso y de los choques con las parículas de agua. Podemos observar que la disribución de parículas brownianas en el esado esacionario, después de ciero iempo, es el compromiso enre dos efecos conrapuesos: el campo graviaorio que iende a agrupar las parículas en el fondo del recipiene y la difusión que iende a esparcirlas uniformemene por odo el volumen del recipiene [-].

42 Complemeno 3 del capíulo Adolph Fick proporcionó el méodo llamado Principio de Fick que es simplemene una aplicación de la ley de la conservación de la masa. Ese principio lo podemos explicar con el efeco de ósmosis, es decir, que el agua se mueve a ravés de una membrana hacia donde hay mayor concenración de soluo para lograr el equilibrio []. A Fig..9. Fenómeno de la ósmosis. B La ósmosis es un caso especial de difusión en la que es el movimieno del disolvene el que se esudia, y se define en función de los soluos. Así la ósmosis es el movimieno del agua desde soluciones con baja concenración de soluo hasa soluciones con ala concenración de soluo. La ósmosis puede ilusrarse separando dos soluciones con concenraciones diferenes de soluo por medio de una membrana semipermeable. En ese ipo de sisema el agua pasará desde la solución A a la solución B, y ese movimieno coninuará hasa que se igualen las concenraciones [ 3], como en la Fig..9. Maeriales Debido al imporane papel que juega acualmene en la pedagogía el uso de la ecnología de puna (compuadoras y calculadoras), y a los cambios curriculares en los programas de esudio de cálculo y ecuaciones diferenciales, en ese rabajo se hace uso del Sofware Maple 7 con el fin de graficar los resulados obenidos para demosrar que el modelo eórico concuerda con el experimeno que aquí presenamos. Así pues se hace uso de la compuadora, así como de los disinos maeriales que inegran el experimeno, a saber, probea, células conenidas en sangre, sal, agua, ubos de ensayo. Meodología El experimeno se muesra físicamene de la siguiene manera. En una solución de agua con sal se inroduce una muesra de sangre con volumen y área definidos. Para calcular en cualquier insane la concenración del soluo denro y fuera de las células se preende deerminar, de acuerdo al principio de Fick en una solución hiperónica (mayor concenración de soluo, o sea, más de.9 gramos en mililiros de solución), cuáno iempo arda el efeco hasa lograr el equilibrio. Para medir el cambio de la concenración con respeco al iempo, se usaron 3 ubos de ensayo con diferenes concenraciones (agua-sal). Para demosrar ese cambio se inrodujo una muesra de sangre en cada uno de los conenidos del ubo para comparar el cambio de la concenración. En cuano al modelo maemáico, el méodo para resolver la ecuación diferencial que represena el fenómeno de difusión fue el de facor inegrane.

43 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 3 Poseriormene se simuló el modelo mediane el sofware Maple 7, el cual arroja una gráfica que concuerda con los resulados experimenales. Fenómeno Físico Una célula esá suspendida en una solución que coniene un soluo a una concenración consane C s. Supóngase que la célula iene un volumen consane V y que el área superficial de su membrana permeable es la consane A. Por la ley de Fick la asa de variación de su masa m es direcamene proporcional al área A y a la diferencia C s C (), en donde C () es la concenración del soluo en el inerior de la célula en cualquier insane. Deermine C () si m VC() y C( ) C. Véase la Fig... Concenración C() Concenración C s Moléculas de soluo que pasan a ravés de la membrana de la célula Fig... Célula suspendida en una solución. Modelación A coninuación se modela el fenómeno físico que se presena arriba, omando a la célula como el sisema y a la solución como los alrededores. De acuerdo a la descripción del fenómeno físico, la asa de variación de la masa m de la célula es direcamene proporcional al área A de su membrana y a la diferencia de concenraciones C C, por ano, la ecuación diferencial del problema es s () Como dm DA( C C( )) m s VC() () ()

44 4 Complemeno 3 del capíulo enonces la ecuación diferencial se conviere en dvc () + DAC () DAC s (3a) o bien en dc () D A V C D A + () V C s (3b) La ecuación (3) puede resolverse mediane el méodo del facor inegrane omando p D A. V Por ano, el facor inegrane es () D A μ e V e () D A V (4) Inegrando se iene que D A d e V C k A V C s e D A () V D A V D A () V s + C e C e C (5) en donde C es la consane de inegración. Para deerminar dicha consane se usa la condición inicial C( ) C (6) Susiuyendo la ecuación (6) en la ecuación (5) se obiene que C C C s (7) Por ano, la ecuación (5) se conviere en D A C() C s e V + C e D A V (8) La ecuación (8) represena a la concenración de soluo en el inerior de la célula en cualquier insane. Siuación física paricular En una solución que coniene 9 gramos de sal en ml de agua, es decir, a un concenración de 9%, sumergimos las células con volumen de ml, un área de.5 mm. Cuál será la concenración del solvene y la muesra al cabo de, 9,, 7, segundos? En cuáno iempo se logra equilibrar la solución?

45 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 5 Resulados En la Fig.. se muesra la variación de concenración de soluo en el inerior de las células a ravés del iempo. Para D mm s, dichos valores se calcularon para los siguienes daos: C C s. gr ml. gr mm. 9 gr ml. 9 gr mm A 5. mm V ml 3375mm e-5 Concenración, C(), gr/mm 3 6e-5 4e-5 C() C s e A D V C e A D V e Tiempo,, segundos Fig.. Comporamieno de una célula suspendida en una solución. La simulación explica las faceas esenciales de la descripción maemáica del proceso de difusión:. Hay flujo neo de parículas salinas siempre que haya una diferencia en el número de parículas que conienen el sisema y los alrededores, y ese flujo es ano más inenso cuano mayor sea dicha diferencia; ley de Fick.

46 6 Complemeno 3 del capíulo. En el sisema y los alrededores enra en la unidad de iempo un número deerminado de parículas y sale oro número de parículas. Si es mayor el sisema que los alrededores se incremena el número de parículas en la célula en la unidad de iempo (aumena la concenración de parículas). Ese modelo corresponde a la ecuación de difusión que aquí presenamos. Discusión de los resulados De la represenación gráfica del número de las parículas (concenración C()), en cada subsisema (célula-solución) podemos reconocer qué elemenos van ganando parículas y qué elemenos las van perdiendo a medida que avanza el proceso. De los resulados mosrados en la Fig.. podemos observar el comporamieno exponencial del crecimieno de una célula a ravés del iempo. Es relevane noar que a parir de los 8 segundos la concenración de soluo en la célula es consane, por lo que podemos afirmar que la solución y la célula analizada alcanzan el equilibrio de acuerdo a la Ley de Fick a parir de ese momeno. La simulación nos muesra cómo se van exendiendo las parículas brownianas a medida que pasa el iempo, penerando en la célula hasa alcanzar su propio equilibrio. A parir del insane poserior al experimeno es posible observar que la concenración de soluo en la célula va en aumeno paulainamene hasa llegar aproximadamene a los 8 segundos, iempo en que la concenración ya no cambia. De la Fig.. se puede observar que para el iempo inicial se iene una concenración Co, lo cual comprueba que el modelo es adecuado para represenar esa siuación. Igualmene para un iempo de s, 4 s, ec., se muesra cómo la concenración del soluo en la célula va en aumeno y lo hace en forma exponencial Conclusiones De los cálculos realizados en el modelo maemáico pudimos percaarnos que arrojan resulados similares a los resulados experimenales, de lo cual podemos concluir que ese fenómeno de difusión, debidamene represenado con los argumenos eóricos de la Ley de Fick, se modela con gran exaciud en esa prácica de laboraorio. Referencias. Heber, A,R., 989, Fisiología, Segunda Edición, Ediorial Iberoamericana, Ingramex, S.A., Ceneno 6, Méx., D.F.. Sanboh Lee, H-Y Lee, I-F Lee, C-Y Teeng. Ink diffusion in waer. Eur. J. Phys. 5. (4) pp Pryde J. A., Pryde E. A. A simple quaniaive diffusion experimen. Physics Educaion, vol (967) pp

47 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias 7 4. hp:// 5. hp:// 6. hp:// 7. hp:// 8. hp:// k. - k. Zill, D.G., 988, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones, Segunda Edición, Grupo Ediorial Iberoamérica, S.A. de C.V., México.. Zill, D.G.,, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Inernaional Thomson Ediores, S.A. de C.V. 3. Corral, R.L., 3, Ecuaciones Diferenciales para Ingenieros en Sisemas Compuacionales, Nº de Regisro Público del Derecho de Auor: Williamson, R.E.,, Inroducion o Differenial Equaions and Dynamical Sysems, Second Ediion, McGraw-Hill Higher Educaion..7 PRÁCTICA DE LABORATORIO: DEMOSTRACIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA DE LA LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON ABSTRACT In his work, o seek o he sudens learn o consruc he knowledge hemselves in inegral way o relae heory-pracice hrough he represened model for Newon s Law of Cooling and he experimen. Experience ell us ha ho and cold objecs cool down or warm up o he emperaure of heir surroundings. A useful way o quanify hese observaions is called Newon s Law of Cooling (or law of heaing ), which assers ha he rae of change of he surface emperaure of an objec is proporional o he difference beween he surface emperaure and he emperaure of he surrounding medium. So, above-menioned can o probe for example, saring from he cooling of a cake or a meal bar. This las case is ha here i is presened. Of he resuls obained we can conclude ha he model describes wih quie accuracy he cooling of he meal bar compared wih he laboraory pracice. Keywords: Newon s Law of Cooling, Surface Temperaure, Temperaure of he Surrounding Medium, Rae of Change, Model, Laboraory Pracice, Meal Bar RESUMEN En el presene rabajo se preende que el alumno aprenda a consruir su propio conocimieno en forma inegral ligando eoría-prácica mediane el modelo represenado por la ley de enfriamieno de Newon y el experimeno. Ese úlimo puede realizarse por ejemplo, a parir del enfriamieno de un pasel, al sacarlo de un horno a una emperaura deerminada y medir ésa en disinos insanes de iempo poseriores hasa que la emperaura observada sea consane, es decir, adquiera el valor de la emperaura ambiene, lo cual permiirá realizar