Chapter 1 Integrales por sustitución

Transcripción

1 Chaper Inegrales por susiución Ese méodo de inegración se basa en lo siguiene: Dada la inegral f(x) Hacemos el cambio de variable x = ϕ() ; = ϕ 0 ()d siendo ϕ()una función que admie derivada coninua no nula y cuya función inversa es = ψ(x) Enonces f(x) = f(ϕ())ϕ 0 ()d = φ()+c = φ(ψ(x)) Tenemos que demosrar que [φ(ψ(x))] 0 = f(x) Demosración: [φ(ψ(x))] 0 = φ 0 (ψ(x))ψ 0 (x) = φ 0 () ϕ 0 () = f(ϕ())ϕ0 () ϕ 0 = f(ϕ()) = f(x) () Ejemplos: e x ) e x +. Hacemos ex = ; x =ln ; = d Con lo que la inegral quedaría: d =arcan + Deshaciendo el cambio de variable: e x e x + =arcanex x ) x Hacemos x = ; x = d ; x = d Conloque d = d = =. Deshaciendo el cambio x x = x ) x. Hacemos el cambio de variable x =sin ; =cosd Con lo la inegral quedaría: p +cos sin cosd = cos d = d = +sin = Ese cambio de variable es adecuado siempre que esa inegral sea más sencilla Por la regla de la cadena Al ser ϕ y ψ funciones inversas, por la derivada de una función inversa ψ 0 (x) = ϕ 0 ()

2 Chaper Inegrales por susiución = +sincos Deshaciendo el cambio de variable ( =arcsin x ; sin = x x ; cos = ) x =arcsin x + x x ) cos x Realiza el cambio de variable siguiene x = ; =d Tendrás que resolver por pares la siguiene inegral cos d y después volver a deshacer el cambio de variable. cos d =cos + sin Por lo ano cos x =(cos x + x sin x)+c. Ejerciciosdeinegraciónporcambiodevariable I = x + x Realizamos el siguiene cambio de variable x = x ln = ln ; x = ln = ln ln d Con lo que la inegral quedará de la siguiene manera: I = 5 + ln d = arcan d = ( +)ln ln Deshaciendo el cambio de variable endremos = x + x ln arcan x Noa:Esa inegral; ambién se puede resolver con las siguienes ransformaciones x = x + x x + = x + = x = +( x ) x Ora forma de resolverla: cos x = x cos x x Inégrala por pares considerando f(x) = x y g 0 (x) = cos x x 5 x = x

3 Secion. Ejercicios de inegración por cambio de variable x ln ln = +( x ) ln arcan x e x + e x ) I = e x Realizamos el siguiene cambio de variable e x = x ln e =ln; x =ln = d Con lo que la inegral quedará de la siguiene manera: e x + e x e x = + d = Como + =+ ; enonces + d = Deshaciendo el cambio de variable e x + e x µ + + d = + d d = +ln e x = ex +ln e x Noa:Esa inegral; ambién se puede resolver con la siguiene idea feliz: e x + e x (e x e x = ) + e x e x = µe x + ex e x e x + ) I = e x ++e x Realizamos el siguiene cambio de variable e x = x ln e =ln; x =ln = d = e x +ln e x Con lo que la inegral quedará de la siguiene manera: + I = ++ d = d = + d = ( +) ln + Deshaciendo el cambio de variable e x + e x ++e x =ln ex + + d = (e x ) + e x e x = e x + ex e x

4 Chaper Inegrales por susiución Noa:Ora forma de resolverla; sería e x + e x + = e x ++e x e x ++ e x e x (e x +) = (e x +) ) I = = e x e x + =ln ex + x( + ln x) Realizamos el siguiene cambio de variable e x + e x e x +e x + = ln x = x = e ; = e d Con lo que la inegral quedará de la siguiene manera: I = e ( + ) e d = d =ln + + Deshaciendo el cambio de variable =ln +lnx x( + ln x) Noa:Ora forma de resolverla; sería x( + ln x) = x =ln +lnx ( + ln x) +lnx 5) I 5= x( ln x) Realizamos el siguiene cambio de variable ln x = x = e ; = e d Con lo que la inegral quedará de la siguiene manera: + + I 5 = e ( ) e d = d = Deshaciendo el cambio de variable +lnx = ln x ln ln x x( ln x) + x ) p (x ) x µ Realizamos el siguiene cambio de variable x = (fíjae que =m.cm(,, )) x = + = 5 d Conloque d = d = d = ln

5 Secion. Ejercicios de inegración por cambio de variable µ d = ln Deshaciendo el cambio de variable + x p (x ) = x x +9 x +8 x +8ln x 7) x x Realizamos el siguiene cambio de variable x = (fíjae que =m.c.m(, )) = d = x x d = µ d = + Deshaciendo el cambio de variable =( x ln x )+C x x 8) x x x + x Realizamos el siguiene cambio de variable x = x = + =d d =( ln )+C Conloque x x x + x = + ++ Esa inegral es racional; sigue resolviéndola ú + El resulado de arcan + + d = + + d + + d ha de ser: +ln

6 Chaper Inegrales por susiución 9) ( x) x Realizamos el siguiene cambio de variable x = x = = d Conloque ( x) x = d ( + ) = Deshaciendo el cambio de variable ( x) x = arcan x 0) x x + Realizamos el siguiene cambio de variable x += x = =d Conloque d ( ) = d à ( ) =7 = ln ln + d + = arcan d! d + = Deshaciendo el cambio de variable x x + = ln x + ln x ++ x ) I = + x Realizamos el siguiene cambio de variable x = =d Conloque + µ d = d = + µ = + ln + Deshaciendo à el cambio de variable x I = x + x ln! x + ) (x ) x x +5 à ³ ³ + = 7! d =

7 Secion. Ejercicios de inegración por cambio de variable Realizamos el siguiene cambio de variable x = x =+ ; = d Con lo que la inegral quedará así: (x ) x x +5 = s µ + = d = d µ + Esa inegral se descompone como suma de dos inegrales = + d + = d = J Calculemos pues J por el méodo de los cuaro pasos J = 8 + +d Muliplicamos y dividimos por a( ) J = = d d +5 Sumemos y resemos en el denominador b () = d Fíjae en esa ransformación = q d : ( +) + Sacamos en el radicando del denominador facor común = v Ã! d = s d = µ u ( +) = q d ( +) + Muliplicamos denro de la inegral por y fuera de la inegral dividimos por para que no varíe = q d = ( +) ln q( ++ +) + + Con lo que la inegral K = dará 8 + +d 7

8 Chaper Inegrales por susiución que ) ) K = ln q( ++ +) + Deshaciendo el cambio de variable inicial y eniendo presene que = x endremos I = 8 ) s 8 + (x ) x ++ln I = x x ln (x ) x x + ; x = y p y + y + dy;; y = x x x ++ s µ x + +x + p (5 x + x ) x + = x = = d x x = r d = d = p ( )+C Deshaciendo el cambio de variable; endremos s µ x x = p (x ) = x x Noa:Todas las inegrales inmediaas ambién se pueden resolver por cambio de variable 8