MAPAS MENTALES? LA VARIABLE COMPLEJA Y LA TOPOGRAFÍA DE LA CORTEZA CEREBRAL

Transcripción

1 MAPAS MENTALES? LA VARIABLE COMPLEJA Y LA TOPOGRAFÍA DE LA CORTEZA CEREBRAL Dr. R. Michael Porter K. Depto. de Matemáticas CINVESTAV Querétaro CIENCIA Y HUMANISMO ACADEMIA MEXICANA DE LAS CIENCIAS ENERO 2012

2 IMPORTANCIA DE LOS MAPAS Desde la remota antigüedad el hombre ha encontrado la necesidad de hacer mapas de su mundo, sea para controlar sus dominios o viajar largas distancias.

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4 En el mundo moderno la tecnología requiere mapas a todas las escalas, desde lo microscópico hasta los ĺımites del universo. Exploraremos algo de las matemáticas implicadas en hacer un mapa de la superficie del cerebro humano.

5 No es posible en general, hacer un mapa de una superficie curva a una plana de manera que se conserven las distancias entre puntos correspondientes. Un mapa a escala de la tierra no existe!

6 Transformación Conforme: una para la cual cualquier par de curvas que se intersectan, corresponde a a un par de curvas que forman el mismo ángulo. (Condición menos rigurosa que conservar distancias) f áng(γ 1,γ 2 ) = áng(f(γ 1 ),f(γ 2 ))

7 Como ejemplo, el estiramiento horizontal de un rectángulo no es conforme.

8 Problema: Dada una superficie, encontrar una transformación conforme en una región plana.

9 PROYECCIÓN DE MERCATOR

10 El caso más sencillo de una transformación conforme es de un disco a sí mismo. Se puede expresar fácilmente en términos de la adición y multiplicación de los números complejos z = x+iy. (x = desplazamiento horizontal) (y = desplazamiento vertical) (i 2 = 1) (z = x iy)

11 Hay una transformación conforme del disco en sí mismo, que envía cualquier punto a cualquier otro punto. ( Cualquier punto puede verse como el centro. ) Transformación de Möbius z w = f(z) = w az +b bz +a

12 EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTE RMICAS

13 EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTE RMICAS

14 EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTE RMICAS

15 EL JUEGO DE LAS COORDENADAS ISOTE RMICAS

16 COORDENADAS ISOTÉRMICAS ( = PROBLEMA DE LA TRANSFOR- MACIÓN CONFORME EN EL PLANO)

17 Las coordenadas isotérmicas se presentan de manera natural en muchas situaciónes de la Física. Por lo tanto las transformaciones conformes se relacionan con todas esta situaciones. El punto clave es que la transformación conforme es única, cuando las condiciones de frontera están especificadas.

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19 FENÓMENO DEL AMONTONAMIENTO.1,.2,...,.9

20 FENÓMENO DEL AMONTONAMIENTO.91,.92,...,.99

21 FENÓMENO DEL AMONTONAMIENTO.991,.992,...,.999

22 El amontonamiento complica el arte de la transformación conforme y la hace tan interesante. Una transformación conforme puede calcularse en términos de sus puros valores en la frontera. Hay una fórmula de A.-L. Cauchy: para un punto interior z, 1/2πi f(z) = C ζ z f(ζ)dζ donde C es el contorno frontera, que encierra el dominio D. Para calcular esta integral sólo hay que conocer los valores de la transformación f para puntos ζ en el contorno C. Esta observación reduce el problema de calcular una transformación conforme de dos dimensiones a uno!

23 EXISTEN CIENTOS DE MÉTODOS PARA CALCULAR LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES NUMÉRICAMENTE

24 Método de OSCULACIÓN (P. Koebe)

25 Método de OSCULACIÓN (P. Koebe)

26 Método de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

27 Método de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

28 Método de EMPACAMIENTO DE CIRCULOS (W. Thurston)

29 En general los métodos de transformación conforme de regiones en el plano aplican diversos teoremas relacionadas con funciones de una variable compleja.

30 Volvemos al problema: Dada una superficie, encontrar una transformación conforme en una región plana.

31 (x,y) p(x,y,a(x,y)) = (x,y)

32 ϕ conforme p(x,y,a(x,y)) = (x,y) (x,y)? f

33 Para que ϕ sea conforme, la función f tiene que deshacer la distorsión hecha por la proyección p(x,y,a(x,y)) = (x,y). Calculemos la ecuación que f debe satisfacer para lograr esto.

34 El ángulo en la superficie entre dos curvas es γ 1 (t) = (x 1 (t), y 1 (t), a(x 1 (t),y 1 (t))) γ 2 (t) = (x 2 (t), y 2 (t), a(x 2 (t),y 2 (t))) cos 1 Ex 1x 2+F(x 1y 2+x 2y 1)+Gy 1y 2 (Ex F,x 1 y 1 +Gy 2 1 ) (Ex F,x 2 y 2 +Gy 2 2 ) donde ( ) 2 a E = 1+ ( )( x ) a a F = x y ( ) 2 a G = 1+ y

35 La condición para que ϕ sea conforme es que la función f = u+iv satisfaga las ecuaciones de Beltrami v x = ± 1 EG F 2 v y = ± 1 EG F 2 ( ) F u x E u y ( ) G u x F u y

36 ECUACIÓN DE BELTRAMI EN NÚMEROS COMPLEJOS: f z = µ f z donde µ = (E G)+(2F)i E +G+2 EG F 2 Se dice que f es una función µ-conforme cuando satisface la ecuación de Beltrami.

37 LOS GRUPOS KLEINIANOS Y EL ATAQUE FATAL DE LOS FRACTALES (Fricke, Klein, Poincaré) GRUPOS FUCHSIANOS

38 GRUPO CASIFUCHSIANO Las transformaciones de Móbius que definen un grupo fuchsiano pueden alterarse para formar un grupo casifuchsiano, que ya no se basa en un círculo redondo, sino en una curva fractal llamada un casicírculo.

39 Por tener fractales en los conjuntos ĺımites, para estudiar las deformaciones de los grupos fuchsianos y casifuchsianos es necesario manejar derivadas de Beltrami que no sean diferenciables en todo punto. Para ello se desarrolló la teoría de las transformaciones casiconformes.

40 HISTORIA DE LA f/ z ECUACIÓN DE BELTRAMI f/ z = µ µ real-anaĺıtica: (1825) Gauss µ Hölder-continua: ( ) Korn-Lichtenstein µ medible: (1938) Morrey teoría general de transformaciones casiconformes: ( ) Ahlfors-Bers

41 Existen varios métodos para resolver la ecuación de Beltrami numéricamente. Todos son bastante técnicos, y sigue siendo un área de investigación activa.

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51 GRACIAS!