Apéndice: Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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1 Apéndice: Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Vamos a centrar nuestra atencion en sistemas lineales de ecuaciones con incógnitas De nición: Consideremos el sistema a x + b y = c x + b y = donde a ; ; b ; b ; c ; R y (a ; b ) 6= (0; 0) y 6= 0 Una solución de este sistema es por de nición un punto del plano (x 0 ; y 0 ) R, cuyas coordenadas x 0 y y 0 satisfacen las dos ecuaciones anteriores. Observación: Dependiendo de lo que valgan los valores de los coe cientes a ; ; b ; b ; c ; R, el sistema anterior: ) Tendrá una única solución (Sistema Compatible Determinado SCD) ) Tendrá In nitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado SCI) ) No tendrá ninguna solución (Sistema Incompatible SI) Como cada una de las ecuaciones de nuestro sistema se puede interpretar como la ecuación general de una recta resolver el sistema equivale a inversigar la posicion relativa de las dos rectas, es decir que las condiciones ), ) y ) que hemos mencionado se traducen en el lenguaje geométrico de rectas de la siguiente forma: ) SCD: Las dos rectas se cortan en un único punto (hay una única solución del sistema) ) SCI : Las dos equaciones corresponden a una misma recta hay in nitos puntos en comun (in nitas soluciones del sistema) ) SI: La dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común (no existe ninguna solución del sistema) Teorema (Roché-Frobenius): Consideremos el sistema siguiente: a x + b y = c x + b y = donde a ; ; b ; b ; c ; R y (a ; b ) 6= (0; 0) y 6= 0 Sea D := a b b el llamado "Determinante del sistema"

2 Entonces se cumple: ) Si D 6= 0 entonces a 6= b b y el sistema es compatible determinado (existe una única solución, que se halla de forma usual usando los metodos de substitución, igualación o reducción) ) Si D = 0 entonces a = b b =: I En tal caso I = c I 6= c =) SCI (in nitas soluciones) =) SI (no existe solución) Demostración: La haremos mas adelante en un caso mas general. Observacion: Notemos que dado un sitsema de ecuaciones lineales con incognitas, su determinante D := a b b mide la existencia o no de soluciones. Es lo que en matemáticas se denomina invariante numérico : un numero real ( una cosa muy sencilla) asociado a un objeto matemático "complejo" ( en este caso un sistema de ecuaciones lineales) que mide el comportamiento de ese objeto matemático. Es muy usual en matemáticas y física el uso de los invariantes numéricos, de forma que el estudio de un sistema más o menos complicado se reduce al estudio de su invariante numérico asociado, asi el exito de una gran parte de modelos teóricos de matemáticas y física consiste en haber encontrado un buen invariante numérico que clasi que los objetos de la teoria, es decir la mayoria de modelos teóricos que son mas útiles y dan muchos frutos de cara a las aplicaciones son aquellos que tienen muchos invariantes numéricos. Ejemplos son I := a = b b (índice de incompatibilidad) que hemos de nido en el Teorema anterior que mide si el sistema de ecuaciones lineals es incompatible o compatible indeterminado, energia de un sistema de particulas, el momento angular, el momento lineal, el discriminante de un polinomio, la resultante de dos polinomios, el determinante de una aplicacion lineal, etc, etc, etc.

3 Ejemplo (SCD): Consideremos en siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x y = x + y = Su determinante és D = ( ( )) = 0 + = 6= 0 ) SCD existe una única solución Vamos a hallarla por el metodo de redución * Para hallar la x aniquilemos la y : Multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por (x y = ) (x + y = ) 0x 6y = x + 6y = x + 0 = 7 =) x = 7 * Para hallar la y aniquilemos la x : Multiplicamos la primera ecuación por y la segunda por - (x y = ) (x + y = ) x y = x 0y = 0 y = =) y = = Por tanto la solución del sistema es x = 7 ; y = La representación grá ca de las rectas asociadas a cada ecuación es :

4 y x Recordemos que dada una recta de ecuación ax + by = c, entonces si b 6= 0 a la pendiente de esta recta es b La recta roja es la de ecuación x+y = pendiente < 0 ) decreciente La recta azul es la de ecuación x y = pendiente = > 0 ) creciente vemos que estas dos rectas se cortan en un punto, ese punto del plano R es el punto ( 7 ; ) Ejemplo (SCI): Consideremos el sistema de ecuaciones lineales x y = 6x + y = 9 Su determinante es D = ( 6 ( )) = 6 6 = 0 Por tanto por el Teorema de Roché Frobenius el sistema es o bien compatible indeterminado ( in nitas soluciones) o bien incompatible (no existe solución)

5 Para saber qual de las dos situaciones se cumple hemos de estudiar el invariante numérico I = a = b a b ( el echo de que = b b nos lo asegura el Teorema al ser el determinante zero) I = b c = 9 = b = Por tanto como I = c = por el Teorema tenemos que nuestro sistema es compatible indeterminado (existen in nitas soluciones). Las dos ecuaciones de nuestro sistema representan a la misma recta en el plano, por tanto las soluciones del sistema son todos los in nitos puntos de esa recta. Pillamos la ecuación mas sencilla de nuestro sistema en este caso la primera: x y = La solución del sistema es la recta r := (x; y) R j x y = = (x; y) R j y = x = f(x; x ) j x Rg y x.

6 Ejemplo (SI) : Consideremos el sistema x y = x y = Su determinante es D = ( ) ( ( )) = + = 0 Por tanto por el Teorema el sistema o bien es SCI o bien es SI I = = c = Como I 6= c por el Teorema, nuestro sistema es incompatible (SI) no existe solución, geométricamente esto es debido a que las rectas asociadas a las equaciones del sistema son paralelas, en efecto las dos tienen pendiente Grá camente lo vemos (la recta azul corresponde a la primera ecuación y la recta roja corresponde a la segunda ecuación) y x una caso muy sencillo es cuando los coe cientes de la derecha son los dos zero en este caso el sistema se denomina homogeneo Sistemas homogeneos:

7 De nición-proposición: Una sistema de ecuaciones lineales de la forma a x + b y = 0 x + b y = 0 con a ; ; b ; b R y (a ; b ) 6= (0; 0) se llama homogneno ( los coe cientes c y son zero ) Un sistema homogeneo o bien es compatible interterminado o bien es compatible determinado y en tal caso la unica solucion es la trivial ( es decir (x; y) = (0; 0) ) Los sistemas homogeneos son muy faciles de reslover ya que solo tienes que calcular el determinante del sistema para ver si es SCD o SCI.