Resolución de los ejercicios

Transcripción

1 Capítulo 4 Resolución de los ejercicios 4.. Soluciones e indicaciones a los problemas del Capítulo I. a) F F +F 4 4 F +F 4 F +F F +F F +F 4 4 F F 4 F +F 4 b) y finalmente se divide por,por ypor4 las filas primera, segunda y tercer respectivamente

2 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS. a) Se comprueba que A... Se trata de un sistema compatible determinado. La solución es (x, y, z) = (,, ) b) La matriz del sistema es Resulta inmediato deducir que la solución es compatible indeterminada, el conjunto de soluciones es ½ µ (x,x,x )=λ,, 5 ¾ : λ R c) Consideramos la matriz ampliada 6 9 y realizamos operaciones elementales: Es inmediato ver que es un sistema CD cuya solución es {x =,x =,x =}. a) Puesto que entonces vemos que el número de peldaños de las matrices escalonadas (de la de coeficientes y de la ampliada) es,y el número de incógnitas es. Porel Teorema de Rouché-Frobenius se trata de un sistema CI.

3 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I b) La matriz del sistema se transforma mediante operaciones elementales como sigue: A = µ µ 6 9 µ El rango es dos, luego el Teorema afirma que se trata de uns sistema CI. c) A = Así r(a) =, r(a) =y por ende el Teorema de Rouché-Frobenius establece que el sistema es incompatible. 4. a) Para estudiar su independencia se plantea la siguiente igualdad entre vectores α (, 5, ) + β (,, ) = (,, ) Tal igualdad se puede escribir como un sistema lineal homogéneo, a saber: de la igualdad anterior se tiene que es lo mismo que (α +β,5α + β,α +β) =(,, ) α +β = 5α + β = α +β =

4 4 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS Estudiamos el sistema analizando la matriz asociada A A = el rango de A es,que coincide con el número de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius se trata de un sistema compatible determinado. Deducimos que la única solución es α = β =y por consiguiente que los vectores dados son l.i. b) Ahora α (,, )+β (,, )+γ (,, ) = (α + β,α +β γ,α +β + γ) =(,, ) loquesetraduceen Su solución general es α + β = α +β γ = α +β + γ = {α = s, β = s, γ = s : s R} = {s(,, ) : s R}, por tanto son l.d. y por ejemplo, tomando s =se tiene que ó ( ) (,, ) + (,, ) + (,, ) = (,, ) (,, ) = (,, ) + (,, ) Nótese que el n o de vectores l.i. es k ==,el rango es dos, eso significa que habrá uno que se puede escribir como combinación lineal de los otros dos, siendo estos últimos l.i. Se ha visto de hecho que (,, ) = (,, )+(,, ). c) Ahora se trata de cuatro vectores en R 4,el sistema a analizar es el que se sigue de α (,,, ) + β (,,, ) + γ (,,, ) + δ (,, 4, ) = (,,, )

5 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I 5 i. e. (α +β +δ, β + γ +δ, α +β + γ +4δ, β + γ +δ) =(,,, ) La solución general es α +β +δ = β + γ +δ = α +β + γ +4δ = β + γ +δ = {α =s +t, β = s t, γ = s, δ = t : s, t R} Son l.d. y se pueden tomar, por ejemplo, s = t =,con lo que poniendo α = 4,β =,γ =,δ = lograremos la combinación lineal deseada. En todo caso ahora k ==4 r(a) =4,y por ello habrá un par de vectores entre los cuatro que se pueden escribir como combinación lineal de los otros dos restantes. Si tomamos t =y s =se tiene (,,, ) + ( ) (,,, ) + (,,, ) = (,,, ) ó (,,, ) = (,,, ) + () (,,, ) Ycons =y t =se tiene (,,, ) + ( ) (,,, ) + (,, 4, ) = (,,, ) ó (,, 4, ) = (,,, ) + () (,,, ) De manera que (,, 4, ) y (,,, ) son los que se pueden escribir como combinación lineal de (,,, ) y (,,, ), y éstos son l.i. 5. Como alternativa a la escritura de un vector de R n,que hemos convenido que se escriban en forma de filas, tenemos la posibilidad de escribirlos como columnas. Todas las propiedades se conservan y las operaciones se realizan de forma análoga. Analizamos el rango de conjuntos:

6 6 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS a) El sistema es b) : α +7β 6γ β 4α +β + γ α 4 = α β + β γ + γ 6 = = 6. Para calcular el rango de una matriz (de los vectores columna que la componen) podemos proceder de dos formas, bien a través de un sistema homogéneo, tal y como se ha hecho en el ejercicio anterior, o bien mediante la determinación de la matriz escalonada. a) Tomemos el primer método: para la matriz hemos de considerar la combinación lineal 4 a 6 + b 5 + c = 7 i.e a +b +4c = 6a 5b +c = 7a b + c = cuya solución es la trivial. Por tanto son l.i., como hay tres se tiene rango. b) Empleamos el método de la matriz escalonada para B = 4

7 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I 7 Tenemos B Por tanto el rango es 4. Conviene notar que es el máximo rango que podía alcanzar la matriz. 7. a) Operamos con la matriz ampliada: A =

8 8 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS Se sigue que p = p ==n y por ello es un SCD (Rouché-Frobenius). No cuesta trabajo usar la última matriz para deducir de manera recursiva que x =,x =,x = b) Es inmediato que r A µ 5 = r = y por tanto (Rouché-Frobenius) es un SCI. Reescribamos el sistema llevando a la derecha aquellas columnas en las que no están los unos de los peldaños. Si hacemos esto resulta que la solución general es el conjunto de los vectores de R 4 de coordenadas x =5 a + b x = a b x = a x 4 = b donde a y b son números reales cualesquiera. Esta solución general se escribe vectorialmente como x x x x 4 = 5 a + b a b a b = 5 + a + b Obsérvese que la expresión anterior da una idea de la estructura de las soluciones del sistema no homgéneo estudiado. 8. Para demostrar que todo conjunto con n + vectores de R n es linealmente dependiente basta con darse cuenta de que al hacer una combinación lineal de los vectores habrá n ecuaciones y n +incógnitas formando un sitema lineal homogéneo. Si se determinalamatrizescalonada,éstasólopodrátener,alosumo,n peldaños de hay que el rango sea < n +=número de incógnitas, y por Rouché-Frobenius se tratará de un SCI, esto es habrá dependencia lineal 9. Hagamoslasdosprimeracomposiciones: h g f (x) = h g(x +7)=h (x +7) 5 = h x +6 =sin x +6

9 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I 9 g h g (x) = g h (x 5) = g(sin(x 5)) = (sin(x 5)) 5=sin(x 5) 5. Escribir las matrices de las siguientes aplicaciones lineales: a) f(,, ) = (, ),f(,, ) = (, ),f(,, ) = (, ) y por tanto la matriz asociada es µ b) f(x, y, z) =(x y, x +y, x z) c) f(x, y, z) =x y + z.. Dada f : R R mediante f(x, y) =(x + y, x y), hallar la imagen mediante f de las siguientes regiones: a) Los segmentos que delimitan al cuadrado son {(x, y) : x, y } S = {(x, y) :x =, y } S = {(x, y) :x =, y } S = {(x, y) :y =, x } S 4 = {(x, y) :y =, x } La imagen del primero consta de la imagen de todos los puntos que lo componene: así calculamos f(,y)=(+y, y) =(, ) + y(, ) que al tener limitado a y con y es un segmento, el que une (, ) con (, ). Lo llmamaremos T Acabamos de ver que f(s )=T. Del mismo modo procedemos con el resto de los segmentoṡ: f (,y)=(+y, 4 y) =(, 4) + y(, )

10 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS segmentos que une (, 4) con (, ); f (x, ) = (x, x) =x(, ) donde x [, ]. Es pues el segmento que une (, ) con (, 4). f(x, ) = (x +, x ) = (, ) + x(, ) y x Cuadrado a transformar. y Imagen del cuadrado Podemos ver en qué se transforma un segmento interior (dibujado con línea discontinua en la figura), un segmento del tipo S = {x = x,y [, ]} : f(x,y) = (x + y, x y) =(x, x )+y(, ) Es un segmento que lleva la dirección del vector (, ), y que pasa por el punto (x, x ) y este punto está ubicado en el segmento superior T. x

11 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I b) Un análisis parecideo sirve para determinar la imagen de {(x, y) : x, y }.. µ cos ψ sin ψ sin ψ cos ψ.. El plano x = y se puede expresar resolviendo el sistema que define: La solución es x y = x = s, y = s, z = t con s y t números cualesquiera. Reescribimos x y = s + t z Por ende el plano esstá generado por los vectores (,, ) y (,, ). Así la imgen del tercer vectro dela basé canónica, e, es f(,, ) = (,, ). Para analizar las imágenes de f(,, ) ydef(,, ) hemos de emplear un poco de geometría: si nos fijamos en el dibujo adjunto no es difícil verificar f(,, ) = (,, ) yquef(,, ) = (,, ) y La matriz pedida es S = x

12 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 4. Para demostrar que las aplicaciones f(x, y) =(x + y, x +y) y g(x, y) =(x y, x + y) son inversas una de la otra basta con componer y ver que el resultado es la aplicación identidad. También es suficiente que las matrices asociadas son una la inversa de la otra. Optemos por este camino: la matriz de f es A = µ yladeg es B = µ Entonces la composición (cualquiera de las dos posibles) tiene como matriz a AB = µ µ = µ 5. Es inmediato si uno tiene en cuenta que f (y) = +y (nótese que f no es lineal, y por ende f tampoco) 6. Encontrar,siesposible,lainversadelassiguientesmatrices: a) 4, b) 5, c) µ d) a µ /a, e) a (a 6= ), f) a a a (a 6= ) 7. Encontrar, si es posible, la inversa de las siguientes aplicaciones lineales a) f(x, y, z) =(x + y + z, x + z, x + y +z) tiene como matriz asociada a A =

13 4.. SOLUCIONES E INDICACIONES A LOS PROBLEMAS DEL CAPÍTULO I La matriz asociada a f, de existir la calculamos mediante el método de Gauss: por lo que la matriz de f es B = A = + b) f(x, y) =(x + cy, x cy) tiene como matriz a µ c A = c y después de algunos calculos (similares a los de arriba) se tiene que µ A = c c Por tanto f (o A ) existe sii c 6=. Nótese que µ µ f y (y,y )=µ = y + y y c c y c y c 8. Encontrar A y resolver el sistema A x = b significa que como el sistema es A x = b, multiplicando (por la izquierda) esta igualdad por la matriz A (en caso de ue exista) se tiene A A x = A b i.e. x = A b.

14 4 CAPÍTULO 4. RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS a) Si entonces y x = A = A = = b) Para este caso el proceso es el mismo, pero observamos que la resolución es más sencilla sin calcular la matriz inversa. La razón es que la matriz A es triangular y por tanto su resolución se puede realizar de modo recurrente. De hecho se tiene que x =,x = y x 9 = /6+/9 = Para el apartado primero la solución es única: {z =,y =,x=,t=} dado que r 5 =4 6 La solución delsegundo es {x =,z =,y =}, se trata de nuevo de un sistema compatible determinado r 5 =