MANUAL DE MATEMATICAS I

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1 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 1 ESCUELA: ESCUELA PREPARATORIA ASIGNATURA: MATEMATICAS I TETRAMESTRE: TERCERO MANUAL DE MATEMATICAS I OBJETIVO: El alumno será capaz de analizar y comprender los principios fundamentales de la aritmética y posteriormente los aplicará al algebra. UNIDAD OBJETIVOS ESPECIFICOS TEMAS Y SUBTEMAS I II III EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES (ENTEROS, FRACCIONES POSITIVOS Y NEGATIVOS.) OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS (POSITIVOS Y NEGATIVOS) OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES Y OPERACIONES MATEMÁTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA. 1. La estructura de los #s reales 2. Factores y divisores de un # 3. El valor absoluto de un # 1. Suma 2. Sustracción 3. Multiplicación 4. División 5. Comparación de cantidades 1. Suma 2. Sustracción 3. Multiplicación 4. División 5. Operaciones matemáticas con notación científica IV V VI VII OPERACIONES CON NUMEROS FRACCIONARIOS PORCENTAJES PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES OPERACIONES CON EXPRESIOENES ALGEBRAICAS 1. Suma 2. Sustracción 3. Multiplicación 4. División 1. Obtención de porcentajes 2. Obtención de intereses 3. Ejercicios 1. Propiedades de la igualdad 2. Propiedades de las operaciones de los números reales 1. Lenguaje algebraico 2. Expresiones algebraicas 3. Suma 4. Sustracción 5. Multiplicación 6. División de expresiones algebraicas

2 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 2 UNIDAD I. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES 1. La estructura de los números reales. Números reales R : Son todos aquellos que utilizamos normalmente para realizar cualquier tipo de operación cotidiana. Observe que los #s Reales están formados por el conjunto de los #s Racionales (Q) e Irracionales, los cuales se subdividen a la vez como lo indica el esquema anterior. 1. Números Racionales Q : conjunto formado por los números enteros y fraccionarios los cuales pueden expresarse como positivos o negativos, dicho conjunto incluye al número cero. 2. Números Eneros Z : conjunto de todos los números enteros que van de - hasta +, lo cual incluye al Números naturales N ={0 + }. Es el conjunto de todos los números enteros que van desde 0 hasta Números Enteros negativos ={- 0}. Es el conjunto de todos los números enteros que van desde 0 hasta Números Fraccionarios: son todos los números formados por el cociente de 2 números enteros y se expresan de la siguiente forma: a/b donde b 0 6. Números Irracionales: Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción y el decimal sigue para siempre sin repetirse. Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es 3, (y más...)

3 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 3 PRACTICA 1. Clasifique los siguientes números de acuerdo al conjunto al que pertenecen: PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

4 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 4 2. Factores y Divisores de un Número Entero A. Los factores de un número entero (se aplica la operación de multiplicación): son 2 o más números que al ser multiplicados entre si dan como producto (resultado) dicho numero. Es decir son los números en los que se puede descomponer un número entero de forma que al ser multiplicados dan por resultado éste. Vea la tabla de multiplicación del 3. Se presentan los 2 factores y el producto. B. Los divisores de un número entero (se aplica la operación de división): son los números enteros que dividen exactamente a otro número mayor que ellos, de acuerdo a la tabla anterior c/u de los factores se convierte a la vez en divisor del producto, es decir el divisor de 27 es 9 ó 3, ya que ambos números dividen exactamente al 27.

5 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 5 PRACTICA 2. Complete la siguiente tabla determinando los factores y divisores faltantes según sea el caso: PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

6 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 6 3. El valor absoluto de un Numero Se define el valor absoluto de cualquier número positivo o negativo como el establecido por su figura teniendo signo positivo y su operación se denota con barrasextremas ( )que contienen al número ya sea positivo a negativo. Ejemplos: = = = -13 = = -3 = = 3 = = 13 = = -33 =33 PRACTICA 3. Determina el valor absoluto de los siguientes números y las operaciones: = = = = = = = = = = = = PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

7 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 7 UNIDAD II. OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS 1. Suma Y 2. Sustracción Ley 1: Cuando 2 o más números positivos se suman su resultado es otro número positivo. Ley 2: Cuando 2 o más números negativos se suman su resultado es otro numero negativo. Ley 3: Cuando un número negativo se le suma a otro numero positivo su resultado es la diferencia de ambos colocándole el signo del mayor numero (en su figura) que puede ser positivo ó negativo. Estas leyes son aplicadas tanto para números enteros, fraccionarios y decimales. PRACTICA 3. Determine el resultado de las siguientes operaciones de Suma y Sustracción con números enteros positivos y negativos: Ejemplos: Ejercicios: = = = = = = = = = = = = =648 13

8 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I = = PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: Multiplicación Aplicamos las siguientes leyes de los signos: Ley 1: El producto de 2 números positivos ó 2 negativos es igual a otro numero Positivo, es decir: (+) (+) = (-) (-) = + Ley 2: El producto de 1 número positivo por otro negativo o viceversa es otro número Negativo, es decir: (+) (-) = (-) (+) = - PRACTICA 4. Determine el producto de las siguientes multiplicaciones con números enteros positivos y negativos aplicando la ley de los signos: Ejemplos: Ejercicios: 1 (-9)(-45)(-7)(32)= (-9)(-45)(-7)(32)(23)(-12)= 2 (26)(-5)(17)(34)(-22)= (26)(-5)(17)(34)(-34)(-22)= 3 (-117)(-28)(-58)(-72)= (-52)(-25)(-117)(-28)(-58)(-72)= 4 (-2)(-25)(-11)(42)= (-2)(-25)(-117)(-83)(-138)(-42)= 5 (33)(-89)(-62)= (33)(-89)(-47)(-28)(-138)(-62)= (59)(-5)(-1107)(-280)= (59)(-5)(-1107)(-280)(18)(222)=

9 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 9 7 (32)(-95)(188)(452)= (32)(-95)(-317)(-63)(188)(452)= 8 (-3)(-89)(-77)(8)= (-3)(-89)(-77)(8)(-131)(632)= 9 (19)(-335)(-0)= 0 9 (19)(-335)(-0)(32)(3)(-162)= 10 (-152)(-425)(-107)= (-152)(-425)(-107)(-328)(-5)(-702)= PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: 4. División Aplicamos las siguientes leyes de los signos: Ley 1: La división de 2 números positivos ó 2 negativos es igual a otro numero Positivo, es decir: (+)/(+) = (-)/ (-) = + Ley 2: La división de 1 número positivo por otro negativo o viceversa es otro número Negativo, es decir: (+)/ (-) = (-) /(+) = - PRACTICA 5. Determine el resultado de las siguientes divisiones con números enteros positivos y negativos: Ejemplos y ejercicios: Ejercicios: 1-75/3= /3= 2 780/15= /15= /-64= /-64= /213= /213= /-96= /-96= /-235= /235= /112= /-112= /-789= /-789=

10 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I /512= /-512= /99= /99= /285= /-285= /-1002= /-1002= /-1099= /-1099= /1325= /-1325= /-178= /-178= PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

11 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 11 PRACTICA 6. Problemas de aplicación con números enteros positivos y negativos.

12 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I Comparacion de cantidades Comparar 2 numeros significa cual de ellos es mayor, menor o igual, para ello se utilizan simbos matematicos que se presentan en la siguiente tabla, su significado y ejemplos: Comparar números Símbolo > < Significar mayor que más grande que es más grande que menos que menos que más pequeño que Ejemplos en símbolos 7 > 4 4 < 7 Ejemplos en palabras 7 es mayor que 4 7 es más que 4 7 es más grande que 4 4 es menos que 7 4 tiene menos que 7 4 es más pequeño que 7 = igual a 7 = 7 7 es igual a 7

13 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 13 es lo mismo que 7 es lo mismo que 7 Practica 7: PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: UNIDAD III. OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES Y NOTACION EXPONENCIAL EN BASE 10

14 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I Suma, 2. Sustracción, 3. Multiplicación y 4. División con números decimales.

15 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 15

16 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 16 PRACTICA 8. Determina la solución de las siguientes operaciones con números decimales de acuerdo a lo que te pida:

18 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 18 PRACTICA 10. Problemas de aplicación con operaciones de números decimales.

19 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 19 PRACTICA 11. Multiplicación y división por potencia de 10.

20 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 20 PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: Operaciones matemáticas con notación científica Suma y resta de números expresados en notación científica Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deja la potencia de 10 con el mismo grado y se suman los números que multiplican a las potencias de 10 (o sea, se deben sumar las mantisas). En caso de que no tengan el mismo exponente hay que hacer una transformación previa para obtener el mismo exponente, para ello la mantisa se multiplica o divide por 10 tantas veces como sea necesario hasta conseguir el mismo exponente. Ejemplos: a) = b) = c) = (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0, , = 3, Producto de números expresados en notación científica Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican las mantisas y se suman los exponentes (basta recordar cómo se multiplican potencias de la misma base). Ejemplos: a) ( ) ( ) = b) ( ) ( ) = División de números que están expresados en notación científica Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen las mantisas y se restan los exponentes (el del numerador menos el del denominador, o sea el del dividendo menos el del divisor).

21 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 21 Ejemplos: a) ( )/( ) = Esto es: b) ( )/( ) = Escrito en forma de fracción sería: La potenciación de números en notación científica Se eleva la mantisa a la potencia y se multiplican los exponentes. Ejemplo: ( ) 2 = Radicación de números escritos en notación científica Se debe extraer la raíz de la mantisa y se divide el exponente por el índice de la raíz. Ejemplos: PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

22 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 22 UNIDAD IV. OPERACIONES CON NUMEROS FRACCIONARIOS Introducción Toda fracción está formada por 2 partes cuya expresión matemática se denota por: N/D Donde: N= numerador (número enteros positivo o negativo, diferentes de cero) D= denominador (número enteros positivo o negativo, diferentes de cero) Ejemplo: 7/5; Donde 7 es el numerador y 5 es el denominador.

23 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 23 Suma y Sustracción (Resta)

24 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 24 Nota: en las siguientes operaciones hay que aplicar la ley de los signos de multiplicación una vez que se haya resuelto la suma o sustracción de fracciones que se encuentran en paréntesis.

33 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 33 Comparar fracciones El método decimal de comparar fracciones Sólo tienes que convertir cada fracción en decimal, y comparar los decimales. Cuál es mayor: 3/8 o 5/12? Tienes que convertir cada fracción en decimal. Esto lo puedes hacer con tu calculadora (3 8 y 5 12), o puedes leer Convertir fracciones en decimales. De cualquier manera, la respuesta es: 3/8 = 0.375, y 5/12 = Así que 5/12 es mayor. PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: ncena5.pdf UNIDAD V. PORCENTAJES 1. OBTENCION DE INTERESES Ejercicios y problemas de porcentajes 1. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? Solución: Aplicamos el método de la Cruz: consiste en multiplicar extremos por extremos y medios por medios e igualarlos, finalmente se despeja la llamada incógnita X como se ilustra e indica en seguida: 800 alumnos =100% 600 alumnos = x % Extremos =Medios (X %) (800 alumnos) = (100%) (600 alumnos) Despejamos X Por lo tanto: X= (100%) (600 alumnos)/ (800 alumnos)= 75% 2. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800, nos hacen un descuento del 7.5%. Cuánto hay que pagar por el vehículo?

34 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I =100% X = 92.5% 3. El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%? Note que al precio normal hay que aumentarle 16% mas 1200 =100% X = 116% 4. Al comprar un monitor que cuesta 450 nos hacen un descuento del 8%. Cuánto tenemos que pagar? Note que al precio normal hay que descontarle 8% 450 =100% X = 92% 5. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80. Halla el precio de venta. 80 = 100% X = 115% 1. OBTENCION DE INTERESES 1. Determine los intereses generados que una persona deberá pagar por un préstamo de $ con un interés del 8% mensual a un plazo de 7 meses. Solución: (5000)(8/100)= (5000) (0.08)= en 1 mes Por lo tanto en 7 meses es: (400) (7)= $

35 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 35 PRACTICA 11. Aplicación de matemáticas financieras. 1. Determine el costo que hay que pagar al comprar una sala que cuesta $ con un descuento del 8%. 2. Determine los intereses generados que una persona deberá pagar por un préstamo de $ con un interés del 10% mensual a un plazo anual. 3. Se vende un artículo con una ganancia del 25% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en $ Halla el precio de venta. PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: UNIDAD VI. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 1. Propiedades de la Igualdad

36 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 36 Objetivo: Resolver ecuaciones lineales en una variable A. Propiedad de la igualdad de la suma: Sean a, b y c números reales cualesquiera, si a = b entonces a + c = b + c. OJO: La Propiedad de la igualdad de la suma significa que como el signo de igualdad es similar a una balanza, lo que se sume a un lado del signo debe ser sumado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad. Ejemplo 1: 4 = entonces = Podemos observar que: 9 = 9 Esta propiedad la podemos usar al resolver ecuaciones: Veamos: Observa que los signos de igualdad (=) deben estar uno debajo del otro Ejemplo 1 x - 4 = 7 que es lo mismo que x + -4 = 7 ahora para dejar la x sola vamos a x = sumar 4 en ambos lados usando la Propiedad x + 0 = 11 de la suma para la igualdad x= 11 Comprobación x - 4 = 7 Sustituimos la x por 11 y comprobamos 11-4 = 7 si tenemos una igualdad. Observamos que resulta en una igualdad. Ejemplo 2 x - 1 = 6 (Recuerda que restar un número es igual 8 8 sumar su opuesto.) x+ -1 = 6 Ahora para dejar la x sola, le sumamos a 8 8 un número que dé como resultado cero. x = Ese número es el opuesto de -1/8 o sea 1/ Pero si sumamos 1/8 es un lado de la ecuación tenemos que sumarlo al otro lado x + 0 = 7 por la Propiedad de la suma para la igualdad. 8 x = 7 8 Comprobación x - 1 = 6 Sustituimos la x por 7/ 8 y comprobamos 8 8 si tenemos una igualdad.

37 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I = = 6 Observamos que resulta en una igualdad. 8 8 Los procedimientos de los dos ejemplos anteriores de pueden acortar si observamos que al resolver una ecuación lo que buscamos es aislar la variable ( dejarla sola) y cuando aplicamos la Propiedad de la Igualdad de la suma el número que está suma a la variable, aparece al otro lado de la ecuación con el signo opuesto. Veamos estos ejemplos de nuevo. Ejemplo 1 x - 4 = 7 x + -4 = 7 x = x = 11 Ejemplo 2 x - 1 = x + -1 = x = x = 7 8 Veamos algunos ejemplos más: Ejemplo 3 Resuelve x + 5 = -9 Solución: x + 5 = -9 x = x = -4 Ejercicios de Práctica: 1. x + 9 = x - 9 = 5 2. x + 4 = 1 7. x - 10 = 3 3. x + 5 = 9 8. x - 3 = 8 4. x + 1 = 5 9. x - 2 = x + 2 = 5 9 9

38 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 38 Soluciones: 1. x + 9 = 12 x = x + 0 = 3 x = 3 2. x + 4 = 1 x = x + 0 = x = x + 5 = 9 x = x + 0 = 4 x = 4 4. x + 1 = x = x + 0 = 4 7 x = x + 2 = x = x + 0 = 3 9 x = 3 3 = x - 9 = 5 x + -9 = 5 x = x + 0 = 14 x = x - 10 = 3 x = 3 x = x + 0 = 13 x = x - 3 = 8 x + -3 = 8 x = x + 0 = 11 x = x - 2 = x + -2 = x = x + 0 = x + 0 = 1 x = 1 B. Propiedad de la igualdad de la multiplicación Sean a. b, y c números reales cualesquiera, si a = b entonces, a c = b c

39 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 39 OJO: La Propiedad de la igualdad de la multiplicación significa que como el signo de igualdad es similar una balanza, lo que se multiplique a un lado del signo debe ser multiplicado al otro lado de la igualdad para mantener el balance o la igualdad. Por ejemplo: 4 = 3+1 entonces 5(4) = 5(3 + 1) Podemos observar que: 20 = 20 Ejemplo 1: Observa que el objetivo de resolver una ecuación es aislar la variable. Resuelve: 4x = 28 Aprovechando la propiedad de la igualdad de la multiplicación, podemos multiplicar 4 por un número que de uno. En el caso del 4, 1/4 es el recíproco, de modo que se multiplican ambos lados de la ecuación por 1/4. Solución: 4x = 28 4x = r 4x = l x = 7 Comprobación: 4x = 28 4(7) = 28 Ejemplo 2 Resuelve 4 x = 12 7 Solución 7 4 x = x = Debemos buscar un número que al multiplicarlo por 4/7 el resultado sea 1. El número que buscamos es el recíproco de 4/7, o sea 7 x = 21

40 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 40 Ejemplo 3: x = x = x = x = x = 3 x es los mismo que 1 x 9 El recíproco de 1 es 9 9 Ejercicios de Práctica: 1. -3x = x = x = x = Soluciones 1. -3x = = x= x = x = x = x = x = x = x = x = x = x = x x = x = x = x = -40

41 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I Propiedades de las operaciones de los números reales Las propiedades que existen en los números reales son indispensables tanto por la ordenación de los números, como también para poder hacer soluciones a los problemas matemáticos que se nos pueda dificultar. Así también los podemos observar y comprender mejor, como obtener soluciones y como es su representación. En estas tenemos los axiomas las cuales son las siguientes: asociadas suma: (a+b)+c = a+(b+c) conmutativa suma: a+b=b+a conmutataivamultiplicacion: a*b= b*a asociativamultiplicacion: a(bc)=(a*b)=c distributiva a(b+c)=ab+ac elemento neutro aditivo: a+0=a elemento neutro multiplicativo: a*1=a elementoinverso aditivo: a+(-a)=a elemento inverso multiplicativo: a*a-1= 1 o (a* 1/a 1) Si a, b y c son números reales entonces:

43 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 43 PRACTICA 12. Relacione las siguientes columnas según pertenezca cada operación de acuerdo a las 5 propiedades de los números reales, C (conmutativa), A (asociativa), D (distributiva), ID (identidad), IN (inversos) ( ) (4) (7) = (7) (4) C (conmutativa) A (asociativa) D (distributiva) ID (identidad) IN (inversos) ( ) = ( ) 55 ( ) = 55 (11) + 55 (85) ( ) (-126)=0 ( ) = 258 ( ) =0 ( ) 97 (1) = 97 ( ) 95 + (42+19)= 42+(19+95) ( ) = ( ) 44[(56)(67)] = 67 [(56)(44)] ( ) (42) (17) = (17) (42) ( ) -48+3=3-48 ( ) 45 ( ) = 45 (171) + 45 (8) ( ) (-678)=0 ( ) = ( ) 657 (1) = 657 ( ) 75 + (112+15)= 112+(15+75) ( ) 14[(63)(97)] = 97 [(63)(14)] ( ) = ( ) =0 PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A:

44 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 44 UNIDAD VII. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Lenguaje Algebraico Qué es el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente conocemos comolenguaje natural. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir, lo que permite simplificar expresiones, formular ecuaciones e inecuaciones y permite el estudio de cómo resolverlas. Para qué sirve el lenguaje algebraico? El lenguaje algebraico es utilizado para la representación de valores desconocidos, la principal función es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética. Ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir x + y. Características del lenguaje algebraico. El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos. Ejemplos Resueltos de traducción de lenguaje verbal al lenguaje matemático ó lenguaje algebraico. 1. Un numero cualquiera: x 2. La suma de dos números diferentes: x + y 3. La diferencia de dos números: x - y 4. El producto de dos números: x y 5. El cociente de dos números: x/y 6. El cubo de un numero: x3 7. El triple del cuadrado de un numero: 3x2 8. La suma de los cuadrados de dos números: x2 + y2 9. La quinta parte del cubo de un numero: x3/5 10. El cubo de la quinta parte de un numero: (x/5)3 11. La suma de dos números dividida entre su diferencia: (x + y)/(x - y) 12. Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?: x + 3 = Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7?: x - 20 = Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto: 3/5 x + 1/4 15. La diferencia entre un número y su anterior: x - (x-1) 16. La suma entre un numero par y el triple del siguiente par: 2x + 3(2x+2) 17. El producto entre el doble de un numero y la tercera parte de su consecutivo: 2x (x+1)/3 18. El cociente entre un numero y su mitad: x/(x/2) 19. La mitad de la suma de dos números multiplicado por el cuadrado de ambos números: 1/2 (x+y)(x y)2 20. La raíz cubica del cuadrado de la suma de dos números: 3 (x+y)2

45 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I La tercera parte de un numero aumentado en 10: x/ Las dos terceras partes de la suma de dos números: 2/3 (x+y) PARA REFORAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: 2. Expresiones Algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. Longitud de la circunferencia: 2πr, donde r es el radio de la circunferencia. Área del cuadrado: S = l 2, donde l es el lado del cuadrado. Volumen del cubo: V = a 3, donde a es la arista del cubo. Operaciones Fundamentales Con Expresiones Algebraicas 1. Suma 2. Resta 3. Multiplicación 4. División. 3. Suma de expresiones algebraicas Para realizar la suma de expresiones algebraicas se agrupa los términos semejantes. Se puede realizar en forma horizontal o vertical, para llevar a cabo la suma en forma vertical se puede disponer en filas, con los términos semejantes por su grado en la misma columna y a continuación, se suman los términos de cada columna. Ejemplos. Suma horizontal 1. (2x³ + x² -5) + (X² + x +6) = 2x³ + x² -5 + x² + x +6 = 2x³ + (x² + x²) + x + (6-5)

46 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 46 = 2x³ + 2x² + x + 1 Suma vertical 2. (5x³ + 2x² - x + 7) + (3x² - 4x + 7) + (-x³ + 4x² - 8) 4. Resta de expresiones algebraicas Para restar cambie el signo de cada uno de los términos que va a restarse y después sume los términos semejantes resultantes. Se lo realiza en forma horizontal y vertical. Ejemplos. Resta horizontal. 1. Restar x³ + 2x² - x 4 de 3x³ - 5x² + 3 (3x³ - 5x² + 3) (x³ + 2x² - x 4) = 3x³ - 5x² + 3 x³ - 2x² + x + 4 = (3x³ - x³) + (-5x² - 2x²) + x + (3 + 4) = 2x³ - 7x² + x + 7 Resta vertical 2. (4x 4-2x³ + 5x² - x + 8) (3x 4-2x³ + 3x 4) 5. Multiplicación de expresiones algebraicas Podemos tener multiplicaciones como las siguientes: 1. Multiplicación de dos o más monomios.

47 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 47 Se realiza aplicando las reglas de la potenciación, de los signos y las propiedades asociativa y conmutativa del producto. Ejemplo. Multiplicar -3x²y³z, 2x 4 y, y -4xy 4 z² (-3x²y³z)(2x 4 y)(-4xy 4 z²) =[(-3)(2)(-4)][(x²)(x 4 )(x)][(y³)(y)(y 4 )][(z)(z²)] = 24x 7 y 8 z 3 para obtener este resultado se debe realizar mentalmente en próximos ejercicios, esto se realizar con la práctica. 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio El producto se obtiene por la directa aplicación de la propiedad distributiva. Ejemplo 4x²(3x 2x³ + 1) = 4x²(3x) 4x²(2x³) +4x²(1) = 12x³ 8x 5 + 4x² = 8x x³ + 4x² 3. Multiplicación de binomios Utilizando la propiedad distributiva Ejemplo (x + 2)(x 3) = x(x 3) + 2(x 3) = x² - 3x + 2x 6 = x² - x 6 Utilizando el método PEIU PEIU significa que se debe realizar los productos de los Primeros términos, los términos Externos, términos Internos y el término Último. Ejemplo

48 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 48 (3x + 4)(2x + 1) 4. Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios que tienen tres o más términos, se puede usar el mismo principio básico que se usa para multiplicar monomios y binomios. Esto es cada término de un polinomio debe multiplicarse por cada término del otro polinomio. Puede hacer la multiplicación en forma horizontal o vertical. Multiplicación horizontal Ejemplo. Multiplicar (4x² - 3x 1) (2x 5) = 4x²(2x 5) -3(2x 5) -1(2x 5) = 8x³ - 20x² - 6x² + 15x -2x + 5 = 8x³ - 26x² + 13x + 5 Multiplicación vertical Se alinea términos semejantes en las mismas columnas verticales. Ejemplo Multiplicar (4x² + x 2) (-x² + 3x + 5)

49 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I División de expresiones algebraicas 1. División de dos monomios. Se realiza hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales aplicando las reglas de potenciación. Ejemplo. Dividir 24x 4 y²z³ por -3x³y 4 z 2. División de dos polinomios a. Se ordenan los términos de ambos polinomios según las potencias decrecientes (o crecientes) de una de las letras comunes a los dos polinomios. b. Se divide el primer término del dividendo por el primero del divisor, con lo que resulta el primer término del cociente. c. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta el dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. d. Con el dividendo del literal c., se repite las operaciones del los literales b. y c. hasta que se obtenga un resto igual a cero o de grado menor que el del dividendo. e. El resultado es: Ejemplo Dividir 2x 4-3x³ + x² + x + 2 por x² - 3x + 2

50 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 50 Por lo tanto, PRACTICA 13. Completa y determina el resultado de las siguientes operaciones algebraicas siguiendo el ejemplo en cada caso.

52 ESCUELA PREPARATORIA FERNANDO MONTES DE OCA MANUAL DE MATEMATICAS I 52 PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO VAYA A: