EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Contenido de la unidad 1: 1.1 Introducción a las expresiones algebraicas 1.2 Notación y clasificación de las expresiones algebraicas 1.3 Representación algebraica de expresiones en lenguaje común 1.4 Representación en lenguaje común de expresiones algebraicas 1.5 Valor numérico de una expresión algebraica 1.6 Reducción de términos semejantes. Autoevaluación 1 Juegos de la unidad 1: #1 Memorama de expresiones en lenguaje común y en lenguaje algebraico #2 Carrera del valor numérico de expresiones algebraicas 1

2 1.1 INTRODUCCION A LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en Algebra consiste en manejar operaciones como la suma, multiplicación y división en la que una o más cantidades son desconocidas. Ejemplo 1.1: Cuál es el número que falta en la siguiente expresión? 12 + = 15 La respuesta es 3 ya que 12+3=15 Ejemplo 1.2: Cuál es el número que falta en la siguiente expresión? x 6 = 12 La respuesta es 2 ya que 2x6=12 Actividad 1 Resuelve los siguientes ejercicios: Cuál es el número que falta en las siguientes expresiones? a) 5 + = 8 e) 6 - = 2 b) + 6 = 13 f) - 7 = 5 c) 10 = 5 g) 3 x = 21 d) 5 = 3 h) x 4 = 8 e) A Sonia le dieron dinero para comprar una soda y en el camino a la tienda se le perdieron $2.00, cuando llego a la tienda solo tenía $4.00. Cuánto dinero le dieron a Sonia para la soda? Solución: Para resolver este problema debemos de plantear una ecuación, en donde la incógnita es la cantidad de dinero que le dieron a Sonia para comprar la soda y la podemos representar por un cuadro en blanco ya que no conocemos su valor, a esta incógnita le restamos 2, que fue la cantidad que se le perdió. La resta anterior la igualamos a 4 ya que es el resultado o lo que le quedo a Sonia. Discute con tus compañeros como podrían resolver este problema y resuélvanlo. - 2 = 4 2

3 En algebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra, (normalmente una x o una y, pero cualquier letra está bien), entonces en el problema del inciso e) escribiríamos: x - 2 = 4 La letra en este caso x quiere decir que aún no sabemos cuánto dinero le dieron a Sonia y se le llama frecuentemente incógnita o variable. Una vez que la resuelves escribes: x = 6 Pero cómo resolver? x 2 = 4 Para resolver este problema lo que tienes que hacer es despejar la x (dejarla sola), para esto debemos pasar el -2 al otro lado del signo igual realizando la operación contraria, es decir, como está restando pasara sumando: x 2 = 4 quedaría x = Ahora solo nos queda realizar la operación: x= = 6 por lo tanto x=6 Así es que podemos saber que la cantidad que le dieron a Sonia para la soda fue $6. De igual manera podrías resolver los problemas que se te presentaran más adelante en este folleto. si pasas una cantidad al otro lado del signo igual esta estará realizando la operación contraria, es decir: Si está sumando (+) pasa restando (-) Si está restando (-) pasa sumando (+) Si está multiplicando (x) pasa dividiendo (/) Si está dividiendo (/) pasa multiplicando (x) Ejemplo 1.3: Encuentra el valor de x en la siguiente ecuación x - 5 = 14 Lo primero que hay que hacer es despejar x (dejarla sola) para ello debemos pasar el 5 al otro lado del signo igual (=), como está restando (-) pasara sumando (+): x - 5 = 14 queda x = resultando x = 19 3

4 Ejemplo 1.4: Encuentra el valor de y en la siguiente ecuación 8 + y = 12 Lo primero que hay que hacer es despejar y (dejarla sola) para ello debemos pasar el 8 al otro lado del signo igual (=), como está sumando (+) pasara restando (-): 8 + y = 12 queda y = 12-8 resultando y = 4 Ejemplo 1.5: Encuentra el valor de z en la siguiente ecuación 3z = 9 Lo primero que hay que hacer es despejar z (dejarla sola) para ello debemos pasar el 3 al otro lado del signo igual (=), como está multiplicando pasara dividiendo: 3z=9 queda z = 9 3 resultando z = 3 Ejemplo 1.6: Encuentra el valor de w en la siguiente ecuación = 6 Lo primero que hay que hacer es despejar w (dejarla sola) para ello debemos pasar el 4 al otro lado del signo igual (=), como está dividiendo pasara multiplicando: = 6 queda w = (6) (4) resultando w = 24 Actividad 2 Encuentra el valor de las siguientes incógnitas: a) 6 + x = 9 e) x - 4= 2 b) y + 5 = 21 f) y - 3 = 9 c) z 6 = 5 g) 4z = 24 d) w 5 = 2 h) 10w = 7 4

5 1.2 NOTACION Y CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Termino Para representar las cantidades en Álgebra se utilizan símbolos (números y letras). Los números representan cantidades conocidas y determinadas, mientras que las letras representan toda clase de cantidades, sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d... y las cantidades desconocidas con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo más (+) ó menos ( ). Ejemplo 1.7: Algunos ejemplos de términos son: a, 3x, 6y 2, etc Un término consta de cuatro elementos: Signo 2 6y Grado Literal Coeficiente 1. Signo: son términos positivos los que van precedidos del signo (+) y negativos los precedidos del signo ( ). El signo (+) suele omitirse delante de los términos positivos, con lo que 6y 2 equivale a escribir +6y 2 y 3ab equivale a +3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de ningún signo es positivo. 2. Coeficiente: es la parte numérica que se encuentra antes de una o varias letras en un término y significa multiplicación. Ejemplo 1.8: En el término 8y 2 el coeficiente es: 8. Ejemplo 1.9: En el término 2a 2 x 3 el coeficiente es: 2. 5

6 3. Parte literal: son las letras que hay en un término. Ejemplo 1.10: En 6y 2 la parte literal es: y 2. Ejemplo 1.11: En 3x 2 y 3 la parte literal es: x 2 y Grado: puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Ejemplo 1.12: 4a es de primer grado por que el exponente del factor literal a es 1. Ejemplo 1.13: 6y 2 es de segundo grado por que el exponente del factor literal y es 2. Ejemplo 1.14: ab es de segundo grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es1+1=2. Ejemplo 1.15: a 2 b es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 2+1=3. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Ejemplo 1.16: bx 3 es de primer grado con relación a b y de tercer grado con relación a x. Ejemplo 1.17: 4x 2 y 4 es de segundo grado con relación a x y de cuarto grado con relación a y. Encuentra el signo, el coeficiente, la parte literal, el grado absoluto y el grado relativo de los siguientes términos: Termino Signo Coeficiente Parte literal Grado absoluto Grado relativo con respecto a cada literal a) a Actividad 3 b) -7x 2 c) xy 2 d) 34a 3 b 3 e) 5a 4 b 3 c 2 6

7 1.2.2 Expresión algebraica Una expresión algebraica es la representación de un término algebraico o de una o más operaciones de términos. x Ejemplo 1.18: Los siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas: a,5 x, 2 y, 5 Clasificación de las expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomio: Binomio: Trinomio: Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: 3a x 2 y 3 4z 6b 5yz Es una expresión algebraica formada por dos términos, como: a+b -3x+4y x 2 y 3 +xy 2 11y+8z 7 7s+2t Es una expresión algebraica formada por tres términos, como: a+b+c -3x+4y+z x 2 y 3 +xy 2 +x 2 y 5 5s+6t+9u 3y+5w+2z Es una expresión algebraica formada por más de un término, como: a+b a+b+c a+b+c+d 3x+4y+z -3x+4y+z+3w NOTA: Un binomio y un trinomio también son polinomios ya que constan de más de un término. Marca X para clasificar cada término ya sea monomio, binomio, trinomio o polinomio Termino Monomio Binomio Trinomio Polinomio a) a b) -7x 2 + 2y c) xy 2 2x +4y d) 34a 3 b 3 e) 5a 4 b 3 c 2 + 3a 5bc +2b f) -x 4 y 2 g) 18x + 9yx h) 9xy - 3x +12y 7x 4 Actividad 4 7

8 El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo 1.19: Determine el grado absoluto del siguiente polinomio: Sexto Cuarto Segundo Primer x 4 y 2-5x 3 y + x 2-3x Lo primero que debemos identificar es el grado absoluto de cada término: El primer término es de sexto grado ya que la x tiene potencia de 4 y la y tiene potencia de dos, estas dos potencias se suman y nos da el grado del primer término (4+2=6). El segundo término, es de cuarto grado ya que la x tiene potencia de 3 y la y tiene potencia de 1, estas dos potencias se suman y nos da el grado del segundo término (3+1=4). El tercer término, es de segundo grado ya que la x tiene potencia de 2 El último término es de primer grado ya que la x tiene potencia de 1. Luego el grado absoluto del polinomio es de 6 ya que la mayor potencia de todos los términos la obtuvo el primer término, el cual es de sexto grado. Escribe el grado absoluto de cada término y de cada polinomio. Actividad 5 Termino Grado absoluto del primer termino Grado absoluto del segundo termino Grado absoluto del tercer termino Grado absoluto del Polinomio a) a 3 + 5b 8 b) -7x 2 + 2y c) x 4 y 2 2x +4y 2 d) 34a 3 b a 2 b e) 5a 4 b 3 c 2 + 3a 5bc f) -x 4 y 2 + x 3 y 2 - xy g) 18x + 9yx- y h) 9xy - 3x 7x 4 8

9 El término independiente de un polinomio es el término que no tiene parte literal. Ejemplo 1.20: Encuentre el término independiente del siguiente polinomio: 8x 2 y+ x 4 5 El término independiente es -3 ya que no contiene parte literal. Ejemplo 1.21: Encuentre el término independiente del siguiente polinomio: 2a 3-7a 2 + ab + 8 El término independiente es 8, ya que no contiene parte literal. Encierra en un círculo el término independiente de cada polinomio a) a + ab - 18 f) -a 4 b 2 +a 3 c b) 2y+ 12y g) 18x + 3 c) xy 2 2x + 4 h) 3x 7x 4-2 d) 34a 3 b a 2 b - 12 i) 5s 4-7t e) 7a 4 + 6a 36 j) 8t -3u +2v - 14 Actividad Representación algebraica de expresiones en lenguaje común. Para resolver problemas a partir de un enunciado es conveniente familiarizarnos con la traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa. Si no conocemos el numero o cantidad con la cual estamos realizando alguna operación algebraica escribimos una letra, ya sea a, b, c,, x, y o z. Ejemplo 1.22: El doble de un número se escribe: 2x. Ejemplo 1.23: Un número aumentado en seis se escribe: y+6. Ejemplo 1.24: La suma de un numero con otro, aumentado en dos se escribe: (x+y)+2. Ejemplo 1.24: El producto de dos números es igual a ocho se escribe: xy=8. Ejemplo 1.25: La tercera parte de un número, disminuido en cuatro: (z/3)-4. 9

10 Actividad 7 Estas expresiones se encuentran en lenguaje común, tradúcelas al lenguaje algebraico: a) Un número es igual a ocho: b) Un numero aumentado en cinco: c) Un numero disminuido en seis: d) El triple de un número es igual a otro numero: e) La suma de dos números: f) El producto de dos números es igual a treinta y dos: g) El producto de dos números, disminuido en uno: h) La quinta parte de un numero: i)la suma de un número y seis: j) El doble de un número, aumentado en ocho: k) Cinco veces la suma de un número y cuatro: l) La suma de dos números, dividido en cinco: Representación en lenguaje común de expresiones algebraicas. También se pueden traducir expresiones del lenguaje algebraico al lenguaje común. Ejemplo 1.26: 4a se escribe: el cuádruple de un número o un número multiplicado por cuatro. Ejemplo 1.27: 3b 2 se escribe: el cuadrado de un número, multiplicado por tres. Ejemplo 1.28: xy+2 se escribe: el producto de dos números, aumentado en dos. Ejemplo 1.29: a/4=5 se escribe: la cuarta parte de un numero es igual a cinco. 10

11 Traduce estas expresiones en lenguaje común: Actividad 8 a) ab=3 b) 2b c) 3x+5= 14 d) 3a 2 b e) a=6 f) x/2=12 g) (x+2)/4 h) 6(xy) i) (3a) /2 j) 4(a+1) k) a+b+c=12 l) (xy)/4=8 Ejemplo 1.30: En la tienda venden 2 manzanas y 2 naranjas por $10. Si cada naranja cuesta $3, cuánto cuesta cada manzana? Datos Ecuación algebraica Solución x= precio de las manzanas=? y= precio de lasnaranjas= $3 2 manzanas y 2 naranjas por $10 2x+2y=10 Sustituimos lo que vale y, y=3 2x+(2)(3)=10 Realizamos las operaciones 2x+6=10 Como x=2 sabemos que cada manzana cuesta $2. Tenemos la ecuación resultante 2x+6=10 Despejamos x : el 6 esta sumando por lo tanto pasa restando al otro lado del signo igual 2x=10-6 2x=4 El 2 está multiplicando a x por lo tanto pasa dividiendo al otro lado del signo igual x=4/2 x=2 11

12 Ejemplo 1.31: En una tienda tienen los pantalones a mitad de precio, si al comprar un pantalón pague $150, Cuánto costaba el pantalón sin el descuento? Datos x= precio del pantalón=? Ecuación algebraica Un pantalón a mitad de precio costo $150 Solución Tenemos la ecuación: x 2=50 x 2=50 Despejamos x : el 2 está dividiendo a x por lo tanto pasa multiplicando al otro lado del signo igual x=(150)(2) x=300 Como x=300 sabemos que el costo del pantalón sin el descuento es de $300 Resuelve los problemas a partir del planteamiento de una ecuación: Actividad 9 a) Pepe salió a correr a la deportiva en la mañana y en la tarde. En la mañana corrió 1300m. Si en total corrió 2100m, cuantos metros corrió en la tarde? b) Ana compro 2 lápices, 3 plumas y 1 borrador y gasto en total $28. Si una pluma cuesta $5 y un borrador $3, Cuánto costó cada lápiz? c) La suma de las edades de Luisa y Carlos es de 48 años, si Carlos tiene el doble de años que luisa, Cuántos años tiene cada uno? d) Si en un triatlón recorrí en total 7.2 Km, de los cuales 800m los recorrí nadando y 3.5 Km en bicicleta. Cuánto recorrí corriendo? 12

13 e) Juan y María quieren comprar un refrigerador y necesitan calcular sus dimensiones para saber si cabe en el espacio que tienen en la cocina, para ello necesitan representar de forma algebraica y en lenguaje común las dimensiones del refrigerador. Actividad 9 8x Ayuda a Juan y María a completar la información que necesitan: 4x 2x Lenguaje común Lenguaje algebraico 1. La mitad de la altura del refrigerador = 2. El área de la base del refrigerador = 3. = (4x)(2x)(8x) 4. El área del frente del refrigerador = 5. = 6. El perímetro del frente del refrigerador = 7. El ancho del refrigerador disminuido en 4 = 8. = 4x+2x+4x+2x 9. El doble del frente (longitud) del refrigerador = 10. La tercera parte de la altura del refrigerador = 11. = 3(2x) 12. La mitad del volumen del refrigerador = 13. El área de la base del refrigerador disminuido en 12 = 14. = (2x)(8x) 13

14 1.2.5 Valor numérico de una expresión algebraica. Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado. Ejemplo 1.32: Encontrar el área del siguiente rectángulo, cuya base es de 35 cm y su altura es de 15cm. b h Datos Formula Solución b=35cm h=15cm A=bxh Sustituimos los datos en la formula A=bh A=(35)(15)= 525 cm Es conveniente hacer uso de paréntesis al sustituir una variable por su valor numérico, por ejemplo: Ejemplo 1.32: Hallar el valor de G en la siguiente ecuación G=3a 2-2a+4 si a=2. Datos Formula Solución a=2 G=3a 2-2a+4 Sustituimos los datos en la ecuación G=3a 2-2a+4 G=3(2) 2-2(2)+4 G=3(4)-4+4 G=12-4+4=12 Resuelva los siguientes problemas: a) Un lado de un dado mide 2.5 cm; calcule su volumen total: Actividad 10 Datos Formula Solución b) El radio de un circulo es de 8.3 cm; calcule su área: Datos Formula Solución 14

15 Actividad 11 Determine el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones algebraicas: a) Si a=2 y b=7; entonces ab= b) Si b=5 y c=7; entonces 2bc= c) Si x=1/2; entonces 3x+5= d) Si a=13 y b=5; entonces 3a 2 b= e) Si a=9 y c=3; entonces a 3 +c 4 = f) Si x=3/8 y y=4/8; entonces x/y= g) Si x=46; entonces (x+2)/4= h) Si x=3/6 y y=2; entonces (xy)= i) Si a =5.2 ; entonces (3a) /2= Inventar 5 ejemplos como los anteriores j) k) l) m) n) Reducción de términos semejantes. Los términos semejantes son dos o más términos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes. Ejemplo 1.33: Ejemplos de términos semejantes: -4m, 2m, m, 6m,. 2ab, 3ab, 8ab, -4ab, 2x 2, -6x 2, 3x 2, 8x 2, 2abc 2, -15abc 2, 23 abc 2, -54abc 2, 15

16 Se dice que reducimos términos semejantes cuando sumamos o restamos los coeficientes de los términos semejantes. Los términos no semejantes, no pueden reducirse, no pueden sumarse o restarse algebraicamente. Ejemplo 1.34: Veamos un ejemplo sencillo en el que sumamos papas y tomates, en donde el coeficiente es el número de papas o tomates que tenemos y las palabras papas y tomates son la parte literal: papas + 6 tomates + 5 papas + 3 tomates = 7 papas + 9 tomates En este ejemplo tenemos dos grupos de términos semejantes que son las papas y los tomates, solo podemos sumar papas con papas y tomates con tomates. De igual manera se realizan las operaciones de términos semejantes cuando la parte literal está compuesta por a, b, c, x, y, etc. Ejemplo 1.35: 2a + a - 5a= -2a En este ejemplo todos son términos semejantes, ya que contienen la misma parte literal y se encuentra afectada por los mismos exponentes. Como todos son terminos semejantes, entonces sumamos o restamos sus coeficientes para obtener el resultado dejando la misma parte literal sin cambios. Ejemplo 1.36: 7a + 2b + 4a + 5b= 11a + 7b 7a+4a=11a 2b+5b=7b En este ejemplo 7a y 4a son términos semejantes, asi como 2b y 5b son términos semejantes, ya que contienen la misma parte literal y se encuentra afectada por los mismos exponentes. 16

17 Ejemplo 1.37: 2x 3 y + 4xy + 6x 3 y - 2xy = 8x 3 y + 2xy 2x 3 y + 4xy + 6x 3 y - 2xy = 8x 3 y + 2xy En este ejemplo 2x 3 y y 6x 3 y son términos semejantes, así como 4xy y - 2xy son términos semejantes, ya que contienen la misma parte literal y se encuentra afectada por los mismos exponentes. Reduce los siguientes términos semejantes: Actividad 12 a) 24a - 16b + 3c - 18b +7a + 5c= b) 2a 2 + 3b 2 - a 2 + 2b 2 + 7a 2 - b 2 = c) 1 a 2 b 4 a 3 b d) 3 x 1 y 1 z 1 x 4 y 8 z e) 9x + 4y - 2z + 2(5x)- 3(2y) +2 (4z)= f) a 2 + 5a +7a 2 + 8a= g) 7 (2x + 5x) - 4y - 2x + 8y= h) 5 x 4 y 4 z 3 x 4 y 1 z i) 5(a - 2b + 9c) a + 8b + 2c j. De la cancha de futbol que se muestra a continuación determina lo siguiente: 1. Perimetro. 3a+4b+2c 2. El doble del largo mas el triple del ancho. 3. El largo menos el ancho. 4. El triple del ancho mas el largo. 5a+7b+3c 5. El largo menos (-a-3b-4c) 17

18 Autoevaluación 1 Nombre: Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta en cada pregunta. 1. Qué valor tiene el coeficiente del el siguiente término: +12x 7? a) 7 b) x c) 12 d) x 7 2. Cuál es el grado absoluto del siguiente término: -9a 3 b 5 c 7? a) 3 b) 15 c) -9 d) 8 3. Como clasificarías al siguiente termino: 3x 2-8y 3 (tiene dos respuestas) a) Monomio b) Binomio c) Trinomio d) Polinomio 4. Determina el grado absoluto del siguiente polinomio: 5a 3 b 5 c 2 + 3a 4 bc 3 7a 2 b 5 c 5 a) 12 b) 10 c) 8 d) En cuál de los siguientes polinomios el 8 es el término independiente? a) 6s + 4t + 8 b)8x + 3y 4 c) 7a + 2b 8 +2 d) 5xy 8z 6. Si Luisa tiene el doble de años que Ana, y la suma de sus edades es igual a 27, Cuál de las siguientes ecuaciones expresa de manera algebraica el problema? a) x + x = 27 b) x 2 + y = 27 c) 2x = 27 d) 2x + x = Cuál de las siguientes expresiones en lenguaje común representa al término: xy 3? a) La suma de dos números disminuido en tres b) El producto de dos números es igual a tres c) El producto de dos números disminuido en tres d) Tres veces la suma de dos números. 8. Un rectángulo mide de largo 5x+3y y de ancho 3x-y, si x=3 y y=2, Cuánto mide su perímetro? a) 56 b) 44 c) 20 d)65 9. Cual es resultado de la suma de los siguientes términos: 2(3a - 5b +8a + 9b)? a) 30ab b) 22a + 8b c) 11a + 4b d) 22a + 28b 10. Cuál es el resultado de la suma de los siguientes términos: -4x + 2y - 3x 8y? a) -7x -6y b) x +10y c) -17xy d) 7x +10y 18