GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA

Transcripción

1 PÁGINA: 1 de 10 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado: OCTAVO Periodo: SEGUNDO GUIA 1 Duración: 15horas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Resuelve situaciones problemas que requieren el uso de expresiones algebraicas. EJE(S) TEMÁTICO(S): EXPRESIONES ALGEBRAICAS MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA La matemática: el inconmovible Fundamento de todas las Ciencias y la generosa Fuente de Beneficios para los asuntos humanos. ( Isaac Barrow) Lee atentamente la guía. Sigue las instrucciones del docente. Resuelve las actividades en el cuaderno. Aclara tus dudas. ORIENTACIONES EXPLORACIÓN Resuelve el crucinúmero, descubriendo las incógnitas indicadas en las referencias horizontales y verticales, y completar las casillas correspondientes Horizontales: 1. Número que sumado a 3 da como resultado Año del descubrimiento de América. 5. Número al que restándole el triple de 7, es igual al cuadrado de Número cuya tercera parte, sumada a 8, da por resultado Número cuya mitad es igual a la raíz cuadrada de Número que sumado a 25, da por resultado el cuadrado de Número que dividido entre 8 da 103 como cociente exacto unidad, 2 decenas, 3 centenas. 15. Número de grados que mide un ángulo recto 16. Raíz cuadrada de 2500 Verticales: 1. Número que sumado a 1, es igual a la raíz cuadrada de Número de meses del año.

2 PÁGINA: 2 de Número cuyo doble es igual a Raíz cuadrada de El cuadrado de El cubo de 6, más el cuadrado de El cuadrado de Año de la revolución Francesa. 9. Año del nacimiento de la república de Bolivia. 12. Raíz cuadrada de Raíz cúbica de CONCEPTUALIZACIÓN EL LENGUAJE DEL ALGEBRA El álgebra es una de las ramas de las matemáticas capaz de expresar simbólicamente diversas generalizaciones y de resolver diferentes situaciones de la vida cotidiana. En ella, se utilizan las letras como representación de relaciones aritméticas. Por ejemplo, para expresar el área de un triángulo, el lenguaje aritmético sólo da casos concretos para un valor específico. Sin embargo, utilizando el lenguaje algebraico, se puede dar una representación más general para cualquier valor de la base y la altura como se muestra a continuación: Lenguaje aritmético Lenguaje algebraico. 10cm h A 8cm A = 40 cm 2 b A = b h 2 Este tipo de expresiones formadas por númerosy letras relacionadas, una o varias operaciones matemáticas, reciben el nombre de expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas son utilizadas en ciencias como la Química o la física. Otras ciencias como la economía y la administración, utilizan expresiones algebraicas para determinar variables como: el costo y la útil entre otras. Por ejemplo, el costo de producir cierto número de artículos está dada expresión mx + b, donde m representa el costo por unidad de cada artículo, x el número de artículos y b los costos fijos. CLAVE Matemática En una expresión algebraica, aquellas magnitudes que representan cantidades conocidas o determinadas se denominan constantes; y aquellas magnitudes que representan cantidades desconocidas cuyo valor puede cambiar, se denominan variables.

3 PÁGINA: 3 de 10 El siguiente cuadro muestra la clasificación de las expresiones algebra. CLASIFICACIÓN Racionales Irracionales DEFINICIÓN Son expresiones algebraicas que no presentan ningún variable bajo el signo radical. Estas expresiones pueden enteras o fraccionarias. Enteras. No presentan ninguna variable en su denominador. Por ejemplo, 5x 2 y; 2 3 xy3 Fraccionarias. El denominador presenta alguna varia Por ejemplo, 5 x ; x 3 y+5 Son expresiones algebraicas en las que aparece alguna variable bajo el signo radical. Por ejemplo, 3x; 4x + 3x + 1 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Encontrar una expresión algebraica para cada caso. Luego, determinar su clasificación. a. La razón entre un número y el triple de otro. b. La raíz cuadrada de la suma de los cubos de dos números. c. La segunda potencia de la suma de tres números. d. El área de un trapecio isósceles. SOLUCIÓN a. Si los números son x y y,respectivamente, la razón entre el primer número y el triple del segundo se representa mediante la expresión: x 3y Expresión racional fraccionaria. b. Si los números son m y n, la expresión que representa la raíz cuadrada de la suma de los cubos de dichos números es: m 3 + n 3 Expresión irracional. c. Si los números son a, b y c, la segunda potencia de la suma de tres números está dada por la expresión (a + b + c) 2 Expresión racional entera. e. Si Bes la base mayor del trapecio, bla base menor y h.la altura, el área queda determinada por (B+b)h 2 expresión racional entera MONOMIOS Características de los monomios Definición Un monomio es un producto indicado de factores numéricos y literales. Por ejemplo, las expresiones -7a 2 b 3, 5x 3, m2 n 5 son monomios.

4 PÁGINA: 4 de 10 Elementos de un monomio Signo: es el símbolo que indica si el monomio es positivo (+) o negativo (-). Si el monomio es positivo, suele omitirse el símbolo que le precede. Por ejemplo, 3x 4yz son monomios positivos y -7x 5 ; - 2 mn son monomios negativos. 3 Coeficiente numérico: es la parte numérica presente en un monomio. Por ejemplo, en la expresión -13xy 2, 13 es el coeficiente. Si el monomio carece de parte numérica, su coeficiente es 1. Así, en el monomio ab 2 el coeficiente es 1. Parte literal: es la variable o conjunto de variables presentes en un monomio. Por ejemplo, en el monomio 3m 2 n 5, m 2 n 5 es la parte literal. Grado: puede ser de dos clases, relativo o absoluto. Grado relativo o con relación a una letra: es el exponente de dicha letra. Por ejemplo, en el monomio -8m 7 n 2, el grado con relación a m es 7 y con relación a n es 2. Grado absoluto: es la suma de los exponentes de las variables presentes en el monomio. Por ejemplo, en el monomio 21x 5 y 3, el grado absoluto es 8. EJERCICIO RESUELTO Escribir, en cada caso, tres monomios que cumplan con las condiciones dadas. a. Coeficiente numérico negativo y dos variables. b. Coeficiente numérico 5 y tres variables. c. Coeficiente racional negativo y grado 4 con respecto a x. d. Coeficiente irracional positivo, tres variables y grado absoluto 13. SOLUCION a. -3m 4 n 7 ;-7xy 5 ; -11a 2 b 2 b. 5x 2 y 4 z 6 ; 5abc; 5mn 2 p 3 c. 3 5 X2 Y; 7 2 X4 YZ 2 ; 15 4 X4 Z 4 d. 2X 2 Y 5 Z 6 5a 6 y 3 Z 4 11m 10 n 2 p CLASIFICACION DE LOS MONOMIOS 1. Los monomios se pueden clasificar en homogéneos y heterogéneos. Homogéneos: Dos o más monomios son homogéneos si tienen el mismo grado absoluto. Heterogéneos: Dos o más monomios son heterogéneos si tienen diferente grado absoluto. Ejercicio resuelto 1. Identificar las partes de los siguientes monomios: 3x 4 y 8 ; -5m 5 n; 3m 6 n 6 Monomio Coeficiente Parte Literal Grado absoluto 3x 4 y 8 3 x 4 y m 5 n -5 m 5 n 6 Grado con respecto a x es 4 y es 8 m es 5 n es 1 3m 6 n 6 3 m 6 n 6 12 m es 6 n es 6

5 PÁGINA: 5 de Teniendo en cuenta la tabla anterior, determinar un par de monomios homogéneos y un par de monomios heterogéneos. SOLUCIÓN Los monomios 3x 4 y 8 y 3m 6 n 6 son homogéneos, pues tienen el mismo grado absoluto. Los monomios -5m 5 n y 3x 4 y 8 son heterogéneos, pues tienen diferente grado absoluto. Valor numérico de un monomio El valor numérico de un monomio es el resultado que se obtiene al remplazar sus variables por valores numéricos y después realizar las operaciones indicadas. Ejercicio resuelto Encontrar el valor numérico de los siguientes monomios para x=2; y = -3, z = 7. a. x 2 z b. 5x 3 yz RECO RDA R QUE Toda base negativa elevada a SOLUCIÓN un exponente par, es una Si x = 2, y = -3, z = 7, se tiene potencia positiva. a. x 2 z = (2) 2 (7) = (4)(7) = 28 b. 5x 3 y z=(5)(2) 3 (-3)(7) = 5(8)(-3)(7)=-840 Toda base negativa elevada a un exponente impar, es una potencia negativa. Definición POLINOMIOS Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios. Los monomios que conforman un polinomio, reciben el nombre de términos del polinomio. Según el número de términos, los polinomios se clasifican en: Binomios: expresión algebraica que consta de dos términos únicamente. Por ejemplo, expresiones como 2a + 3b y 5x 2 y 3z 2 son binomios. Trinomios: expresión algebraica que consta de tres términos únicamente. Por ejemplo, expresiones como 3x + 4y + 7z y -a - ab + 8b son trinomios. EJERCICIO RESUELTO Determinar si las siguientes expresiones algebraicas son monomios, binomios o trinomios. En cada caso, indicar el coeficiente numérico y la parte literal de cada término: a. 5a 2 b - 7ab 2 b. 6x 2 + 5xy - 9y 2 c. -7x 3 y 4 z d. 3 4 m2 n 2 + 5a SOLUCION

6 PÁGINA: 6 de 10 Expresión No.de términos 5a 2 b lab 2 2 Binomio Clasificación Términos Coeficientes Parte literal 5a 2 b 5 a 2 b -7ab 2-7 ab 2 6x 2 +5xy - 9y 2 3 Trinomio -7x 3 y 4 z 1 Monomio 3 4 m2 n 2 +5a 2 Binomio 6x 2 6 x 2 5xy 5 xy -9y 2-9 y 2-7x 3 y 4 z -7 x 3 y 4 z 3 4 m2 n 2 4 5a 5a 3 4 m 2 n 2 a GRADO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN POLINOMIO El grado de un polinomio puede ser de dos clases: Grado absoluto: es el grado del término de mayor grado absoluto. Por ejemplo, el polinomio 2x 3-5x 2 + 3x - 11, es de grado 3. Grado relativo o con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio x 4 y - 3x 3 y 2 + 7xy 3 + 9, el grado con relación a x es 4 y con relación a y es 3. Si un polinomio presenta una sola variable, su grado absoluto estará dado por el mayor exponente de dicha variable. Por ejemplo, en el polinomio 5x 4-8x 3 + 9x 2, el mayor exponente de la variable es 4; por lo tanto, es un polinomio de grado 4. Determinar el grado absoluto y el grado con relación a x de los siguientes polinomios: a. x 2 y 2-9x 3 y 5 b. x 3 y 2 + 5x 2 y - 3xy 5 c. 9m 3 n + 5m 8 n m7 n 7 Expresión Términos Grado absoluto Grado absoluto del polinomio x 2 y 2 4 x 2 y 2-9x 3 y 5-9x 3 y 5 8 x 3 y 2 + 5x 2 y -3xy 5 5x 2 y 3 x 3 y 2 5-3xy 5 6 9m 3 n + 5m 8 n m7 n 7 9m 3 n 4 5m 8 n m7 n 7 14 Grado con respecto a una variable 8 Con respecto a x 3 6 Con respecto a y 5 14 Con respecto a m 8 TÉRMINO INDEPENDIENTE DE UN POLINOMIO El término independiente de un polinomio es el término de grado 0 con relación a una letra; es decir, es el término que no posee dicha letra; Por ejemplo, en el polinomio 6x 2 5x + 2, el término independiente es 2, pues 2x = 2. CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS

7 PÁGINA: 7 de 10 Polinomio ordenado Un polinomio puede ser expresado de manera ordenada de acuerdo con el exponente de una de sus variables. Si el exponente de dicha variable disminuye, se dice que el polinomio está ordenado de forma descendente. Por ejemplo, el polinomio x 5 y + 3x 3 y 5 11x 2 y 2 5xy 3 es un polinomio ordenado en forma descendente respecto a la variable x. Pero si el exponente de dicha variable aumenta, se dice que el polinomio está ordenado de forma ascendente. Por ejemplo, el polinomio 3 + xy 2 + 7x 3 y 4-13x 2 y 5 + 4x 4 y 7 es un polinomio ordenado en forma ascendente respecto a la variable y. Polinomio completo Un polinomio es completo con respecto a una letra, cuando esta contiene todos los exponentes sucesivos desde el número 0 hasta el mayor exponente, con la condición de que los coeficientes de cada término en el polinomio sean diferentes de 0. Por ejemplo, el polinomio -9x 5 + 6x 4-8x 3 + I9x 2 + 5x - 8 es un polinomio completo con respecto a x, pues todos los exponentes de esta letra son consecutivos de 0 a 5. Además, sus coeficientes son diferentes de 0 Polinomio opuesto El opuesto de un polinomio se obtiene al cambiar de signo todos los coeficientes de sus términos. Por ejemplo, el polinomio -7a 4 + 9x 2-2x + 10 es el opuesto del polinomio 7a 4-9x + 2x EJERCICIOS RESULETOS Ordenar el siguiente polinomio en forma descendente respecto a x. Luego, determinar si es un polinomio completo e identificar su término independiente 2x 3-5x + x 2-5x SOLUCION El polinomio 2x 3-5x + x 2-5x ordenado en forma descendente se expresa como -5x 4 + 2x 3 + x 2-5x + 3. Este polinomio es completo por tener todos los exponentes sucesivos de 0 a 4. Su término independiente es 3. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO El valor numérico de un polinomio, es el resultado que se obtiene al remplazar las variables de cada uno de sus términos por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas. Encontrar el valor numérico del polinomio a 2-2b 3, si a= 9, b= -2, c= 3 4 a 2-2b 3 = (9) 2-2(-2) 3 = 81-2(-8) = = 97 ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN 1. Expresar de forma algebraica. El cuadrado de un número aumentado en 1. Cinco veces un número menos 8. El número siguiente a un múltiplo de 5. Un número impar. Las tres octavas partes de un número elevado al cubo. La mitad del triple del número m. Un número elevado a una potencia par.

8 PÁGINA: 8 de 10 La suma de dos números consecutivos. La raíz cuadrada del triple de un número. 2. Relacionar cada magnitud con su expresión algebraica. 1. El perímetro de un cuadrado. a. ( ) x 2 h 2. El área de un triángulo. b. ( ) 2πr 3. La longitud de una circunferencia. c. ( ) 2x +2y 4. El volumen de un cubo. d.( ) 3x 5. El perímetro de un triángulo equilátero, e. ( ) πr 2 6. El área de un pentágono regular. f. ( ) 4x 7. El área de un círculo. g. ( ) x 3 8. El volumen de un paralelepípedo, h. ( ) 1 bh 2 de base cuadrada. 9. El perímetro de un rectángulo. i. ( ) 5 bh 2 3. Escribir una expresión algebraica para determinar el área de la figura. Marcar con las expresiones algebraicas irracionales. x 2 +y 2 2 8x m 4 n 2 mn a2 1 raíz cúbica del doble del cuadrado de x. menos tres El producto de dos números consecutivos dividido entre La raíz cuadrada de un número 4. Encerrar las expresiones algebraicas que son monomios. a. -6x 2 y 3 z 4 b. a + b c. 2,7mn 2 p d. - x 4 y 8 m 12 d. 5k 3-4k 2 + 3k 6 e. 3 5 a2 + 2x 1 3 f. 4 2 h4 k 5 5. Escribir en una tabla el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado absoluto de cada monomio. a. 0,3a 4 b 7 b. - 5 mn c. -8x 2 y 4 z 7 d. 2 3 h5 k 8 e. m 11 n 15 f. 1 5 k2 m 6. Escribir Verdadero (V) o falso (F). Justificar la respuesta a) El monomio 2 3 x 2 es o grado 3. b) mn 4 es una expresión algebraica que no tiene coeficiente numérico c) El grado absoluto de un monomio se obtiene sumando los exponentes de las variables que lo conforman. d) 3 4 a2 b 2 ces un monomio que tiene tres variables, coeficiente racional negativo y su grado absoluto es Encerrar los grupos de monomios que son homogéneos. a) 7m 4 n; 5mn 4 b) 15ab; -8b 2 ; 3a 2 c) 3x 3 y 2 z

9 PÁGINA: 9 de 10 d) 15ab; -8b 2 ; 3a 2 e) 2 k; k 2 ; 5 k 8. Hallar un monomio homogéneo y otro heterogéneo al monomio dado Monomio Homogéneo Heterogéneo - 7x 3 y 4 z 0,8a 4 b 8 c l2 d W ll Z 8 y -m 5 n 7 p 13 -ab 2 c 3 8 6,142? 3 df Calcular el área de la figura si x = 1 3 y y = 2 6x 10. Completar la tabla. 2y 3 POLINOMIO VARIABLES COEFICIENTES TERMINOS CLASES DE POLINOMIOS GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO GRADO RELATIVO 2x 2-3xy + y a2 3a 3 +a 4-2 7b 3 c 4-8b Escribir un polinomio que cumpla las condiciones dadas. a) Binomio, grado absoluto 7 y una variable. b) Grado absoluto 17, 4 términos, variables x, y, z. El grado relativo respecto a y es 1. c) Trinomio, grado absoluto 15, variables m, n, p, q, r. El grado relativo respecto a m es 3 y respecto a p es 7. d) Grado absoluto 20, 5 términos, variables a, b, c, d, f, coeficientes racionales, grado relativo respecto a b es 4 y respecto a c es un número múltiplo de 3. e) Binomio, grado absoluto 11, variables h, k, m. 12. Escribir V, si la afirmación es verdadera, o F, si es falsa. Justificar la respuesta. a) El grado absoluto de un polinomio no puede ser uno. b) El grado absoluto de un polinomio se obtiene sumando los grados relativos de las variables que la integran. c) El grado absoluto de un binomio puede ser cero. d) Si el grado relativo de una variable es tres, entonces, el grado absoluto es un número mayor que tres. e) Un polinomio de cuatro variables no puede tener grado absoluto 3. f) Si el grado absoluto de un término es uno, entonces, el polinomio tiene una sola variable. 13. Escribir un polinomio completo para cada caso a) Siete términos con coeficientes enteros y término dependiente racional. b) Término independiente entero, nueve términos y variable W c) Cuatro términos, variable n y con coeficientes enteros negativos. d) Término independiente racional negativo, dos términos y variable x. e) Cinco términos, variable y y término independiente entero positivo. 14. Encerrar los polinomios que están ordenados en forma decreciente respecto a b a. 7z 8 b + 4z 7 b 2-2z 6 b 3 - I2z 4 b z 3 b 5 b. 3b 11 w-2b 9 w 2-4b 7 w 3 - b 5 w 4 + 9b 3 d 5

10 PÁGINA: 10 de 10 c. 2 5 a4 b a4 b a3 b a3 b 2-4a 5 b 15. Escribir los términos que faltan en cada caso. Cada polinomio de tal forma que no se altere el orden ascendente o descendente del mismo. a) m m 4-8m b). -a a c) - a 8 b a 4 b 5 - (respecto a y) 16. Unir cada polinomio con su opuesto a) -x 2 + xy - x 3 y 2 -y 3 ( ) -x 2 - xy - x 3 y 2 -y 3 b) x 2 + x 3 y 2 - xy +y 3 ( ) x 2 + xy + x 3 y 2 +y 3 c) -x 2 - xy - x 3 y 2 -y 3 ( ) x 2 - xy - x 3 y 2 - y 3 d) -x 2 + xy +x 3 y 2 +y 3 ( ) x 2 - xy + x 3 y 2 +y 3 e) x 2 + xy - x 3 y 2 +y 3 ( ) -x 2 +xy - x 3 y 2 - y 3 SOCIALIZACIÓN Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas. COMPROMISO Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas determinadas por el docente. NOMBRES ELABORÓ REVISÓ APROBÓ YAIRA LIZETH RINCON RODRIGUEZ AURA ALEXANDRA URIBE CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico DD 07 MM 04 AAAA DD MM AAAA