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1 PÁGINA: 1 de 16 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado: OCTAVO Periodo: TERCERO Duración: 20 horas guía 1 Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada INDICADORE DE DESEMPEÑO: Resuelve abreviadamente productos entre polinomios Construye el triángulo de pascal y lo utiliza para hallar potencias Resuelve cocientes por simple inspección EJE(S) TEMÁTICO(S): PRODUCTOS NOTABLES MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA Explota tus virtudes y no remarques tus defectos. Valórate! Lee atentamente la guía, Sigue las instrucciones del docente, Resuelve las actividades en el cuaderno, Aclara tus dudas. ORIENTACIONES EXPLORACIÓN El Acertijo de Einstein ERES PARTE DEL 2% MAS INTELIGENTE DEL MUNDO? Resuelve el acertijo y averígualo! No hay trucos, es pura lógica. Buena suerte y no te rindas 1. En una calle hay cinco casas, pintadas de diferentes colores 2. En cada casa vive una persona de diferente nacionalidad 3. Los dueños de éstas cinco casas beben distintas bebidas, fuman distintas marcas de cigarros y tienen una mascota diferente La pregunta es: Quién es el dueño del pez? Pistas: 1. El británico vive en una casa roja 2. El sueco tiene un perro de mascota 3. El danés toma té 4. La casa verde está a la izquierda de la casa blanca 5. El dueño de la casa verde toma café 6. La persona que fuma Pall Mall cría pájaros 7. El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill 8. El hombre que vive en la casa del centro toma leche 9. El noruego vive en la primera casa 10. El hombre que fuma Blends vive en seguida del que tiene gatos 11. El hombre que tiene caballos vive en seguida del hombre que fuma Dunhill 12. El hombre que fuma Blue Master bebe cerveza 13. El alemán fuma Prince 14. El noruego vive en seguida de la casa azul 15. El hombre que fuma Blends tiene un vecino que bebe agua

2 PÁGINA: 2 de 16 CONCEPTUALIZACION Los productos notables resultan de generalizar ciertos casos de multiplicación entre polinomios que presentan regularidades. Permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una multiplicación. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS El área de un cuadrado es una expresión que relaciona valores elevados al cuadrado. Esto es, A = l 2 donde l es la medida del lado del cuadrado. Para hallar el área de un cuadrado cuyo lado está determinado por la expresión a + b, es necesario efectuar el producto (a + b) 2. Así, al realizar la multiplicación entre polinomios, se tiene que (a +b) 2 = (a +b) (a +b) = a(a +b) + b (a +b) Propiedad distributiva =a 2 + ab+ ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Se reducen los términos iguales En la figura 1 se muestra la representación geométrica del producto notable (a + b) 2. Ejercicio resuelto Resolver las siguientes potencias El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término A. (5x 3 ) 2 B. (-9m 3 n 5 ) 2 C. (5x n y 2n z 2n+1 ) 2 SOLUCION Se efectúa cada potencia utilizando las propiedades de la potenciación: a. (5x 3 ) 2 = (5) 2 (x 3 ) 2-25x 6 b. (-9m 3 n 5 ) 2 = (-9) 2 (m 3 ) 2 (n 5 ) 2 = 81m 6 n 10 c. 3 4 x4 y 2 = 9 16 x8 y 2 d. (5x n y 2n z 2n + l ) 2 = 25x 2n y 4n z 4n+2 Resolver los siguientes productos notables A. (x + y) 2 B. (5a + 7b) 2 C. (6x 2 y 3 + 1) 2 D. 3 2 m n4 2 E. (x r + 7y 2s ) 2 SOLUCION Aplicando el producto notable para el cuadrado de la suma de dos términos, se tiene: A. (x + y ) = (x) (x)(y) + (y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

3 PÁGINA: 3 de 16 B. 5a + 7b) 2 = (5a) 2 + 2(5a)(7b) + (7b) 2 Potencia de una producto = 25a ab + 49b 2 C. (6x 2 y 3 + 1) 2 = (6x 2 y 3 ) 2 + 2(6x 2 y 3 )(1) + (l) 2 D. 3 2 m n4 = m m2 5 4 n n4 = 9 4 m m2 n n8 = E. (x r + 7y 2s ) 2 = (x r ) 2 + 2(x r )(7y 2s ) + (7y 2s ) 2 = x 2r + 14x r y 2s + 49y 4s Cuadrado de la diferencia de dos números El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término Ejercicio resuelto RESOLVER LOS SIGUIENTES PRODUCTOS NOTABLES A. (8m 3 n 2-9) 2 B. 1 4 x3 6 7 y5 2 C. 3a 2x 11b 3y 2 SOLUCION A. 8m 3 n = 8m 3 n m 3 n = 64m 6 n m 3 n B. 1 4 x3 6 7 y5 2 = = x x3 6 7 y y x6 3 7 x3 y y10 C. 3a 2x 11b 3y 2 = 3a 2x 2 2 3a 2x 11b 3y + 11b 3y 2 SOLUCION El área de la figura 4 se determina por el cuadrado de su lado. Esto es, A = (9,3x 3-2y) 2 = (9,3x 3 ) 2-2(9,3x 3 )(2y) + (2y) 2 = 86,49x 6-37,2x 3 y + 4y 2 Luego, la expresión algebraica que determina el área del cuadrado es 86,49x 6-37,2x 3 y + 4y 2

4 PÁGINA: 4 de 16 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES Para hallar el área de un rectángulo cuya base y altura están determinadas poi>la expresión a - b y a + b, respectivamente, es necesario efectuar el producto (a + b)(a - b). Así, al realizar la multiplicación entre polinomios, se tiene: (a + b)(a -b)= a(a - b) + b{a - b) = a 2 - ab + ab - b 2 = a 2 - b 2 Ejercicio resuelto Resolver los siguientes productos notables a. (x + y)(x - y) b. (8x 2-11y 3 )(8x y 3 ) c. 7 9 a5 b a5 b 2 3 SOLUCION a. (x + y)(x -y)= (x) 2 (y) 2 = x 2 y 2 b. (8x 2-11y 3 )(8x y 3 ) = (8x 2 ) 2 - (11y 3 ) 2 = 64x 4-121y 6 c. 7 9 a5 b a5 b 2 3 = 7 9 a5 b = a10 b Producto de expresiones de la forma (x + a)(x + b) Para hallar el área de un rectángulo cuya base y altura están determinadas por la expresión x+a y x+b, respectivamente, es necesario efectuar el producto (x + a)(x + b). Así, al realizar la multiplicación entre polinomios, se tiene, (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b) = x 2 + bx + ax + ab Propiedad distributiva. = x 2 + ax + bx + ab Propiedad conmutativa = x 2 + (a + b)x + ab Propiedad asociativa. En la figura se muestra la representación geométrica del producto notable (x + a)(x + b). El producto (x + a)(x + b) = x 2 + Sx + P, donde S representa la suma de a y b, y P representa su producto. Esto es, (x + a)(x + b) = x 2 + Sx + P S = a + b P = a - b

5 PÁGINA: 5 de 16 Ejercicio resuelto Resolver los siguientes productos notables a. (x + 3)(x + 5) b. (m + 8)(m - 3) c. (a - 9)(a + 7) d. (x 2 +11)(x 2 15) e. a a 10 3 SOLUCION Al aplicar el producto notable para productos de la forma (x + a)(x + b),se tiene: a. (x + 3)(x + 5) = x 2 + (3 + 5) x + (3)(5) = x 2 + 8x + 15 b. (m + 8)(m - 3) = m 2 + (8-3)m + (8)(-3) = m 2 + 5m 24 c. (a - 9)(a + 7) = a 2 + (-9 + 7)a + (-9)(7) = a 2 2a 63 d. (x )(x 2-15) = (x 2 ) 2 + (11-15)x 2 + (11)(-15) = x 4-4x e. a a 10 3 = a = a Cubo de un binomio a 4 Cubo de la suma de dos términos a El volumen de un cubo es una expresión que relaciona valores elevados al cubo. Esto es, 10 3 V = l 3 donde l es la medida de la arista del cubo. Para hallar el volumen de un cubo cuyo lado está determinado por la expresión a + b, es necesario efectuar el producto (a + b) 3. Así, (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) Cuadrado de una suma = a 2 (a + b) + 2ab(a + b) + b 2 (a + b) Propiedad distributiva = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 se reducen los términos semejantes En la figura 10 se muestra la representación geométrica del producto notable (a + b) 3. El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

6 PÁGINA: 6 de 16 Resolver los siguientes productos notables a. (x + y) 3 b. (4a - 5b) 3 c. (2x 3 +3y 2 ) 3 SOLUCION a. (x + y) 3 = (x) 3 + 3(x) 2 (y) + 3(x)(y) 2 + (y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 b. (4a - 5b) 3 = (4a) 3-3(4a) 2 (5b) + 3(4a)(5b) 2 - (5b) 3 = 64a 3-3(16a 2 )(5fo) + 3(4a)(25Z? 2 ) 125b 3 = 64a 3-240a 2 b + 300ab 2 125b 3 c. (2x 3 + 3y 2 ) 3 = (2x 3 ) 3 + 3(2x 3 ) 2 (3y 2 ) + 3(2x 3 )(3y 2 ) 2 + (3y 2 ) 3 = 8x 9 + 3(4x 6 )(3y 2 ) + 3(2x 3 )(9y 4 ) + 27y 6 = 8x x e y x 3 y y 6 0 Matemático, filósofo y físico francés. Es considerado una de las mentes más privilegiadas de la historia intelectual de Occidente. Desde muy temprana edad, Pascal comenzó a realizar sus primeras investigaciones en geometría. Formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal, que luego describió en su ensayo sobre secciones cónicas. En 1642, inventó la primera calculadora mecánica. Dicho aparato llamado PascaLina, se asemejaba a una calculadora mecánica de los años cuarenta. Junto con el matemático francés Pierre de Fermat, Pascal formuló la teoría matemática de la probabilidad. Pascal murió a los 39 años, víctima de un cáncer gástrico, dejó grandes aportes a la matemática, la física y la filosofía. Se pueden analizar algunas características al desarrollar la potencia de un binomio de la forma (x + y) n, a partir de la expresión (x + y) 5 para n = 5.

7 PÁGINA: 7 de 16 El desarrollo que se obtiene sigue un patrón determinado. Por ejemplo, los exponentes de x disminuyen de 1 en 1 a partir del primer término en el que el exponente es 5. Los exponentes de y aumentan de 1 en 1 a partir del segundo término en el que el exponente es 1. Por último, los coeficientes numéricos de cada término están dados por los números del triángulo de Pascal donde el segundo término de la fila es 5. En la siguiente tabla se muestra el desarrollo de las cinco primeras potencias del binomio x + y, teniendo en cuenta los coeficientes dados en el triángulo de Pascal: Ejercicio resuelto Ejemplo (a+b) 6 Para hallar los factores literales de cada término, se copian en forma descendente las potencias de a a partir de a 6, y en orden ascendente las potencias de b hasta b 6. Así, los factores literales estarán dados por las expresiones. Como el binomio está elevado a la 6, se ubica en el triángulo de Pascal en la fila donde el segundo término es 6. Esta fila tiene los números 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 que son los coeficientes de las partes literales halladas. Luego, a. (2x 3y) 5 (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 a 6, a 5 b, a 4 b 2, a 3 b 3, a 2 b 4, ab 5, b 6 = [2x) 5 - (2x) 4 (3y) + 10(2x) 3 (3y) 2-10(2x) 2 (3y) 3 + 5{2x)(3y) 4 - (3y) 5 = 32x 5-5(16x 4 )(3y) + 10(8x 3 )(9y 2 ) - 10(4x 2 )(27y 3 ) + 5(2x)(81y 4 ) 243y 5 = 32x 5-240x 4 y + 720x 3 y 2 - l.080x 2 y 3 + 8l0xy 4 243y 5 Observe que los exponentes de 2x disminuyen de 1 en 1 (5, 4, 3, 2, l), mientras que los de 3y aumentan de 1 en 1 (1, 2,3,4, 5). Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, las cuales presentan ciertas regularidades que permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una división. COCIENTE DE LA FORMA X2 a 2 x±a COCIENTES NOTABLES Al analizar el producto notable (x + á)(x a) = x 2 - a 2, se puede concluir que la expresión x 2 - a 2 es divisible exactamente entre los binomios x + a y x - a. Es decir, se verifican los siguientes cocientes en los cuales la división es exacta X 2 a 2 x:a y X2 a 2 xa

8 PÁGINA: 8 de 16 Cociente de la forma : Al efectuar la división de x 2 a 2 entre x + a, se tiene, 2 2 Luego se cumple que : = La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la suma de dichos términos, es igual a la diferencia de los términos. Cociente de la forma ± ± Al igual que el cociente anterior, en este se distinguen dos casos en los cuales la división es exacta. : : Cociente de la forma : : Cociente de la forma xn ±a n x±a En este cociente se distinguen tres casos Cociente de la forma xn a n xa x n a n xa, xn a n x:a, xn :a n x:a La diferencia de potencias pares o impares iguales, siempre es divisible entre la diferencia de sus El bases. binomio x n - a n siempre es divisible entre x - a, para valores pares o impares de n. Cociente de la forma xn a n x:a La diferencia de potencias pares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases. El binomio x n - a n siempre es divisible entre x - y, para valores pares de n. Cociente de la forma x n :a n x:a El binomio La suma x n de + potencias a n siempre impares divisible iguales, entre siempre x + a, es para divisible valores entre impares la suma de n de sus bases. Se dice que una potencia es par, cuando el exponente que acompaña a la base es un número par. De igual forma, se dice que una potencia es impar, cuando el exponente que acompaña a la base es un número impar.

9 PÁGINA: 9 de 16 Para hallar estos cocientes se tiene en cuenta: 1. El primer término del cociente se obtiene de la división del primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 2. El último término del cociente se obtiene de la división del segundo término del dividendo entre el segundo término del divisor. 3. A medida que el exponente de x disminuye de 1 en 1, el exponente de a aumenta de 1 en Si el divisor es x - a todos los signos del cociente son positivos, y si el divisor es x + a, los signos del cociente se alternan comenzando por el signo más (+) Resolver los siguientes cocientes notables a. SOLUCION b. : c. 2 : 2 : a. Se divide 5 entre m para obtener el primer término del cociente. Así 5 4 = Se divide n 5 entre n para obtener el último término del cociente. Así, 5 = 4 Para los otros términos, el exponente de m disminuye y el exponente de n aumenta, m 3 n, m 2 n 2, mn 3. Como el divisor es una diferencia, todos los signos del cociente son positivos. En conclusión, b. c. = m4 + m 3 n + m 2 n 2 + mn 3 + n 4 = : 2 : 2 = : a6 --a 5 b + a 4 b 2 - a 3 b 3 + a 2 b 4 - ab 5 + b 6 DIVISION DE POLINOMIOS Ejercicio resuelto Dividir x 4 + 5x 3 13x + 34 Entre x + 3 Realizar la división del ejercicio anterior utilizando la división sintética. Realizar la división del ejercicio anterior utilizando la división sintética.

10 PÁGINA: 10 de 16 Se escriben los coeficientes del polinomio dividendo en su forma ordenada. Como el polinomio no presenta término cuya parte literal es x 2, se escribe 0 como coeficiente Al lado de dichos coeficientes, se escribe el término independiente del binomio divisor x + 3, con signo contrario (-3). Se baja el primer coeficiente del dividendo (1) y se multiplica por el valor presente e«i el divisor (-3). El producto.(- 3), se escribe debajo del segundo coeficiente del dividendo (5), y se realiza la respectiva operación El resultado de la suma o resta (2) se multiplica nuevamente por el valor presente en el divisor (-3). El producto (- 6), se escribe debajo del tercer coeficiente del dividendo (0), y se realiza la respectiva suma o resta. Se continúa el procesó hasta llegar al término independiente del polinomio dividendo. Los cuatro primeros números de la parte inferior son los coeficientes del polinomio cociente, que es un grado menor al polinomio dividendo. El último resultado (19) es el residuo de la división. DIVISION SINETICA O REGLA DE RUFFINI la división sintética de Ruffini, es un algoritmo que permite hallar el cociente de la división entre un polinomio en la variable x y un binomio de la forma x-a.

11 PÁGINA: 11 de 16 TEOREMA DEL RESIDUO Para calcular el residuo de una división entre expresiones algebraicas, ha sido necesario hasta el momento, efectuar la respectiva división, ya sea por el algoritmo utilizado en la división de polinomios o mediante la regla de Ruffini. Otra forma para hallar el residuo de una división donde el dividendo es un polinomio de la forma P(x) y el dividendo, un binomio de la forma x a, es utilizando el teorema del residuo, el cual se enuncia a continuación. El residuo de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x - a se obtiene al sustituir x por a en P(x). Es decir, r = P(a). Determinar el residuo de la división (3x 4 14x X + 28) ( X + 2) mediante el algoritmo de la división, la regla de Ruffini y el teorema del residuo. SOLUCION Luego, el residuo de la división (3x 4 14x x + 28) (x + 2) es -50. ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN CUADRADO DE UN BINOMIO. Completa la siguiente tabla: a b a+b (a + b)² a² 2 a b b² a² + b² a² + 2ab + b²

12 PÁGINA: 12 de Construye ahora la siguiente tabla: a b a-b (a - b)² a² 2 a b b² a² + b² a² - 2ab + b² Resuelve los siguientes cuadrados de binomios: 1. (x + 5)² 5. (x - 2)² 2. (x - 7)² 3. (a + 1)² 4. (m + 21)² 6.(x - 18)² 7. (p + 5q)² 8. (x - 3y)² 9. (2x + 6)² PRODUCTO DE LASUMA IOR DIFERENCIA DE DOS EXPRESIONES Resuelve los siguientes productos: 9. (x 3 x 2 )(x 3 + x 2 ) = 1. (x + y)(x y) = 2. (m n)(m + n) = 3. (a x)(x + a) = 4. (x 2 + y 2 )(x 2 y 2 ) = 5. (2x 1)(2x + 1) = 6. (n 1)(n + 1) = 1. (y 2 3y)(y 2 + 3y) = 2. (1 + 8xy)(8xy 1) = 3. (6x 2 m 2 x 2 )(6x 2 + m 2 x 2 ) = 4. (a m + b n )(a m b n ) = 5. (3x n 5y m )(3x n + 5y m ) = 6. (a x+1 2b x-1 )(a x+1 +2b x-1 ) = 7. (1 3ax)(3ax + 1) = 8. (2m + 9)(2m 9) =

13 PÁGINA: 13 de 16 EXPRESIONES DE LA FORMA (x + a)(x + b) CUBO DE UN BINOMIO

14 PÁGINA: 14 de 16 TRIANGULO DE PASCAL COCIENTE DE LA FORMA ± ociente de la forma ± ±

15 PÁGINA: 15 de 16 Cociente de la forma ± ± DIVISION SINETICA O REGLA DE RUFFINI

16 PÁGINA: 16 de 16 TEOREMA DEL RESIDUO SOCIALIZACIÓN Resolver algunos ejercicios en el tablero para aclarar las dudas presentadas. COMPROMISO Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas determinadas por el docente. NOMBRES ELABORÓ REVISÓ APROBÓ YAIRA LIZETH RINCON RODRIGUEZ ALEXANDRA URIBE ROZO CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico