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Transcripción

1 Guía Matemática NOTACIÓN ALGEBRAICA profesor: Nicolás Melgarejo.cl

2 1. De la aritmética al álgebra El concepto de los números aparece por primera vez en los pueblos primitivos entre el y antes de Cristo, como necesidad básica de contar animales, medir distancias y tiempo. Pasaron muchos siglos para que el ser humano llegara a una idea más abstracta y general de número. En la aritmética las cantidades son representadas por símbolos llamados números, los que significan cantidades concretas o fijas. Por ejemplo, al decir que el día tiene 24 horas, el veinticuatro está denotando un valor único. En el álgebra lo que se busca es generalizar los valores, los símbolos que se usan para estas cantidades son letras, las que representan a todos los valores. Así, cuando decimos que un cuadrado tiene lado a, éste puede ser 1, 1 o 4 5 centímetros, pero debemos tener en cuenta que al asignar una letra a una variable en un problema concreto, no puede representar al mismo tiempo valores diferentes. 2. Notación algebraica Álgebra es la rama de la ciencia matemática que estudia la cantidad del modo más general posible. Podemos entenderla como la generalización de la aritmética. En el álgebra los símbolos básicos son las letras y números, además están los signos que representan operaciones o relaciones entre ellos Números Son usados para representar las cantidades conocidas y determinadas Letras Son empleadas para expresar todo tipo de cantidades, tanto conocidas como desconocidas. Pueden ser del alfabeto latino, griego u otro y se diferencia entre mayúsculas y minúsculas, es decir, la letra b es diferente a B Cantidad conocida Generalmente se usan las primeras letras del alfabeto latino a, b, c, Cantidad desconocida Hay una tendencia a designar con las últimas letras del alfabeto a los valores desconocidos: x, y y z. Debe quedar claro que éstas son tendencias, pero no determinan un uso obligado, sólo ayudan a una mejor lectura y orden al transcribir ideas del lenguaje cotidiano al algebraico. 2

3 3. Expresiones algebraicas También conocidas como fórmulas algebraicas 1, son representaciones de reglas, principios o propiedades de modo general. Por ejemplo, en geometría podemos decir que el perímetro de un rectángulo de lados a y b es P = 2a + 2b, o que el área de un triángulo equilátero de lado c es A = 3 4 c2. Las expresiones son válidas independiente de las medidas de las figuras, aunque siempre debemos considerar los contextos para no llegar a resultados absurdos. Mira! Si en algún caso los lados del rectángulo son 1 2 y 4 centímetros, entonces su perímetro será: P = 2 1 [cm] + 2 4[cm] = = 9[cm] 2 Una expresión muy famosa es la expuesta por Albert Einstein, donde relaciona la energía E, la masa m y la velocidad de la luz c en una sola expresión algebraica: E = mc 2. Cuando las expresiones algebraicas están contextualizadas es importante considerar las limitaciones físicas, por ejemplo, m no puede ser negativa porque representa la masa, c es una constante y E tampoco puede ser negativa Coeficiente A cualquiera de los factores de una multiplicación se le denomina coeficiente del otro factor. Por ejemplo, en el producto 5c se dice que 5 es coeficiente de c, lo que significa que el término c está sumado 5 veces, es decir, 5c = c + c + c + c + c. Esta relación la podemos considerar al revés y decir que c es coeficiente de 5 y 5c = c veces, en tal caso c es coeficiente de 5. Del ejemplo podemos diferenciar dos tipos de coeficientes: literal y numérico Positivo o negativo? El término literal a es positivo o negativo? La respuesta de la mayoría de las personas es que a > 0. Como dijimos anteriormente, lo que busca el álgebra es generalizar o abstraer y al decir que a es positivo, estamos restringiendo sus valores a priori. Si no hay contexto o limitaciones dadas por el mismo problema no podemos asegurar que a sea positivo, negativo o cero, es cualquier valor. 4. Relación entre lenguaje algebraico y lenguaje natural El álgebra es una herramienta muy potente para resolver problemas. Su uso escapa a la misma ciencia de donde nace, es así como vemos la matemática aplicada en las ciencias naturales, la ingeniería e incluso las ciencias sociales. Esta casi universalidad de su lenguaje se debe a su base en la lógica y es la característica que la hace confiable y transferible. Para lograr resolver un problema desde el punto de vista generalista, debemos reconocer las relaciones de las variables del problema concreto y traducirlas al álgebra. 1 Hemos decidido usar sólo Expresiones algebraicas dado que fórmula incentiva una connotación errónea sobre la matemática y su supuesto aprendizaje memorístico. 3

4 4.1. Resolver problemas desde la mirada algebraica La mayoría de las veces que queramos resolver un problema con álgebra tendremos que plantear ecuaciones. Esta acción la podemos entender cómo traducir el lenguaje cotidiano al algebraico. Ejemplo Las edades de Pablo y Carlos suman 42. Si la edad de Pablo es 6 veces la edad de Carlos, qué edad tiene cada uno? Solución: Para resolverlo desde el álgebra llamemos x a la edad de Carlos, entonces tendremos que: La edad de Carlos es x La edad de Pablo es 6x Como la suma es 42: x + 6x = 42 7x = 42 x = 6 Entonces la edad de Carlos es 6 años y la de Pablo 36 años Relación entre lenguaje cotidiano y lenguaje algebraico Presentamos una serie de relaciones entre los dos lenguajes. Lenguaje cotidiano Lenguaje algebraico Sumar, aumentar, agregar, añadir + Restar, disminuir, diferencia, exceso Distancia entre dos números x y Por, factor, de, del, veces ó Dividido, razón, partido, repartido, ó / ó : es a Un número cualquiera x Antecesor de un número x 1 Sucesor de un número x + 1 Múltiplo de un número n x con n Z Doble de un número 2y Triple de un número 3z Cuádruple de un número 4x Cuadrado de un número y 2 Cubo de un número z 3 x 2 ó 1 2 x Mitad de un número, un medio de, el 50 % de Tercera parte, un tercio de un número Semi suma Semi diferencia 4 x 3 ó 1 3 x x + y 2 x y 2

5 Otras frases de la aritmética que podemos generalizar son Lenguaje cotidiano Inverso aditivo de un número Inverso multiplicativo de un número Número par Número impar Número de 3 cifras Lenguaje algebraico x 1 x con x 0 2k con k Z 2k + 1 ó 2k 1 con k Z 100a+10b+c con a, b, c dígitos 5. Nomenclatura algebraica Se llama expresión algebraica a la representación de un símbolo algebraico que tenga una o más operaciones algebraicas. Por ejemplo a, a 2, (a + b)2 a + b, a 2 b 2. Dentro de las expresiones algebraicas podemos identificar las siguientes: 5.1. Término Expresión algebraica compuesta por uno o varios símbolos, pero que no están separados por suma (+) ni resta ( ). Algunos ejemplos de términos son x, 2x, 3x 2 y, 12ab c Los elementos de un término son cuatro: el coeficiente, el signo, la parte literal y el grado. Cabe destacar que podemos identificar dos tipos de grados de un término: absoluto y con relación a una letra Grado absoluto Es la suma de los exponentes de los factores literales de un término. Por ejemplo x y 2y son de primer grado, mientras que 2xy y a 2 son de segundo grado Grado con respecto a una letra Es el exponente de un factor literal en particular. Si el término fuera a 2 bz 3, el grado respecto de a es 2, respecto de b es de primer grado y respecto de z es de tercer grado. Cuando un término no tiene signo, siempre se asume que le antecede un signo +. Esto quiere decir que el signo + es tácito, al igual que el exponente 1 y el índice de una raíz cuadrada. 5

6 Ejercicios 1 Obtener el grado absoluto de los siguientes términos 1. 3b 2. 12xy ab 2 c x 5 az m 2 r 3 s 7 6. x 11 y 12 z 13 Desafío 1 Escribir un término de dos factores literales, de grado 3 en relación a x y de quinto grado absoluto. Respuesta 5.2. Clasificación de expresiones algebraicas Las expresiones algebraicas pueden clasificarse según el número de términos que lo componen. Monomio es una expresión algebraica que se compone de sólo un término. Por ejemplo 3x y 1 2 mn2 Binomio es una expresión algebraica que se compone de dos términos. Por ejemplo x + y y 1 2 mn2 + p Trinomio es una expresión algebraica que se compone de tres términos. Por ejemplo 3x mn2 + p Polinomio es una expresión algebraica que se compone de 2 o más términos. Por lo que un binomio y trinomio son parte de esta clasificación Orden de un polinomio Un punto importante es el orden sugerido para escribir un polinomio, el que puede ser creciente y decreciente respecto a un factor literal. Por ejemplo, si queremos ordenar el polinomio 3x 3 + 5x 5 2x + x 2 de forma decreciente, ordenamos los términos según su grado: 5x 5 3x 3 + x 2 2x Ahora si lo queremos ordenar de forma creciente: 2x + x 2 3x 2 + 5x 5 Si la expresión algebraica contiene más de una parte literal debemos fijar el orden respecto de uno de ellos. Por ejemplo, si ordenamos el término 6a 3 b 5a 6 + 8a 2 b 5 b 7 respecto de a de manera decreciente obtenemos: 5a 6 6a 3 b + 8a 2 b 5 b 7 Si ahora lo que queremos es ordenarlo de manera decreciente respecto de b se obtiene: 8a 2 b 5 6a 3 b 5a 6 b 7 El orden en los polinomios no es un contenido a evaluar en la PSU, pero nos ayuda a ser ordenados a la hora de operar con expresiones algebraicas. 6

7 5.4. Términos semejantes Se dice que dos o más términos son semejantes si tienen la misma parte literal, esto quiere decir que son la misma letra y están elevadas al mismo exponente. Algunos ejemplos de términos semejantes son a y 1 2 a; 10b2 y 3b 2 ; 5x 2 z y x 2 z; t x 1 y 3t x 1 Debemos reconocer que no basta con que tengan iguales letras, por ejemplo 4x 2 y y 2xy 2 no son términos semejantes, ya que tienen diferentes potencias. Ejemplo Identificar en el polinomio 0, 4x 2 y xy2 0, 6y x2 y 0, 2xy y3 6 cuáles son términos semejantes. Solución: Los términos sin parte literal como 31 y 6 son términos semejantes. 0, 6y 3 y 1 4 y3 son semejantes porque tienen la misma parte literal y 3, elevada al mismo exponente. 0, 4x 2 y y 2 5 x2 y son semejantes porque comparten en común x 2 y 3 8 xy2 y 0, 2xy 2 son términos semejantes porque tienen en común xy 2 7

8 Desafíos resueltos Desafío I: Uno de los términos literales debe ser x en grado 3, es decir, x 3. El otro puede ser cualquiera, por ejemplo y. Como el término debe ser de quinto grado absoluto, el segundo factor literal debe ser de segundo grado respecto de y, es decir y 2. El término finalmente es x 3 y 2 Volver Bibliografía [1 ] Álgebra, Edición 1983, CODICE S.A. Madrid (1983) Dr. Aurelio Baldor. [2 ] Apuntes para la preparación de la PSU Matemática, Segunda Edición, 2009, Pamela Paredes Núñez, Manuel Ramírez. 8