Prof. Sergio SIGNORELLI

Transcripción

1 I LOGARITMOS Otra de las funciones importantes de la matemática es la función logarítmica, la cual se expresa de la siguiente forma: y = log b a En principio definiremos a logaritmo de un número: LOGARITMO DE UN NÚMERO EN UNA BASE DETERMINADA ES IGUAL A OTRO NÚMERO AL CUAL DEBEMOS ELEVAR LA BASE PARA QUE DE CÓMO RESULTADO EL PRIMER NÚMERO. Traduzcamos lo anterior en símbolos: El log b a = c b c = a Se lee: EL LOGARITMO EN BASE b DE UN NUMERO a ES IGUAL A OTRO NUMERO C SI Y SOLO SI LA BASE b ELEVADA AL NUMERO c DA COMO RESULTADO EL NUMERO a Como es fácil suponer, la logaritmación es una propiedad inversa de la potencia, por lo que tiene mucho que ver con ella. Por ejemplo: log 3 9 = = 9 log 2 1/2 = = 1/2 log 4 1 = = 1 Por lo tanto, debemos tener muy en claro todas las propiedades que involucran a la potencia. El logaritmo es muy importante pues vino a solucionar situaciones con la que sigue: 3 x = 51 Cómo hacemos para despejar a la x? Si la pasamos al otro término lo hace como raíz lo que no nos soluciona mucho que digamos, por ello, cuando veamos mas adelante las propiedades de los logaritmos veremos que solucionaron este problema. I

2 II Existen dos logaritmos con bases conocidas que figuran en la calculadora: log logaritmo decimal es decir que la base es 10 (obsérvese que en la calculadora encima de esta tecla se encuentra 10 x ) ln logaritmo natural cuya base es el numero e que es igual a (obsérvese el mismo caso anterior) Entonces, conocida la definición del logaritmo, enunciaremos todas sus propiedades las que son muy importante para resolver cualquier situación. 1- LOGARITMO DE UN PRODUCTO EL LOGARITMO DE UN PRODUCTO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS LOGARITMOS DE LOS FACTORES QUE INTERVIENEN EN ESE PRODUCTO. log b (a. c) = log b a + log b c log 2 (6. 12) = log log LOGARITMO DE UN COCIENTE EL LOGARITMO DE UN COCIENTE ES IGUAL A LA RESTA DEL LOGARITMO DEL DIVIDENDO CON EL LOGARITMO DEL DIVISOR. log b (a : c) = log b a log b c log 3 (15 : 4) = log 3 15 log 3 4 II

3 III 3- LOGARITMO DE UNA POTENCIA EL LOGARITMO DE UNA POTENCIA ES IGUAL AL EXPONENTE MULTIPLICADO POR EL LOGARITMO DE LA BASE DE LA POTENCIA. log b a x = x. log b a log = 3. log 2 4 Esta propiedad es la que permite salvar la acción mencionada anteriormente pues hace que el exponente baje y pueda calcularse. Veamos el ejemplo dado y utilicemos el logaritmo decimal de la calculadora: 3 x = 51 Apliquemos logaritmo decimal a ambos términos: log 3 x = log 51 utilizamos ahora la propiedad vista anteriormente: despejamos x y calculamos: si verificamos tendremos: x. log3 = log 51 x = log 51 : log 3 x= 1, : 0, x= 3, , = 51 Por supuesto que no calcularemos con todos estos decimales, pero lo importante es que solucionamos el inconveniente de tener la x como potencia o como raíz. III

4 IV 4- LOGARITMO DE UNA RAÍZ EL LOGARITMO DE UNA RAÍZ ES IGUAL A LA MULTIPLICACIÓN DEL INVERSO DEL ÍNDICE POR EL LOGARITMO DEL RADICANDO. En realidad es un caso similar al anterior pues se aplica la propiedad de la potencia en lo que respecta a las potencias con exponente fraccionario. x log b a = 1. log b a x 3 log 2 5 = 1. log CAMBIO DE BASE CUANDO TENEMOS DIFERENTES BASES EN LOS LOGARITMOS O BIEN CUANDO DESEAMOS CALCULAR UN LOGARITMO DE UNA BASE DETERMINADA PODEMOS APLICAR ESTA PROPIEDAD QUE SE EXPRESA DE LA SIGUIENTE FORMA: log b a = log c a : log c b log 3 5 = log 5 : log 3 en nuestro ejemplo utilizamos como nueva base la del logaritmo decimal, por lo tanto podemos resolver en forma similar a los casos vistos: log 3 5 = log 5 : log 3 = 0, , log 3 5 = 1, IV

5 V por lo tanto: 3 1, = 5 6- DEFINICION ES LA QUE APLICAMOS AL INICIO DEL TEMA log b a = c b c = a IMPORTANTE TODAS ESTAS PROPIEDADES SON RECIPROCAS ES DECIR QUE SE CUMPLEN TANTO HACIA UN LADO COMO HACIA EL OTRO. Por ejemplo, si tenemos: log 2 6 log 2 11 = log 2 (6/11) log log 3 4 = log 3 (10. 4) 3. log 2 6 = log ½. log 5 14 = log 5 14 APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES Sea por ejemplo la expresión donde queremos despejar la m: y = a. k m g si aplicamos logaritmo a ambos lados de la igualdad tendremos: (aplicamos logaritmo decimal solo por comodidad ya que es el que tenemos en la calculadora ) log y = log a. k m g V

6 VI entonces, si aplicamos sucesivamente las propiedades vistas anteriormente tenemos: primero el logaritmo del cociente log y = log a. k m g log y = log a. k m log g luego el logaritmo del producto que nos ha quedado log y = log a + log k m log g y por último el logaritmo de una potencia log y = log a + m. log k log g quedando todo listo para poder despejar la m solita y sola. log y log a + log g = m log k Por el contrario, si tenemos la expresión: log y = 2. log c - log h + t. log g animarse a construir la expresión original VI