Simplificando los cuadrados con las raíces y sumando términos semejantes y elevando al cuadrado nuevamente:

Transcripción

1 . Resolver la siguiente ecuación irracional Solución: llevando el término con signo negativo al segundo miemro de la ecuación y elevando al cuadrado: Simplificando los cuadrados con las raíces y sumando términos semejantes y elevando al cuadrado nuevamente: Sumando términos semejantes y resolviendo la ecuación cuadrática: k k. Qué valor dee tomar k para que una de las raíces de la ecuación, eceda a la otra en k dos unidades? Solución: linealizando la ecuación y aplicando el teorema de Viete: k k k k k k k k 0 0 k k k k Recordemos que por el teorema de Viete tenemos que:, k k Ahora la tercera ecuación saldrá de la condición: una raíz eceda a la otra en dos unidades: De donde tenemos un sistema lineal de tres por tres sumando y restando la primera y la tercera ecuación tenemos las siguientes relaciones: k k k k k k... A k k k k k k... B Ahora reemplazando A y B en la segunda ecuación: k k k k k k k k k k k k k k k k 6k 9 k 8k k k k 9 0 k k k y y. Resolver el siguiente sistema: y Solución: ordenando de manera conveniente el sistema y elevando al cuadrado la segunda ecuación: y y y y y y y 6

2 Ahora restando la segunda menos la primera, tenemos la siguiente relación: y y... A Ahora reemplazado A en la da ecuación del sistema inicial: 0 0 y Ahora reemplazando cada uno de los valores de en A, tenemos: y. Resolver para la siguiente ecuación: log log log 6 Solución: llevando todo en ase y luego aplicando la propiedad de ases y argumentos iguales: log log log log log log log log log 6 log log log log log log Ahora sacando antilogaritmos, hallamos el valor de : log y log y log. Resolver el siguiente sistema: log log y 9 0 Solución: ordenando de manera conveniente el sistema aplicado la propiedad de resta de logaritmos en la primera y llevando a una sola ase la segunda, tenemos: y y log y log y log log log log log y y log log y 9 log log y log log y Amas igualdades se dan siempre y cuando se cumpla que: y y y 6y 0 y y y y y 0 0 Reemplazando la segunda en la primera: y 6y 0 y y 0 y Nota: si reemplazamos amos pares de soluciones en el sistema inicial tenemos que ninguno satisface el sistema, entonces concluimos que el sistema no tiene soluciones en los reales: 6. Resolver la ecuación eponencial: 9 0 Solución: llevando todo en ase tres y operando de manera conveniente la ecuación: Ahora empleando la propiedad del eponente cero: 0 0

3 y 0 7. Resolver el siguiente sistema: y y Solución: sumando amas ecuaciones y factorizando tenemos las siguientes relaciones: y 0 y y y y y y Traajando con la relación y reemplazando en la primera ecuación: y y y 0 0y y y y 0 y y, Traajando con la relación y reemplazando en la primera ecuación: y y y 0 0y y y y 0 y y, 8. Hallar el valor de k en la ecuación k 0, para que la diferencia de sus raíces sea la unidad Solución: ordenando de manera conveniente la ecuación y empleando el teorema de Viete: k k 0 Ahora la tercera ecuación saldrá de la condición: la diferencia de sus raíces es la unidad: Entonces tenemos el siguiente sistema de tres por tres, sumando y restando la primera y la tercera tenemos: k k... A k... B Ahora reemplazando A,B en la segunda ecuación: k k k k 6 k 8 9. Resolver la ecuación irracional: 6 7 Solución: elevando al cuadrado amos miemros de la ecuación, desarrollando y simplificando: Ahora volviendo a elevar al cuadrado la ecuación y resolviendo el sistema de ecuaciones:

4 log log y log 0. Resolver el sistema de ecuaciones: log y log y log Solución: realizando el siguiente artificio log0 y aplicando la propiedad de suma y resta de logaritmos: log y log 0 log log y log0 log y log y log y log0 log log log 0 y La igualdad se da siempre y cuando: y 0 0 y 0 0 y i 0 9 y 9y 0 Ahora reemplazando Ahora reemplazando 0 i en la da ecuación del ultimo sistema: i y 0 y i i, y i i en la da ecuación del ultimo sistema: i y 0 y i i, y i Nota: el sistema tiene soluciones imaginarias, concluimos que el sistema inicial del prolema no tiene soluciones en los reales: 0 7. Resolver: 6 log Solución: empleando la propiedad de log 0 y ordenando la ecuación lineal de manera conveniente: Llevando todo en función de la misma ase: La igualdad se cumple siempre y cuando: Determinar el valor de k de la ecuación k k k 8, de igual manera que el producto de sus raíces sea igual al dole de su suma: Solución: ordenando la ecuación y aplicando el teorema de Viete: k k8 k k k 8 k k k k k k k k 8 k Según el prolema tenemos la siguiente ecuación:

5 Lo más conveniente es reemplazar las relaciones de Viete en la condición: k8 k k k k 8 k k k 0k k 6k 0k 6 6k k 8 0 k k 7k 6 0 k k 0 k y y 7. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: y y Solución: restando amas ecuaciones tenemos la siguiente relación: y y... A Ahora reemplazando A en la segunda ecuación del sistema: 0 Ahora factorizando al máimo:, y, y 0 0, y, y. Determinar el valor de de la siguiente ecuación: log log log log Solución: el prolema se resuelve fácilmente aplicando antilogaritmos, sumando y simplificando cuidadosamente: log log log log log log log log log log log log log log log log Por lo tanto el resultado es: log log y. Hallar la solución del sistema: log log y8 Solución: ordenando el sistema de manera conveniente y aplicando propiedades de suma de logaritmos: log log y log log0 log y log0 log y 8 log log y 8 log log y 8log0 log y log0 0 y La igualdad se da siempre y cuando: y 0... A 8 y 0 8 y 0... B Ahora reemplazando A en B: Ahora reemplazando el valor de en A: Por lo tanto la solución del sistema es: 00, y y 0 0 y 0 y 0

6 8 6. Resolver la siguiente ecuación cuadrática: Solución: desarrollando el MCD, luego sumando y restando términos semejantes: PRACTICA # Resolver las siguientes ecuaciones: 0. Sol.:, Sol.: 6. Sol.: Aplicando el Teorema de Viete resolver:. Las raíces y de la ecuación cuadrática p 0 poseen la propiedad. Hallar el coeficiente p Sol.: p 7. Determinar en la ecuación k 0, hallar el valor de k para que la diferencia de sus raíces valga la unidad. 6. Las raíces y de la ecuación Resolver las siguientes ecuaciones: Sol.: k a a 0 son tales que Sol.: a 7. Sol.: 8. Sol.: Sol.: Resolver las siguientes ecuaciones lineales y no lineales:.7. Determine a. y y 0. y y 0 Sol.:, y, y, y, y 6

7 y. y y 7 Sol.:, y, y a ay z a. Hallar z de: y z (Sug. utilizar Kramer) Sol.: z ac c cy z c Resolver las ecuaciones logarítmicas:. Simplificar:. Simplificar: E Sol.: E log log ( ) log ac ac ac a c E log 0e ln 0 log e. Resolver la siguiente ecuación: log 8 log Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: y 6. Resolver el siguiente sistema: y 8 6y 7. Resolver el siguiente sistema: y Sol.: Sol.: E Sol.:, y Sol.:, y 7