RESUMEN MÉTODOS 2: PARCIAL 3. Esta restricción expresa que las unidades de producción no pueden ser negativas.

Transcripción

1 RESUMEN MÉTODOS : PARCIAL PROGRAMACIÓN LINEAL Es el campo de la optimización matemática dedicado a maimizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función ojetivo, de tal forma que las variales de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones epresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones tamién lineales. Esta restricción epresa que las unidades de producción no pueden ser negativas. Por otra parte deemos de maimizar el ingreso, con las restricciones e materiales. Las posiles soluciones son infinitas, pero solo una es la máima. Usando el método grafico graficamos las dos restricción: Métodos de solución Eisten dos métodos de solución de prolemas de programación lineal: Método gráfico: En dos dimensiones: En este caso la función ojetivo puede ser: ZF(,y) + 4y En este caso epresa que el ingreso total de ventas al producir los productos camisas() y pantalones (y) se otiene multiplicando el precio de venta de por la cantidad de y el precio de 4 por la cantidad de y. La producción esta sometida a las siguientes restricciones: + y< Esta restricción epresa que para producir una camisa se ocupa unidades de algodón y para producir un pantalón se requieren unidades de algodón, y la empresa solo cuenta con unidades. + y < Esta restricción epresa que para producir una camisa se ocupan unidades de poliéster, y y para producir un pantalón se ocupan unidad de poliéster, y la empresa solo cuenta con unidades Oservamos que la restricción del poliéster se indica con líneas verticales la restricción del algodón se indica con líneas horizontales. La zona donde coinciden es la zona somreada que se llama REGIÓN FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona cumple las restricción Se sae que la solución máima ocurre en el perímetro de la zona factile, y ocurre en los vértices o puntos donde se cruzan las restricción Y las restricciones ovias: > ; y>

2 Paso : Graficamos las líneas Los posiles puntos donde puede ocurrir la maimización son los vértices (esquinas): Y Y y punto Z+4y (,) (,) 4 7 (7,) 7 7 (7,) 7 7 (7,) 87 ma En esta tala vemos fácilmente que la solución que maimiza z es la esquina donde 76 y y6, se otiene un ingreso máimo de 9, lps PASOS PARA EL MÉTODO GRAFICO: Paso : Graficamos las desigualdades. Despejamos para esto y. Recta : y < - y < recta Recta : y < - y < recta Y recordamos las condiciones > Y> Tecnica ; somreado al lado de la recta y flecha Paso : Graficar las líneas de las condiciones: Para esto averiguamos los intercepto linea Iy Y I +y (, ) 7 (7, ) +y (, ) (, ) Ordenamos Puntos linea y punto Z+4y (,) 7 (7,) 7 (,) 4 (,)

3 Técnica : Rayado En amos caso la región de factiilidad es: Intercepto por suma y restas ()( + y ) (-)( + y ) y y - 4 y y Sustituimos en condicion + () 7 7 Intercepto (7,) Paso : Elaorar tala de puntos y elegir el máimo o mínimo según se requiera: linea y punto Z+4y (,) min 7 (7,) 7 (,) 4 (,) y 7 (7,) 87 ma PASO 6: La respuesta redactada es: Para una producción de 7 unidades del producto, y una producción de unidades del producto y se otiene el ingreso máimo de Z8,7 lempiras La región de factiilidad es donde se cumplen todas las condiciones, o dicho de otra manera donde se interceptan o coinciden las rectas de todas las condiciones. Los vértices son las esquinas que limitan dicha región Paso 4: Calculamos los vértices requeridos: En este caso la interceptación entre línea y línea.

4 TEORÍA DE EXPONENTES Introducción: Las operaciones de potencia, multiplicación y suma están relacionadas. Toda potencia puede convertirse en una multiplicación y toda multiplicación puede convertirse en una suma. Ejemplo: i i () i + () i (+ ) + (+ ) 8 Esto es cierto porque es una multiplicación simplificada y es igual a multiplicar tres veces así i i. Por otro lado la multiplicación i significa que el número se dee sumar dos veces i +, en una multiplicación el primer número indica el número de veces que se repite el segundo número es por eso que () i i () i + () i. Al hacer este proceso descurimos varias propiedades de los eponentes Propiedad Ejemplo n i i... n i i veces n /n toda raíz se epresa como un eponente fraccionario n m m/ n siempre el número de la raíz va aajo m n m n i + m ( ) n m n n n a a n / () Y se cumple / ().99. Y se cumple que.99*.99* i ( ) / 8 i ()() ii i i + ()() ii i ii i 6 i i i n n ( a ) ( a) n ( i ) iii ()() i i i a iii ()() i i i ( i ) a a n n n a a 9 TEORÍA DE LOGARITMOS Un aritmo se puede interpretar como el eponente que ra el argumento del aritmo al elevar la ase del mismo, se epresa formalmente. Si tenemos 8 Entonces se cumple que 8 En amos caso el número se le llama ase, el número es el eponente, y tamién es el aritmo de 8 con ase. Ejemplos Forma eponencial Forma arítmica i i iii i i Numero e o numero natural Eiste un número especial que se usa mucho en aritmos y formulas eponenciales el cual es el numero e Este número se calcula con la formula / e ( + ) Siempre que sea un número muy pequeño, si tomamos varios valore seste será el resultado. e Al igual que los eponentes los aritmos tienen sus propias reglas. Propiedad Ejemplo 4

5 9 n a ni a ( a i ) ( a) + ( ) ( a/ ) ( a) ( ) Propiedad a i ( a) + cd i + ( ) ( c) ( d) ln( a) e a ln( e ) ca a, c> c ln( a) a ln( ) a a 9 9 i ( ) i + 9/ ( ) 9 i } Ejemplo i ( ) + 67 i ( ) ln() ln() EJERCICIO DE SEPARACION DELOGARITMOS iiy 4 ziw Primero convertimos radicales en eponentes i i ziw y 4 / / Luego simplificamos eponentes / / / / i iy z iw / / / / + i iy z iw / 7/ / / i iy z iw 4/ / 4/ / 4/ / i iy z iw /6 7/6 /6 4/6 /6 Aplicamos la propiedad a i a + ( ) /6 7/6 /6 ( ) ( ) ( y ) 4/6 /6 ( z ) ( w ) + + Aplicamos la propiedad n a ni a ( z) ( w) 6 6 ( ) ( ) ( y) Para verificar asumimos X, y, z4,w Sustituimos primero en la original i i 4 4 i 9

6 .77 i [. 7 ] ln(.7).66 [.7] ln() Sustituimos en la respuesta 7 ( ) + ( ) + ( y) ( z) ( w) ( ) + ( ) + ( ) ( 4) ( ) Con lo cual se verifica la respuesta Ejercicios con verificación de ecuaciones eponenciales con verificación Aplicamos aritmo natural amos lados ( ) ( ) ln ln Pasamos eponente al frente i ln ln Despejamos i ln ln ln( ) ln( ) Verificamos (.9) EJEMPLO : + Aplicamos aritmo natural amos lados + ln ln Pasamos eponente al frente + i ln ln ( ) Operamos iln + ln i ln ( ) Juntamos las iln ln ln i ( ) ( ln i ( ) ln( ) ) ln i ( ) ln i ( ) ln i ( ) ln( ) Calculamos el valor Verificamos (.6).6 + (.6) Fusionamos el aritmo, quitamos primero los números al frente ln i ( ) ln i ln ln i ( ) ln ln ( ) ( ) ( ) ln i ln ln().69.6 ln(8/).4 Con lo cual se confirma el resultado Esta técnica es la misma para cualquier ecuación eponencial. (7) (7) EJEMPLO : ( )() i 4 i Primero aplicamos aritmo natural a amos lados (7) (7) ln ln 4 (( )() i ) i Separamos los aritmos ln(7) + ln(7) ln ln ln + ln() Pasamos los eponentes al frente ( )ln(7) + ( )ln(7) (4 )ln ( )ln 4 ln + ( )ln() ( )ln(7) + ( )ln(7) (4 )ln ( )ln ln + ( )ln() ()ln() Pasamos las a un solo lado ( )ln(7) (4 )ln ( )ln ( )ln() ln ()ln() ( )ln(7) 6

7 Sacamos de factor común ( ) ()ln(7) (4)ln ()ln ()ln() [ ] ln ln() + ln(7) ln ln() + ln(7) ( ) ln(7) 4ln ln ln() Calculamos la ( ) ( ) Para verificar sustituimos en la original (7) (7) ( )() i 4 i.7949e+ ( 9) i La diferencia se dee a los decimales de la variale EJEMPLO 4 (+ ) + (+ 4) Primero aplicamos las propiedades a + a i ( ) Y nos queda (+ )(+ 4) [ ] Pasamos el numero al rente como eponente (+ )(+ 4) [ ] Igualamos argumentos (+ )(+ 4) Operamos y simplificamos el polinomio (+ 4) + (+ 4) Aplicamos la formula cuadrática a 9 c- 4ac 9 4()( ) 47 (9) ± 47, () (9) ±. 479, () (9) ±.479, Calculamos y verificamos los valores X.749 ((.749) + ) + ((.749) + 4) ( 8.74) + (.47) ln( 8.74) ln(.47) + ln() ln() X -.8 ((.8) + ) + ((.8) + 4) (.4) + (.49) No es válida la solución -.8 Final ente definimos el conjunto solución C.s{.749} FUNCIÓN EXPONENCIAL Es una función de la forma m+ f( ) ab i + c Donde B es un número positivo EJEMPLO : + f( ) i + a) Su grafica es ) Asíntota horizontal: esto es lo que primero se dee determinar (línea horizontal de la gráfica) que ocurre cuando yc en el caso del ejemplo es AH: y 7

8 c) Tala de valores: Para esozar la gráfica elaoramos esta tala: Tipo X Y - i Iy i i otro i Con estos valores procedemos a elaorar la gráfica anterior, los valores que representan a menos infinito y más infinito pueden ser cualquier valor, elegimos porque números mayores se alejan demasiado, cuando uno de los valores es muy grande elegimos otro mas pegado al, como el para rar graficar d) Determinamos el intercepto en, I(, ) + i + Despejamos el término con el eponente i + + Revisamos los signos, porque recordemos que jamás un número con variale eponencial será cero i i.676i + Por tanto no hay solución para el intercepto en, + e) Dominio reales] [ f) Rango ],+ [ Notas: para elaorar la gráfica se requieren siempre puntos La grafica eponencial siempre tiene intercepto en y 8

9 EJEMPLO : Y EJEMPLO : 9

10 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es una función de la forma f( ) ai B ( m+ ) + c Donde B es un número positivo EJEMPLO : f( ) i + + ( ) g) Su grafica es ( ) i + + ( + ) Ponemos todo como potencia de la misma ase del aritmo ( + ) Aplicamos la propiedad ( ) + Despejamos.99 I (-.99, ) h) Asíntota vertical: esto es lo que primero se dee determinar (línea vertical de la gráfica) que ocurre cuando m+ AH:-/m i) Dominio: un aritmo no puede tener argumento negativo ni cero por lo tanto m+>: + > > Dominio ], + [ j) Con el dominio definido procedemos a determinar el intercepto en que siempre eiste I(,)

11 k) Calculamos ahora el Iy (, ) si es que eiste f () i + + () + ( ) Iy (,) l) Procedemos a elaorar una tala de valores, que dee tener al menos puntos Tipo X Y AH - No aplica I -.99 Iy otro i ( ) f () + + Con estos valores procedemos a elaorar la gráfica e indicar los intercepto, + Re ales m) Rango ] [ Notas: para elaorar la gráfica se requieren siempre puntos La grafica eponencial siempre tiene intercepto en

12 EJEMPLOS Y EJEMPLO Y

13 EJERCICIOS VARIOS ) Calcule y verifique 8 ln(8) ln( ). 986 Verificación ) epanda y verifique con, y, z4 iy z iy z ( ) + ( y ) ( z ) ( ) + ( ) ( ) y z Verificación X, y, z4 i ln(9/4) ln().986 Y evaluamos separados l og + 4 ( ) Como amas respuestas son iguales esta correcto )Determine el conjunto solución ( ) ( ) + l + l + l i + () Igualamos argumentos Verificación (oligatoria) () + l ( ) ( ) l l 4) Resuelva por el método grafico la siguiente prolema Min z+y y + 4 y +, y Las ecuaciones se pueden epersar asi tamine 4+ y Iy(, /)(,4) I(/4,)(,) + y Iy(, /)(,) I(/,)(,) Y Z+y ()+()6 ()+() ()+()6 La respuestas posiles son dos Respuesta : y z 6 Respuesta : y z 6