MÉTODOS CUANTITATIVOS ii 2018 PERIODO 2 PARCIAL ii. Y las resctricciones obvias: x>0 ; y>0. Nombre: Cuenta:

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1 MÉTODOS CUANTITATIVOS ii 2018 PERIODO 2 PARCIAL ii Nombre: Cuenta: PROGRAMACIÓN LINEAL es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. Y las resctricciones obvias: x>0 ; y>0 Esta restricción expresa que las unidades de producción no pueden ser negativas. Por otra parte debemos de maximizar el ingreso, con las restricción e materiales. Las posibles soluciones son infinitas, pero solo una es la máxima. Usando el método grafico graficamos las dos restricción: Métodos de solución Existen dos métodos de solución de problemas de programación lineal: Método gráfico: En dos dimensiones: En este caso la función objetivo puede ser: Z=F(x,y)=50x + 40y En este caso expresa que el inbreso total de ventas al producir los productos camisas(x) y pantalones(y) se optiene multiplicando el precio de vetna de 50 por la cantidad de x y el precio de 40 por la cantidad de y. La producción esta sometida a las siguientes restricciones: 2x + 3y< 1500 Esta restricción expresa que para producir una camisa se ocupa 2 unidades de algdon y para producir un pantalón se requieren 3 unidades de algodón, y la empresa solo cuenta con 1500 unidades. 2x + y < 1000 Esta restricción expresa que para prodcir una camisa se ocupan 2 unidades de poliéster, y 1 y para producir un pantalón se ocupan 1 unidad de poliéster, y la empresa solo cuenta con 1000 unidades Observamos que la restricción del poliéster se indica con líneas verticales la restricción del algodón se indica con líneas horizontales. La zona donde coinciden es la zona sombreada que se llama REGION FACTIBLE. Cualquier punto en esa zona cumple las restricción Se sabe que la solución máxima ocurre en el perímetro de la zona factible, y ocurre en los vértices o puntos donde se cruzan las restricción Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 1

2 Paso 2: Graficamos las líneas Y1 Y2 Los posibles puntos donde puede ocurrir la maximización son los vértices (esquinas): x y punto Z=50x+40y (0,500) (0,1000) (750,0) (750,0) (375,250) max En esta tabla vemos fácilmente que la solución que maximiza z es la esquina donde x= 376 y y=260, se obtiene un ingreso máximo de 29,150 lps PASOS PARA EL MÉTODO GRAFICO: Paso 3: Graficamos las desigualdades. Despejamos para esto y. Recta 1: y <= x 3 y <= recta Recta 2: y <= x 1 y <= recta Y recordamos las condicionies x>= 0 Y>= 0 Tecnica 1; sombreado al lado de la recta y flecha Paso 1: Graficar las líneas de las condiciones: Para esto averiguamos los intercepto linea x=0 Iy Y=0 Ix 1 2x+3y= (0, 500) 750 (750, 0) 2 2x+1y= (0, 1000) 500 (500, 0) Ordenamos Puntos linea x y punto Z=50x+40y (0,500) (750,0) (0,1000) (500,0) Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 2

3 Trecnica 2: Rayado En ambos caso la región de factibilidad es: Paso 5: Elaborar tabla de puntos y elegir el máximo o minimo según se requiera: linea x y punto Z=50x+40y (0,500) min (750,0) (0,1000) (500,0) y (375,250) max PASO 6: La respuesta redactada es: Para una producción de 375 unidades del producto x, y una producción de 250 unidades del producto y se obtiene el ingreso máximo de Z=28,750 lempiras La región de factibilidad es donde se cumplen todas las condiciones, o dicho de otra manera donde se interceptan o coinciden las rectas de todas las condiciones. Los vértices son las esquinas que limitan dicha region Paso 4: Calculamos los vértices requeridos: En este caso la interceptcion entre línea 1 y línea 2. Intercepto por suma y restas (2)( 2 x + 3 y = 1500 ) (-2)( 2 x + 1 y = 1000 ) 4 x + 6 y = x + -2 y = x 4 y = 1000 y = 250 Sustituimos en condicion 1 2 x + 3 (250) = x = 750 x = 375 Intercepto (375,250) Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 3

4 Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 4

9 APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para resolver una aplicación se requieren los siguientes pasos: Paso 1: Leer el problema. Paso 2: Identificar los datos. Paso 3: Elaborar cuadricula de trajo que relaciona todos los datos. Paso 4: Identificar Variables y ecuaciones. Paso 5: Plantear Modelo Matemático. Paso 6: Solucionar el problema matemático por el método grafico o el método simplex. Ejemplo: Una empresa industrial debe aprovechar al máximo los recursos con los que cuenta, para lograr producir la máxima cantidad que logre los máximos ingresos: Existen 3 productos, Una silla, una mesa, y un taburete. Para producir una silla requiere de 3 unidades de madera, 4 de pegamento, 2 de pintura. Para producir una mesa requiere 5 unidades de madera, 3 de pegamento y 4 de pintura. Para producir un taburete requiere 2 unidades de madera, 2 de pegamento y 1 de pintura. La empresa cuenta con un máximo de 1000 unidades de madera, 2000 unidades de pegamento, y 1500 unidades de pintura. Por la silla gana 100 lempiras por la mesa 150 lempiras y 50 por el taburete. Maximice la producción. Paso 1: Leer el problema. Paso 2: Identificar los datos. Productos Silla Mesa Taburete Insumos Madera Pegamento Pintura Límites: 1000 unidades de madera 2000 unidades de pegamento 1500 unidades de pintura Paso 3: Elaborar cuadricula que relaciona los datos Silla Mesa Taburete Paso 4: Llenar cuadricula. Por ejemplo una silla requiere 3 unidades de madera. Buscamos donde se cruza la fila de silla con la columna de madera y ponemos 3 Repetimos hasta llenar Madera Pegamento Pintura Madera Pegamento Pintura Silla 3 Mesa Taburete Madera Pegamento Pintura Silla Mesa Taburete Y Completamos ganancia y limites Madera Pegamento Pintura Ganancia Silla Mesa Taburete limites Paso 5: Determinar cuales son las variables y cuales son las ecuaciones con las siguientes reglas. 1) Si las filas son ecuaciones las columnas representan variables 2) Si las columnas son ecuaciones las filas representan variables 3) Las ecuaciones serán las filas o columnas que solo contenga un limite 4) Las variables son las filas o columnas que no contienen ningún limite En este caso las variables son silla, mesas y taburetes: Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 9

10 Madera Pegamento Pintura Ganancia Silla (x1) 3(x1) 4(x1) 2(x1) 100 (x1) Mesa (x2) 5(x2) 3(x2) 4(x2) 150 (X2) Taburete (x3) 2(x3 2(x3 1(x3 50(X3) limites También pudo ser: Silla (X1) Mesa (X2) Tabuerete (X3) Limites Madera 3(X1) 5(X2) 2(X3) 1000 Pegamento 4(X1) 3(X2) 2(X3) 2000 Pintura 2(X1) 4(X2) 1(X3) 1500 Ganancia 100(X1) 150(X2) 50(X3) Condición 2 (pegamento) 4(x1) + 3(x2) + 2(x3)<=2000 Condición 1 (pinturas) 3(x1) + 4(x2) + 1(x3)<=1500 Función objetivo (ganancia) Max Z= 100(x1)+150(x2)+50(x3) Paso 7: se resuelve el sistema Paso 6: Al final el modelo quedara asi Condición 1 (madera) 3(x1) + 5(x2) + 2(x3)<=1000 Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 10

11 EJEMPLO DE PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADO Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 11

33 MATRICES Definición de matrices: Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales. MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene una sola columna. MATRIZ RECTANGULAR: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas (A, B, C). Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan asi:, a 32 donde a es la letra minuscula del nombre de la matriz A. y se indica que la posicion es fila 3 columna 2. El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz. a11 a12 A32 a21 a22 a31 a 32 En este caso la dimension es 3x2 Igualdad de Matrices MATRIZ CUADRADA La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma a ii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. MATRIZ NULA: En una matriz nula todos los elementos son ceros. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Tipos de Matrices MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida por una sola fila. MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 33

34 MATRIZ ESCALAR: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. MATRICES ESCALARES: Una matriz es escalar si es diagonal y además todos los elementos de la diagonal son iguales. MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que una matriz real es simétrica, si A T = A; y que es anti T simétrica, si A = A. Ejemplo: Consideremos las siguientes matrices: MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas Fila 1 se convierte en columna 1 PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRASPUESTA MATRIZ EXTENDIDA: Es una matriz compuesta de dos o más matrices. Ejemplo: A= 1 2 B= 5 6 C= ( A B ) = (A B)= ( A B C ) = MATRICES ESCALONADA: Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) un elemento nulo más que en la fila (o columna) anterior (A B C)= Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 34

35 APLICACIÓN DE LAS MATRICES a) Representación matricial de grafos ZONAS DE UNA MATRIZ arriba de diagonal principal b) Representación matricial de sistemas de ecuaciones Un sistema de ecuaciones Se representa como matrices así: Y como matriz extendida así debajo de diagonal principal (1) DIAGONAL PRINCIPAL Son todos los elementos 1 de la matriz anterior cuando: a ij si i=j (2) TRIANGULO ARRIBA DE DIAGONAL: Son todos los elementos 2 de la matriz: a si i<j (por decirlo así la i manda) ij (3) TRIANGULO ABAJO DE DIAGONAL: Son todos los elementos 3 de la matriz: a si i>j (por decirlo así la i manda) ij CONSTRUCCIÓN DE MATRICES: Construya la matriz que cumpla las siguientes condiciones Dimensión de 3x4 a 3i 5j para i<j ij a 2i 7j para i=j ij a 8i 2j para i>j ij Paso 1: determinar la dimensión Es una matriz de 3 filas y 4 columnas Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 35

36 Paso 2: Determine para que zonas aplican cada formula a 3i 5j para i<j: arriba de diagonal ij principal (manda la j) a 2i 7j para i=j: diagonal principal ij a 8i 2j para i>j: debajo de ij diagonal principal (manda la i) Paso 3: Opción 1: Elabore tabla de valores para aplicar la formulas: Opción 2: Elaborar una cuadricula j= i= El resultado debería de ser: Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 36

40 OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A= (a ij ) y B= (b ij ), se define la matriz suma como: A+B= (a ij +b ij ). La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición. del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. ka=(k a ij ) Propiedades a (b A) = (a b) A A M mxn, a, b a (A + B) = a A + a B A,B M mxn, a (a + b) A = a A + b A A M mxn, a, b 1 A = A A M mxn Propiedades de la suma de matrices Interna: A + B = C que es una matriz. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + ( A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. Conmutativa: A + B = B + A Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. M m x n x M n x p = M m x p El elemento c ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. B= A X B (2) + 1(5) 2(4) + 1(6) A= 3 2 3(2) + 2(5) 3(4) + 2(6) 4 3 4(2) + 3(5) 4(4) + 3(6) Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(a ij ) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 40

41 B= A X B A= MULTIPLICABILIDAD DE MATRICES: Dos matrices se pueden multiplicar si el número de las filas de la primera matriz es igual al de las columnas de la segunda matriz B= A X B A= B= A X B A= Distributiva del producto respecto de la suma: A (B + C) = A B + A C OPERACIÓN TRASPUESTA Dada una matriz A a la cual aplicamos la operación de traspuesta, que T denotamosa T Diremos que B A si B es la matriz traspuesta de A Propiedades del producto de matrices Asociativa: A (B C) = (A B) C PROPIEDADES DE LA TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Elemento neutro: A I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A B B A En general es cierto excepto casos especiales peraciones.html Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 41

45 ECUACIONES MATRICIALES: IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A y B son iguales si se cumple: a) Ambas matrices tienen la misma dimensión b) Los elementos de A y B en la misma posición son iguales:_ Ejemplo matrices iguales 3 9 = Ejemplo matrices diferentes 0 9 = Paso 1: Operamos el 3 que multiplica la primera matriz 3x 3y = 7 9 3z 3w Paso 2: Sumamos las matricez 3x+1 3y+2 = 7 9 3z+3 3w Paso 3: Igualamos término a término: 3x+1=7 3y+2=9 3z+3=11 3w+4=12 Paso4: Despejamos el valor de la variable de cada ecuación X=6/3 Y=7/3 Z=8/3 W=8/3 0 9 = EJEMPLO 1: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales: x y = 1 2 z w 3 4 En este caso simplemente igualamos elemento con elemento: X=1 Y=2 Z=3 W=4 EJEMPLO 2: Determinar el valor de las variables que hagan que ambas matrices sean iguales: 3 x y = 7 9 z w Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 45

51 OPERACIONES FILA EN MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES EN FILAS: i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero. ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón. iii) Intercambiar dos Filas. El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones. NOTACION: 1. R i cr i quiere decir reemplaza la i-ésima Fila por esa misma Fila multiplicado por c. [Para multiplicar la i-ésima Fila por c se multiplica cada número en la i-ésima Fila por c.] Ejemplo: 3R1 R1 Operación: Escalar por fila R1= 5 6 3R R2= 7 8 R R j Rj + cri significa sustituye el j-ésima Fila por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado por c. Ejemplo: 3R1 2R2 R1 Operación: Suma de dos filas R1= 5 6 3R1+2R R2= 7 8 R R i R j quiere decir intercambiar las Filas i y j. 4. A B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución. Ejemplo: R1 R2 Operación: Intercambio de Filas R1= 5 6 R2 7 8 R2= 7 8 R1 5 6 MATRICES EQUIVALENTES Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente a A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las siguientes operaciones: 1. Multiplicar una fila de A por un numero real 2. cualquiera diferente de cero. 3. Intercambiar dos filas. 4. Sumar a una fila de A cualquier otra fila. PIVOTE DE UNA FILA O ELEMENTO PRINCIPAL DE LA FILA. : Al primer número no cero de una fila se le llama elemento principal de la fila pivote de la fila. En este ejemplo el número 3 es el pivote de la fila 2 MATRIZ ESCALONADA. Se dice que una matriz esta escalonada si se cumple que: 1. Todas las filas de ceros están abajo 2. Cada numero pivote de la fila esta a la derecha de los numero pivotes de las filas superiores MATRIZ CANÓNICA REDUCIDA. Una forma canónica reducida por filas es una matriz R M m n con las siguientes características: 1. El primer elemento no nulo de cada fila es El elemento principal de cada fila aparece siempre en columnas posteriores al elemento principal de la fila anterior. 3. Encima y debajo de los elementos principales de cada una de las filas solo hay ceros. Ejemplos: Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 51

54 SOLUCIÓN DE ECUACIONES POR REDUCCIÓN DE MATRICES Sea el sistema de ecuaciones 5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 Este sistema se puede expresar como matrices Donde Ai X B 5 6 x = y 12 A= Creamos la matriz extendida AB Lo que vamos a hacer es aplicar operaciones fila renglón para lograr que nos quede la matriz Que planteado como matriz nos queda Donde X= 2, Y =3 Planificamos Resultados: X= x y 1 0 x = y 3 Paso 1 Paso Paso 3 Paso Planificamos Operaciones: B= Pivote Fila 1 Paso 1 Paso 2 1/(a11) R1 Plantear matriz ampliada Paso 1: Convertir en uno el elemento a11 Paso 2: Convertir en cero los demás elementos de la columna 1 = Paso 3: convertir en 1 el elemento a22 = Paso 4: Convertir en 0 los demás elementos de la columna 2 = R1 1R2 R2 -a21(r1) Pivote Fila 2 Paso 3 Paso 4 1R1 1/(a22)R El resultado es: X= 2, y=3 R1 -a12(r2) R2 1/5 R1 (1/5)(5) (1/5)(6) (1/5)(28) 1 R /5 28/ R R2-3 R1 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5) 1 6/5 28/5 0-8/5-24/5 1 R /8 R2 (-5/8)(0) (-5/8)(-8/5) (-5/8)(-24/5) 1 6/5 28/ R1-6/5 R2 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3) 1 R Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 54

55 Ejemplo 2: resolver el sistema de ecuaciones 3x +2y +2z=21 2x +3y +4z=28 1x +5y +2z=21 Planteamos como matriz x = y z 21 Planificamos Resultados: Paso 1 Paso Paso 3 Paso Paso 5 Paso Planificamos operaciones Fila: Pivote fila 1 Paso 1 Paso 2 1/(a11) R1 R1 1R2 R2 -a21(r1) 1R3 R3 -a31(r1) Pivote fila 2 Paso 3 Paso 4 1R1 1/(a22)R2 1R3 R1 -a12(r2) R2 R2 -a32(r2) Pivote fila 3 Paso 3 Paso 4 1R1 1/(a22)R2 1R3 R1 -a13(r3) R2 -a33(r3) R3 Paso 1: (1/3)R1 1 2/3 2/3 7 (1)R (1)R Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso5: Calculo: (1/3)(3) (1/3)(2) (1/3)(2) (1/3)(21) (1)R1 1 2/3 2/3 7 (1)R2+(-2)R1 0 5/3 8/3 14 (1)R3+(-1)R1 0 13/3 4/3 14 Calculo: 1 2/3 2/ (-2)(1) +(-2)(2/3) +(-2)(2/3) +(-2)(7) (-1)(1) +(-1)(2/3) +(-1)(2/3) +(-1)(7) (1)R1 1 2/3 2/3 7 (3/5)R /5 42/5 (1)R3 0 13/3 4/3 14 Calculo: 1 2/3 2/3 7 (3/5)(0) (3/5)(5/3) (3/5)(8/3) (3/5)(14) 0 13/3 4/3 14 (1)R1+(-2/3)R /5 7/5 (1)R /5 42/5 (1)R3+(-13/3)R /5-112/5 Calculo: 1 0-2/5 7/5 +(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4) 0 1 8/5 42/5 +(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4) (1)R /5 7/5 (1)R /5 42/5 (-5/28)R Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 55

56 Paso 6: Calculo: 1 0-2/5 7/ /5 42/5 (-5/28)(0) (-5/28)(0) (-5/28)(-28/5) (-5/28)(-112/5) (1)R1+(2/5)R (1)R2+(-8/5)R (1)R Calculo: 1 0-2/5 7/5 +(2/5)(0) +(2/5)(0) +(2/5)(1) +(2/5)(4) 0 1 8/5 42/5 +(-8/5)(0) +(-8/5)(0) +(-8/5)(1) +(-8/5)(4) Planteamos el resultado como ecuación matricial x = y z 4 Donde x = 3, Y =2, z=4 SISTEMA DE ECUACIONES: DOS PASOS EN UNO 5 28 x 28 = 3 2 y 12 Fila Pivote 1: accion 1 accion 2 1/5 R1 1 R1 1 R2 1 R2-3 R1 Calculo: 1 6/5 28/5 3+(-3)(1) 2+(-3)(6/5) 12+(-3)(28/5) 1 6/5 28/ Resultado: Fila Pivote 2: accion 1 accion 2 1 R1 1 R1-6/5 R2-5/8 R2 1 R2 Calculo: 1+(-6/5)(0) 6/5+(-6/5)(1) 28/5+(-6/5)(3) Resultado: Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 56

62 INVERSA DE UNA MATRIZ Dada una matriz cuadrada A, si existe otra matriz B del mismo orden que verifique: A. B = B. A = I ( I = matriz identidad ), se dice que B es la 1 matriz inversa de A y se representa por A. Si existe la matriz inversa de A, se dice que la matriz A es invertible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz A es singular. Cómo se puede calcular la inversa de una matriz? Básicamente hay tres procedimientos para calcular la inversa de una matriz. Son los siguientes: OPCIÓN 1:Aplicando la definición a b X Y = 1 0 c d W Z 0 1 B= A X B x y z w a b a(x) + b(z) a(y) + b(w) A= c d c(x) + d(z) c(y) + d(w) Igualamos a la matriz identidad y resolvemos: a(x) + b(z) = 1 c(x) + d(z) = 0 a(y) + b(w) = 0 c(y) + d(w) = 1 Al resolver el sistema la inversa nos queda asi -1 a b = 1 d -b c d ad - bc -c a OPCIÓN 2: Por el método de Gauss. Para este método debemos aprender cómo reducir una matriz por el método de operaciones fila (renglón) Para lo cual hacemos uso de las matrices extendidas Sabemos las reglas que: 1 Ai A I AI i A Si tenemos la matriz extendida AI Y la multiplicamos por la inversa 1 A i AI Nos queda 1 1 A iaa i I Y utilizando las reglas nos queda I A 1 Eso significa que si podemos operar la matriz extendida AI Y utilizamos operaciones fila renglón para lograr que el lado izquierdo nos quede matriz identidad (I), entonces el otro lado será la 1 matriz inversa ( A ). I A 1 Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 62

63 EJEMPLO DE MATRIZ INVERSA Dado: A= Paso 1: crear la matriz extendida Paso 2: Elaborar Planificación Planificamos Resultados: Paso 1 Paso Paso 3 Paso Paso 3: Reducir la matriz a su forma escalona reducida /5 R1 1 6/5 1/ R /5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/ R2-3 R1 0-8/5-3/ /5 1/5 0 1 R1 1 6/5 1/ /5-3/5 1-5/8 R /8-5/ Paso 2: Reducir: 1/3 R1 1 2/3 2/3 1/ R R R1 1 2/3 2/3 1/ R2-2 R1 0 5/3 8/3-2/ R3-1 R1 0 13/3 4/3-1/ R1 1 2/3 2/3 1/ /5 R /5-2/5 3/5 0 1 R3 0 13/3 4/3-1/ R1-2/3 R /5 3/5-2/5 0 1 R /5-2/5 3/5 0 1 R3-13/3 R /5 7/5-13/5 1 1 R /5 3/5-2/5 0 1 R /5-2/5 3/5 0-5/28 R /4 13/28-5/28 1 R1 2/5 R /2-3/14-1/14 1 R2-8/5 R /7 2/7 1 R /4 13/28-5/28 La inversa será 1/2-3/14-1/14 0-1/7 2/7-1/4 13/28-5/28 1 6/5 1/5 0 1 R1-6/5 R /4 3/ /8-5/8 1 R /8-5/8 Ejemplo 2: A= Paso 1: Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 63

68 DETERMINANTES: El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(a) o A también por (las barras no significan valor absoluto). DETERMINANTE MATRICES DE 2X2: Como regla practica: Se calcula multiplicando los elementos de la diagonal principal y restando la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. DETERMINANTE MATRICES DE 3X Utilizando el método de Sarrus: Paso 1: Creamos la matriz aumentada donde se copian las primeras dos filas Paso 2: Multiplicamos los elementos de la diagonales con valor positivo, y multiplicamos los elementos de las diagonales secundarias con signo negativo (4)(6)(8) = (7)(9)(2) = (12)(3)(-5) = 180 +(8)(3)(7) = 168 +(-5)(9)(4) = (2)(6)(12) = 144 A = -6 Paso 3: Sumamos todos los resultados y obtenemos el valor del determinante. NOTA: este método de sarrus no se puede aplicar a matrices de 4x4 en adelante. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES POR MÉTODO DE CRAMER. 5 x + 6 y = 28 3 x + 2 y = 12 Paso 1: expresamos como matriz. 5 6 x = y 12 Ai X B Paso 2: Calculamos determinante de matriz A A= 5 6 A = (5)(2)-(3)(6) 3 2 = -8 Paso 3: Creamos las matrices Ax y Ay sustituyendo la columna que corresponde a la variable por los coeficiente de la matriz B, y calculamos los determinantes: Ax= 28 6 Ax =(28)(2)-(12)(6) Ay= 5 28 Ay =(5)(12)-(3)(28) Paso 4: Calculamos los valores de x, y y dividiendo los determinantes de cada matriz relacionada sobre la original: x= Ax = -16 = 2 A -8 y= Ay = -24 = 3 A -8 Métodos Cuantitativos 2. Parcial 2. Teoría por Marco Zuniga. Ejercicios por Lic. Luis López 68