SESIÓN 2 FUNCIONES REALES ESPECIALES

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1 SESIÓN FUNCIONES REALES ESPECIALES Llamadas tamién funciones reales de variale real, son aquellas funciones reales que por sus características toman el nomre de funciones reales especiales o solamente funciones especiales. Entre ellas tenemos: 1. Función constante. Se define por: f = {(, ) R R / = c, c=constante} Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = {c} su grafica es una recta horizontal. Esto es: c f() = c X Nota. A la función constante se denota por C. Función identidad. Se define por: f = {(, ) R R / = } Su dominio es D(f) = R, su rango R(f)= R su gráfica es la recta de pendiente uno, que divide al primer tercer cuadrante del plano cartesiano en dos partes iguales. = X Nota. A la función identidad se denota por I 1

2 3. Función valor asoluto. Se define por: f = {(, ) R R / = } Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = [0, ] su grafica es la unión de dos rectas simétricas respecto al eje. = X 4. Función Lineal Su gráfica es una línea recta se define de la siguiente manera: {(, ) RXR = a } f = / Donde: a R; 0 = a a D(f) = R R(f) = R Además, a es el intercepto con el eje vertical es la pendiente o inclinación de la recta. Según sea el valor de la pendiente se tiene la orientación o inclinación de la recta; esto es: Si > 0 entonces la recta crece de izquierda a derecha. Si < 0 entonces la recta decrece de izquierda a derecha.

3 5. Función Cuadrática Su grafica es una paráola con eje perpendicular al eje horizontal del plano cartesiano se define de la siguiente manera: {(, ) RXR / = a c}...(1) f = Donde: a, c R; a 0 Gráficamente: Si a > 0 Si a < 0 k V(h,k) k V(h,k) h h Del gráfico deducimos que: Si a > 0 la paráola se are hacia arria. Si a < 0 la paráola se are hacia aajo Además, el punto V(h,k) se llama vértice de la paráola. El dominio de la función cuadrática es: D(f) = R El rango se determina completando cuadrados en la variale. Esto es: Como: = a c = a a a c 4a = a a Oteniéndose el vértice de la paráola: V(h,k) 4ac 4a Luego: - k = a ( - h)..() 3

4 Donde: h = - ; a k = 4ac - 4a La epresión () es equivalente a epresión (1) Luego: Si a > 0 se tienen D(f) = R R(f) = [ K, a < 0 se tiene D(f) = R R(f) =, K ] Además, teniendo en cuenta las ecuaciones (1) ó () la gráfica de la función cuadrática, se tiene: i) Si a > 0 entonces la paráola se are hacia arria tiene un valor mínimo en = k, cuando = h. La curva es cóncava (el vértice es el punto más ajo de la curva). Se dice tamién que es una función de oferta paraólica. ii) Si a < 0 entonces la paráola se are hacia aajo tienen un valor máimo en = K, cuando = h. La curva es convea o cóncava hacia aajo (el vértice es el punto más alto de la curva). Se dice tamién que es una función de demanda paraólica. Ejemplos 1. Sea la función f() = 6 13 Para hallar el valor máimo o mínimo (vértice de la paráola) tenemos dos procedimientos: Primer procedimiento: Saemos que = a c, de la cual mediante completar cuadrados se otiene el vértice de la paráola: V(h,k) donde: h = k = a 4ac 4a Luego, de la ecuación dada: = 6 13 Se otiene: a = 1; = -6 c = 13 6 De donde: h = = 3 (1) 4

5 k = 4(1)(13) 4(1) ( 6) = 4 Entonces vértice de la paráola: V (3,4) Finalmente, como a = 1 > 0 entonces la paráola se are hacia arria tienen valor mínimo en = 4 cuando = 3. Gráficamente: = V(3,4) 3 Segundo procedimiento: Epresando = 6 13 en la forma () dada anteriormente: k = a ( - h) Para ello, completando cuadrados en la variale : Como: = 6 13 Dividimos el coeficiente de entre el resultado elevado al cuadrado sumamos restamos, esto es: = De donde: = Luego: = ( 3) 4 Finalmente: 4 = ( 3) : forma deseada De donde vértice: V (3,4) 5

6 Luego, como a = 1 > 0 entonces la paráola se are arria tienen valor mínimo en = 4 cuando = 3.. Sea = Hallar su valor máimo o mínimo. Solución Epresaremos = 16 8 en la forma: k = a ( - h) Como : = 16 8 Ordenando: = Multiplicando por 1 amos etremos: - = 8-16 Dividiendo entre a toda la ecuación, para que el coeficiente de sea 1: = 4 8 Completando cuadrados en la variale : = 4 () 8 () de donde: = ( ) 1 = ( ) 4 Camiando de signo: Y = -( ) 4 Ordenando: 4 = - ( ) : forma deseada De donde el vértice es: V (-, 4) Finalmente, como a = - < 0 entonces la paráola se are hacia aajo tiene valor máimo en = 4 cuando = -. 6

7 Gráficamente V(-,4) 4 = Aplicaciones de las funciones especiales en la resolución de prolemas concretos 1. Un agricultor dispone de 80m. de alamre desea cercar un terreno de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, Cuáles serán las dimensiones del terreno para que el área sea la máima? Solución Sean e dimensiones del terreno Área del terreno: A =. (1) Perímetro por cercar : por dato: = 80.() Despejando en (): = 80.. (3) (3) en (1) : A =. (80-) De donde: A() = 80 : A() es una función cuadrática Luego completando cuadrados se otiene: A() 800 = - ( - 0) : Epresión similar a: k = a ( - h) Por lo tanto, vértice: V(0, 800) 7

8 De donde, como a = - < 0 entonces la función A () tiene un valor máimo de 800 cuando = 0(ancho). Luego en (3): Y = 80 (0) = 40 (largo) Rpta. Las dimensiones del terreno deen ser ancho 0 m. largo 40m, a fin de otener un área cercada máima de 800 m.. Una pequeña empresa puede producir ciertos artículos a un costo de S/. 0 cada uno. Se estima que si el precio de venta de cada artículo es soles, entonces se venderán al mes 80 artículos. Cuál deerá ser el precio de venta de cada artículo, para otener la máima utilidad mensual? Solución Sea = Número de artículos por producir vender. Como : Utilidad = Venta costo Entonces U() = V() C() (1) Hallando venta: como se venden 80 artículos a soles cada uno, entonces: V() = (80 - ).() Hallando costo: Es igual al producto del costo de cada artículo por el número de artículos vendidos(los que deieron ser producidos), esto es: C() = 0 (80 - ). (3) Reemplazando () (3) en (1): U() = (80 - ) 0(80 - ) De donde se otiene: U() = Luego, completando cuadrados otenemos: U() 900 = -( - 50) Epresión similar a: k = a ( - h) Por lo que, como a = -1 < 0, entonces la función U() tienen un valor máimo en U() = 900 cuando = 50. Rpta. Deerán producirse vender 50 artículos al mes para otener una utilidad máima de S/

9 3. En una empresa se otiene los siguientes datos: unidades C() soles Se pide: Donde : C() = costo a) Determinar la función lineal de costo ) Hallar costo para unidades Solución a) Por definición de función lineal: C() = a (1) Donde: a es intercepto con eje vertical, cuando = 0, entonces en este caso: a = 35 () es pendiente, entonces: C( ) = = = Como la pendiente de una función lineal es constante, entonces: = 5. (3) Finalmente () (3) en (1): C() = 35 5 : Función lineal de costo ) Como: C() = 35 5X = Entonces: C(10000) = 35 5 (10 000) De donde: C (10 000) = Por lo tanto, el costo para unidades es de S/