Funciones cuadráticas

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de México Escuela Nacional Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Vallejo Clase aierta a los alumnos de Matemáticas, unidad 1. Funciones cuadráticas Elaoraron: Prof. Polo Francisco Padilla Monroy Prof. Wilert De Jesús López Programa de Asesorías Preventivas y Remediales Presenciales de Área de Matemáticas de Enero del 010

2 Prolema Con 80 metros lineales de malla, se desea cercar un terreno rectangular y colocar una división central tal como se muestra en la Figura 1. Figura 1 Cómo deen de distriuirse estos 80 metros de malla, de tal forma que se cerque la mayor área posile? Solución: Se utilizan literales para representar las dimensiones del terreno (incógnitas), llámese el lado más largo y h el lado más corto tal como se muestra en la Figura. Figura El área del terreno, que denotaremos como A, se calcula como: A = h Al analizar la Figura se otiene la siguiente ecuación: + + h + h + 80 Que es equivalente a: + h = 80 Se despeja alguna de las dos incógnitas, por ejemplo h: Esta última ecuación se sustituye en A: 80 A = Se desarrolla y ordena: 80 A = 80 A = +

3 Opcionalmente, enseguida de A se coloca la incógnita entre paréntesis: A( = + 80 Esta última ecuación recie el nomre de función cuadrática, ya que el área del terreno depende o está en función de lo que valga la incógnita la cual tiene como máximo exponente al número. Por ejemplo para un valor de = 50 el área del terreno se calcula como: 80 A (50) = A ( 50) = ( 500) A ( 50) = A ( 50) = A ( 50) = m ( 50) + ( 50) Recuerda, al utilizar esta función el área del terreno depende de lo que valga, es decir el área del terreno puede variar según varíe, por lo que en el ámito de las funciones a la incógnita se le conoce como variale independiente y A( como variale dependiente. Qué valores puede tomar la variale independiente? 80 Analizando la función cuadrática, A( = +, se concluye que la variale independiente puede tomar cualquier valor, es decir no existe algún valor de que produzca una indeterminación. Pero analizando la Figura y teniendo en cuenta que sólo se dispone de 80 metros de malla, se concluye que en la realidad puede tomar valores entre 0 y 190 metros. Se puede realizar una tala de valores de y calcular el de A( para analizar el comportamiento gráfico de la función cuadrática (tanto la tala como la gráfica se pueden realizar con Excel o con algún software graficador de funciones).

4 En la Figura se muestra la gráfica de la función cuadrática, para este tipo de funciones la gráfica recie el nomre de paráola la cual tiene algunos elementos como; vértice, eje de simetría, intersección con los ejes coordenados, concavidad (que en este caso es negativa), valor máximo A max para el área A( y el valor max de para el cual hay ese valor. vétice eje se simetría A max Intersección con el eje y max Intersección con el eje x Figura Con la gráfica ó con la tala, se puede concluir que el área máxima que se puede cercar es aproximadamente 6000m para un valor de entre 90 y 100 metros. Determinación del área máxima por un método analítico. Un procedimiento consiste en transformar a la función cuadrática de su forma general a su forma estándar, es decir: De la forma y = ax + x + c, transformarla a la forma y = a( x h) + k

5 Para realizar esta transformación se puede utilizar el siguiente proceso algorítmico: De la función cuadrática original, que está en forma general: A( = + 80 El coeficiente del término cuadrático se hace positivo: Y además que valga 1: A( = 80 A( = 80 A( = 190 Se completa el trinomio cuadrado perfecto (TCP) sumando en amos lados de la igualdad la mitad del coeficiente del término lineal (con su signo) elevado al cuadrado. Se puede simplificar como: 190 A ( + = A ( + El TCP se expresa como un inomio al cuadrado: Y se despeja A(: ( 95) = ( 95) A ( = ( 95) ( 95) A ( = A ( = A ( = A ( = ( 95) ( 95) ( 95) Esta última expresión es la función cuadrática expresada en forma estándar.

6 De la función en forma estándar se puede otener la siguiente información: Vértice: , V V ( 95,6016.7) Concavidad: Negativa. Valor máximo del área es A max = 18050/ m m para un valor de = 95 metros. Ecuación del eje de simetría: = 95 Conclusión: Los 80 metros de malla se deen de colocar tal como se muestra en la Figura 4 para cercar el terreno de mayor área ( m ), nótese que en la parte inferior y superior se han colocado 95 metros que corresponde al valor de la incógnita, mientras que el los lados verticales se han colocado 6. metros que corresponde a la tercera parte de la diferencia entre los 80 metros de malla con el dole del valor de ( 95) h 6. Figura 4

7 Para resolver Si se disponen de los mismos 80 metros de malla, pero ahora se desea cercar un terreno tal como se muestra en la Figura 5. Cómo dee de distriuirse la malla de tal forma que se cerque la mayor área posile si los terrenos rectangulares interiores deen ser del mismo tamaño. Figura 5 Respuesta: El área máxima que se puede cercar es 4m. Biliografía: Algera y trigonometría con geometría analítica. Earl W. Swokowski, Segunda edición, Grupo Editorial Ieroamérica, Páginas