1. Función cuadrática y traslación vertical. Completa la siguiente tabla y di qué números se obtienen en la última fila: 36 Diferencia de áreas

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1 0 Función cuadrática. Función cuadrática y traslación vertical Completa la siguiente tala y di qué números se otienen en la última fila: P I E N S A C A L C U L A Longitud del lado: x Superficie: y = x 4 9 Diferencia de áreas 5 Longitud del lado: x Superficie: y = x Diferencia de áreas Son los números impares. A P L I C A L A T E O R Í A Cuáles de las siguientes funciones son cuadráticas? a) y = x 5 ) y = x + 4x c) y = 5x 4x + 6x d) y = x + ) y d) Representa la paráola y = x a) Escrie su eje de simetría. ) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Escrie el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? f) A partir de ella diuja la paráola y = x 5 a) x = 0 ) Cuando x > 0 c) Cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) 78 SOLUCIONARIO

2 f) 4 Halla la ecuación de las siguientes paráolas: a) ) Representa la paráola y = x. A partir de ella diuja la paráola y = x + 4. De ésta: a) a) Escrie el eje de simetría. ) Cuándo es creciente? Cuándo es decreciente? c) Escrie el vértice y di si es máximo o mínimo. d) Es convexa ( ) o cóncava ( )? V(0, 4) c = 4, a = y = x 4 ) V(0, ) c =, a = y = x + a) x = 0 ) Creciente: cuando x < 0 Decreciente: cuando x > 0 c) V(0, 4) es máximo. d) Es cóncava, ( ) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 79

3 . Traslación horizontal y vertical. Desarrolla mentalmente los siguientes cuadrados: a) (x + ) ) (x ). Factoriza mentalmente los siguientes trinomios: a) x + x + ) x 0x + 5 P I E N S A C A L C U L A. a) x + 6x + 9 ) x 4x + 4. a) (x + ) ) (x 5) A P L I C A L A T E O R Í A 5 Representa la paráola y = x 6 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola y = (x ).De ésta halla: A partir de ella diuja la paráola y = (x + ). De ésta halla: a) El eje de simetría. a) Su eje de simetría. ) El vértice. Di si es máximo o mínimo. ) El vértice. Di si es máximo o mínimo. a) x = ) V(, 0) es un mínimo. a) x = ) V(, 0) es un máximo. 80 SOLUCIONARIO

4 7 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola: y = (x + ) A partir de ella diuja la paráola y = (x + ) 5. De ésta halla: a) El eje de simetría. ) Su vértice. Di si es máximo o mínimo. 9 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x 4x + x = a a =, = 4 4 x = = 0 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x + 6x a) x = ) V(, 5) es mínimo. 8 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola: y = (x ) A partir de ella diuja la paráola: y = (x ) + 4 De ésta halla: a) El eje de simetría. ) El vértice. Di si es máximo o mínimo. x = a a =, = x = = = ( ) 4 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x + x + 5 x = a a =, = x = = = 6 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = 4x + 8x x = a a = 4, = x = = = ( 4) 8 a) x = ) V(, 4) es máximo. UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 8

5 . Paráola general y = ax + x + c El eje de una paráola es x = y se sae que a =. Cuánto vale? P I E N S A C A L C U L A x = = ax = 6 a Calcula mentalmente el punto donde corta al eje la paráola siguiente: y = x x + 5 (0, 5) 5 A P L I C A L A T E O R Í A Dada la paráola siguiente: y = x + 6x 5 a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. 4 Dada la paráola siguiente: y = x 4x + a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. a) x = ) V(, 4) es máximo. c) Gráfica: V(, 4) a) x = ) V(, ) es mínimo. c) Gráfica: x = x = V(, ) 8 SOLUCIONARIO

6 6 Dada la paráola siguiente: y = x + 6x a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. a) x = ) V(, 4) es mínimo. c) Gráfica: x = Halla la ecuación de las siguientes paráolas: 8 x = (0, 4) V(, 4) V(, 4) 7 Dada la paráola siguiente: y = x 8x a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. a = x =, = ax = 8 c = 4 y = x + 8x + 4 a) x = ) V(, 5) es máximo. c) Gráfica: 9 V(, 5) x = V(, 4) (0, ) a = x =, = ax = c = y = x + x + x = UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 8

7 4. Puntos de corte Dadas la paráola y la recta del diujo, calcula: a) Los puntos de corte de la paráola con el eje ) Los puntos de corte de la recta y la paráola. a) A(, 0) y B(, 0) ) C(, 5) y D(, ) y = x x y = x + P I E N S A C A L C U L A 0 Halla los puntos de corte de la siguiente paráola con el eje : y = x x Representa la paráola y compruea los puntos de corte. A(, 0) y B(, 0) Halla los puntos de corte de la siguiente paráola con el eje : y = x + 6x 8 A(, 0) y B(4, 0) A P L I C A L A T E O R Í A A(, 0) B(4, 0) A(, 0) B(, 0) 84 SOLUCIONARIO

8 Halla los puntos de corte de la recta y la paráola siguientes: y = x + y = x + 4x + Representa la recta y la paráola. Compruea los puntos de corte. A(, ) y B(0, ) 4 Halla los puntos de corte de las siguientes paráolas: y = x 5 y = x + 4x + Representa las paráolas y compruea los puntos de corte. A(, 4) y B(, 4) A(, 4) B(0, ) A(, ) B(, 4) Halla los puntos de corte de la recta y la paráola siguientes: y = x y = x + 4x 5 Halla los puntos de corte de las siguientes paráolas: y = x 8x + y = x + 4x + Representa las paráolas y compruea los puntos de corte. A(, 4) y B(, 5) A(, 5) y B(5, ) A(, 4) A(, 5) B(5, ) B(, 5) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 85

9 Ejercicios y prolemas. Función cuadrática y traslación vertical 6 Cuál de las siguientes funciones es cuadrática? a) y = 7x 4 + 5x + ) y = 4x c) y = 7x + 6x d) y = 5 x c) y d) 8 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola y = x + 4. De ésta: a) Halla el eje de simetría. ) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? 7 Representa la paráola y = x a) Escrie su eje de simetría. ) Cuándo es creciente? c) Cuándo es decreciente? d) Halla su vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? f) A partir de ella diuja la paráola: y = x + a) x = 0 ) Cuando x > 0 c) Cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) f) a) x = 0 ) Es creciente cuando x < 0 c) Es decreciente cuando x > 0 d) V(0, 4) es máximo. e) Es cóncava, ( ) 9 Halla la ecuación de las siguientes paráolas: a) ) 86 SOLUCIONARIO

10 a) ) V(0, 5) V(0, 4) a) y = x + 5 ) y = x 4. Traslación horizontal y vertical 0 Representa la paráola: y = x A partir de ella diuja la paráola y = (x ).De ésta: a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. a) x = ) V(, ) es máximo. Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x + 6x + x = a a =, = 6 6 x = = a) x = ) V(, 0) es mínimo. Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x + 5x x = a a =, = x = = ( ) 4 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola: y = (x ) A partir de ella diuja la paráola: y = (x ) + De ésta halla: a) El eje de simetría de amas. ) Su vértice. Di si es máximo o mínimo.. Paráola general y = ax + x + c 4 Calcula mentalmente el punto donde corta al eje la paráola: y = x x + A(0, ) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 87

11 Ejercicios y prolemas 5 Dada la siguiente paráola: y = x 6x Halla la ecuación de las siguientes paráolas: a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. a) ) c) Representa la paráola. a) x = ) V(, 4) es mínimo. c) Gráfica: x = a) ) x = x = (0, ) V(, 4) 6 Dada la siguiente paráola: y = x 6x + a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice y di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. a) x = ) V(, 5) es máximo. c) Gráfica: a) a =, x = ) a =, x = = ax = 4 = ax = 4 c = c = 0 y = x 4x + y = x 4x 4. Puntos de corte 8 Halla los puntos de corte con el eje de la paráola y = x 8x + 5. Represéntala y compruea los puntos de corte. V(, 5) A(, 0) y B(5, 0) (0, 0) x = A(, 0) B(5, 0) 88 SOLUCIONARIO

12 9 Halla los puntos de corte de la recta y la paráola siguientes: 40 Halla los puntos de corte de las siguientes paráolas: y = x + y = x + x + y = x 6x + 4 y = x + 4x 4 Represéntalas y compruea los puntos de corte. Represéntalas y compruea los puntos de corte. A(, 5) y B(, ) A(, ) y B(4, 4) A(, 5) B(, ) A(, ) B(4, 4) Para ampliar 4 Representa la paráola y = x / 4 Halla la ecuación de las siguientes paráolas: a) Escrie el eje de simetría. ) Cuándo es creciente? a) ) c) Cuándo es decreciente? d) Escrie el vértice y di si es máximo o mínimo. e) Es convexa ( ) o cóncava ( )? a) ) x = 0 V(, 5) (0, 0) P(, ) a) x = 0 ) Es creciente cuando x > 0 c) Es decreciente cuando x < 0 d) V(0, 0) es mínimo. e) Es convexa, ( ) (0, ) x = a) y = ax ) a =, x = x = y = 4a = ax = 8 4a = a = /4 c = y = x /4 y = x + 8x UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 89

13 Ejercicios y prolemas 4 Representa la paráola: y = x A partir de ella diuja la paráola: y = (x + ) De ésta halla: a) El eje de simetría. ) El vértice. Di si es máximo o mínimo. 45 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x x + x = a a =, = x = = = 4 46 Halla el eje de simetría de la siguiente paráola: y = x + 8x 5 a) x = ) V(, 0) es máximo. 44 Representa la paráola y = x A partir de ella diuja la paráola y = (x + ) A partir de ella diuja la paráola: y = (x + ) De ésta halla: a) El eje de simetría. ) Su vértice. Di si es máximo o mínimo. x = a a =, = x = = = ( ) 6 47 Dada la paráola: y = x + 4x a) Halla el eje de simetría. ) Halla el vértice. Di si es máximo o mínimo. c) Representa la paráola. a) x = ) V(, ) es máximo. c) Gráfica: V(, ) x = a) x = ) V(, ) es un mínimo. 90 SOLUCIONARIO

14 48 Halla los puntos de corte con el eje de la paráola: y = x 4x Represéntala y compruea los puntos de corte. A(, ) y B( 4, 4) B( 4, 4) A(, 0) y B(, 0) A(, ) B(, 0) A(, 0) 49 Halla los puntos de corte de la recta y = x + y la paráola y = x + 5x Represéntalas y compruea los puntos de corte. A(, ) y B(, 4) 50 Halla los puntos de corte de las paráolas: y = x + 4x + 4 y = x 6x 4 Represéntalas y compruea los puntos de corte. A(, ) B(, 4) 5 Los ingresos y los gastos de una empresa durante los 8 primeros años vienen definidos en miles de millones de euros por las siguientes funciones cuadráticas: t Ingresos: I(t) = 5t t Gastos: G(t) = 5t + 6 a) Halla los momentos en los que los ingresos y los gastos se igualan. ) Cuándo son máximos los ingresos? c) Cuándo son mínimos los gastos? a) Se igualan los segundos miemros y se resuelve la ecuación. t = años y t = 0 años ) Los ingresos son máximos en el máximo de la función I(t), que corresponde al valor del eje de simetría. t = 5 años c) Los gastos son mínimos en el mínimo de la función G(t), que corresponde al valor del eje de simetría. t = 7,5 años Dinero (miles de millones de ) G(t) I(t) Tiempo (años) UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 9

15 Ejercicios y prolemas Prolemas 5 Halla la fórmula que calcula el área de un círculo en función del radio, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. 56 Halla la ecuación de las siguientes paráolas: a) ) y = πx 5 Halla la fórmula que calcula el volumen de un cuo en función de la arista, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. y = x No es una función cuadrática. a) ) V(, ) x = (0, 5) x = V(, 4) a) a =, x = ) a =, x = = ax = 8 = ax = 6 c = 5 c = y = x 8x 5 y = x + 6x (0, ) Halla el valor de en la siguiente paráola saiendo que su eje es x = : y = x + x x =, a = x = = ax = 4 a Halla el valor de a en la siguiente paráola saiendo que su eje es x = : y = ax 6x x =, = 6 x = a = a = a x 57 En un prado se quiere cercar un recinto rectangular para que paste una cara. Saiendo que se tienen 4 m de alamre y cuatro estacas para hacerlo: a) Halla la fórmula del área. ) Haz la representación gráfica. c) Cuándo es máxima el área? Cuánto vale? Base: x Altura: x a) y = x( x) y = x x ) Grafica: 40 V(6, 6) Lado (m) Área (m ) x = 6 c) El área es máxima cuando x = 6, vale 6 m 9 SOLUCIONARIO

16 58 Una pelota de golf sigue un movimiento uniformemente acelerado y su altura viene dada por la fórmula: h = t t 5 50 Saiendo que el tiempo está dado en segundos y la altura en metros: a) Diuja la gráfica. ) Qué altura máxima alcanza? c) A qué longitud llega? 59 Altura (m) a) Altura máxima: 0 m ) Longitud: 00 m Halla los puntos de corte con el eje de la siguiente paráola: y = x 6x + 9 Representa la paráola e interpreta el resultado. A(, 0) x = 5 0 V(50, 0) Tiempo (s) A(, 0) 60 La siguiente gráfica representa el número de enfermos de legionela en un determinado hospital: Número de enfermos a) Durante cuántas semanas aumentó la enfermedad? ) Durante cuántas semanas disminuyó la enfermedad? c) Qué día huo más enfermos de legionela? Cuántos fueron? d) Cuántos días duró la enfermedad? e) Halla la fórmula de la función. a) Durante las tres primeras semanas. ) Durante las tres siguientes semanas. c) El día 4 y huo 9 d) 6 7 = 4 días. e) Número de enfermos a = x =, = ax = 4 c = 5 y = x + 4x + 5 Tiempo (semanas) V(, 9) (0, 5) x = Tiempo (semanas) Corta en un solo punto porque la paráola es tangente al eje UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 9

17 Ejercicios y prolemas 6 Halla los puntos de corte de la recta y = x + con la paráola y = x + x + Representa la recta y la paráola e interpreta el resultado. y = 6x No tienen puntos de corte. No se cortan. 6 Halla los puntos de corte de las paráolas: y = x + 6x + 0 y = x x + Representa las paráolas e interpreta el resultado. Se resuelve el sistema por igualación. A(, ) A(, ) Halla la fórmula que define el volumen de una esfera en función del radio, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. 4 y = πx No es una función cuadrática. Halla la fórmula que define el área de un triángulo equilátero en función del lado, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. h x Aplicando el teorema de Pitágoras. h = x (x/) x h = x/ x A(x) = 4 Solamente se cortan en un punto porque son tangentes. Para profundizar 6 Halla la fórmula que define el área de un cuo en función de la arista, y, si es una función cuadrática, represéntala gráficamente. Área (m ) Lado (m) 94 SOLUCIONARIO

18 66 Halla el valor de y c en la siguiente paráola saiendo que pasa por los puntos A(4, ) y B(, ): y = x + x + c 67 Halla el valor de a y en la siguiente paráola saiendo que pasa por los puntos A(, 5) y B(, ): y = ax + x c = + c = =, c = y = x x a + + = 5 4a + + = a =, = 4 y = x + 4x + Aplica tus competencias 68 Halla la fórmula del m.r.u.a. que tiene una aceleración de 4 m/s, una velocidad inicial de 6 m/s y un espacio inicial de m. Haz la representación gráfica. e(t) = t + 6t + 69 La fórmula de un m.r.u.a. es e = t + 4t +. Calcula la aceleración, la velocidad inicial y el espacio inicial. Haz la representación gráfica. a = m/s v 0 = 4 m/s e 0 = m V(, 5) V (, 7 ) x = / x = UNIDAD 0. FUNCIÓN CUADRÁTICA 95