Paso 1: determinar vértice. (h, k) 3x-6=0 X=6/3=2 X=2. (h,k)=(2,3) Paso 2: determinar intercepto en y Iy(0,?) X=0
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- Adolfo Salinas Ortíz
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1 TAREA 4: MÉTODOS CUANTITATIVOS 2 Cuenta: Nombre: FUNCIÓN RADICAL Ecuación y a mx b c Si g( x) mx b Forma de la grafica SI a es positivo y m positivo Intercepto en y = Iy =(0,?) Intercepto en x = Ix =(?,0) Dominio SI m es positivo [h, [ Si m es negativo ], h] Rango SI a es positivo [ k, [ Si a es negativo ], k] Si a es negativo y m positivo SI a es positivo y m negativa Si a es negativo y m negativo EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de y x 6 Paso 1: determinar vértice (h, k) g( x) 0 x-6=0 X=6/=2 X=2 y (2) 6 y 6 6 y 0 y (h,k)=(2,) Vértice (h, k) h: es igual a x si g( x) 0 k: k= f(h)= a mh ( ) b c k= f(h)= c Paso 2: determinar intercepto en y Iy(0,?) X=0 y (0) 6 6 y En este caso no hay intercepto en y 40
2 Paso : determinar el intercepto en x Ix(,0) Y=0 0 x 6 x 6 2 x x x (9 6) x x 5 Ix = (5,0) Paso 4: agregar otros puntos para tener puntos graficables Para no tener que probar puntos a ambos lados podemos calcular el dominio cuando g( x) 0 mx b 0 x 6 0 x 6 6 x x 2 Paso 5: determinar dominio y rango Dominio Por simple inspección a la gráfica o sino observando que m es positivo Rango: Por simple inspección a la gráfica o sino observando que a es positivo ],] Esto nos dice que los puntos crecen al infinito Elaboramos la tabla de valores x y -1 No Definido 0 No definido 1 No Definido (Nota: este punto fue elegido a voluntad) y y (6) 6 12 y
3 1) y 6 2x Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( xv, y v) 4. Tabla de Valores 2. Determinar Intercepto en Y 5. Grafica (indicar dominio y rango. Determinar los intercepto en x y verifique 6. Dominio y Rango 42
4 2) y 2 9x 1 1. Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( xv, y v) 4. Tabla de Valores 2. Determinar Intercepto en Y 5. Grafica (indicar dominio y rango. Determinar los intercepto en x y verifique 6. Dominio y Rango 4
5 ) y 5 2x 7 1. Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( xv, y v) 4. Tabla de Valores 2. Determinar Intercepto en Y 5. Grafica (indicar dominio y rango. Determinar los intercepto en x y verifique 6. Dominio y Rango 44
6 4) y 4 2x 7 1. Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( xv, y v) 4. Tabla de Valores 2. Determinar Intercepto en Y 5. Grafica (indicar dominio y rango. Determinar los intercepto en x y verifique 6. Dominio y Rango 45
7 5) y 5 8 x 2 1. Determine el vértice de la ecuación (Xv, Yv)=(h, k) = ( xv, y v) 4. Tabla de Valores 2. Determinar Intercepto en Y 5. Grafica (indicar dominio y rango. Determinar los intercepto en x y verifique 6. Dominio y Rango 46
8 DADA LA ECUACIÓN RACIONAL SIMPLE: p( x) y f( x), q( x) 0 q( x) Asintotas: son líneas verticales, horizontales o inclinadas imaginarias a las cuales la grafica se acerca sin tocar nunca en: Menos Infinito Mas infinito Por la izquierda a un punto prohibido Por la derecha a un punto prohibido Punto faltante: son factores que están en el polinomio de arriba y el polinomo de abajo y se pueden cancelar. Dada la grafica (x ) y f( x) 1 (x 9) Fusionamos en una sola fracción (x ) (x 9) y f( x) (x 9) (x 9) (x x 9) y f( x) (x 9) (6x 6) y f( x) (x 9) Los factores de abajo solo pueden ser valores prohibidos, o puntos faltantes Los puntos faltantes ocurren cuando el mismo factor esta arriba y abajo En este caso vemos que solo hay un factor arriba (6x-9) que seria el intercepto en x En este caso vemos que solo hay un facyor abajo (x-9) y no esta repetido por lo tanto seria el que define el valor prohibido y la asíntota vertical Ubicación Factor Valor x Tipo Hace 0 el factor Arriba (6x-9) X=2 Intercepto en x Abajo (x-9) x) Asíntota vertical 2) Calculamos los valores prohibidos que serán candidatos para una asíntota vertical Vemos que el polinomio (x-9) no puede ser igual a cero porque se produciría un error matemático. Por lo cual el valor prohibido de x ocurre cuando: x-9=0 Despejando nos queda X=9/= Formalmente Asíntota Vertical (AV): x= ) Calculamos el intercepto en x, ocurre cuando y=0 o sea: 1) Determinamos los factores, y los clasificamos arriba y abajo. Los factores de arriba solo pueden ser interceptos en x, o puntos faltantes, (6x 6) 0 (x 9) Nos queda 0(x 9) (6x 6) 0 (6x 6) Despejando nos queda x=6/6=1 formalmente intercepto en x = Ix (1, 0) 47
9 4) Calculamos el intercepto en y, que ocurre cuando x=0 Sustituimos (6(0) 6) 6 2 y f( x) 0.67 ((0) 9) 9 6 Formalmente intercepto en y = Iy (0, 2/) 5) Asíntota Horizontal La asíntota horizontal es una línea horizontal imaginaria a la cual la gráfica se acerca en el infinito, puede o no cruzarla la gráfica. Para determinarla se divide el termino principal del polinomio de arriba entre el termino principal del polinomio de abajo 6x AH: y 2 x Verificación de cruce: Igualamos la ecuación a y=2 (6x 6) y 2 (x 9) Y despejamos 2(x 9) (6x 6) 6x 18 6x es falso Por tanto no cruza la horizontal 6) Elaboramos ahora la tabla de valores Tipo x y (x, y) (6( 100) 6) (-100, 1.96 (( 100) 9) 1.96) Iy 0 (6(0) 6) 2 (0,0.67) ((0) 9) Ix 1 (6(1) 6) 0 (1,0) 0 ((1) 9) 6 AV- - (6(2.99) 6) ((2.99) 9) AV (6() 6) 12 (() 9) 0 No definido AV+ +0. (6(.01) 6) ((.01) 9) (6(100) 6) 2.04 ((100) 9) (2.99, -98) No Definido (.01, 402) (100, 2.04) 7) Elaboramos la grafica Primero ubicamos las asíntotas AV: X= AH: y=2 Segundo ubicamos las tendencias e interceptos 48
10 Tercero unimos por el camino mas corto 9) Determinamos el rango El rango lo podemos definir como todos los reales menos la asíntota horizontal, a menos que la función cruce la asíntota horizontal. AH: y=2 Rango = R 2 Dominio =, R 2 Y finalmente tenemos la grafica 8) Determinamos el dominio El dominio lo podemos definir como todos los números reales menos los valores prohibidos, el valor prohibido en este caso es la asíntota vertical. Dominio = R Dominio =, R 49
11 5x 2 1) y 1 4x 1. Fusione en una fracción 7. Tabla de Valores 2. Determine la asíntota vertical. Determine la asíntota horizontal 4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal 8. Grafica (indicar dominio y rango 5. Determinar Intercepto en Y 6. Determinar el intercepto en x 9. Dominio y Rango 50
12 x 4 2) y 2 2x 5 1. Fusione en una fracción 7. Tabla de Valores 2. Determine la asíntota vertical. Determine la asíntota horizontal 4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal 8. Grafica (indicar dominio y rango 5. Determinar Intercepto en Y 6. Determinar el intercepto en x 9. Dominio y Rango 51
13 2x 4 ) y 5 x 1. Fusione en una fracción 7. Tabla de Valores 2. Determine la asíntota vertical. Determine la asíntota horizontal 4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal 8. Grafica (indicar dominio y rango 5. Determinar Intercepto en Y 6. Determinar el intercepto en x 9. Dominio y Rango 52
14 7x 4) y 4 6x 6 1. Fusione en una fracción 7. Tabla de Valores 2. Determine la asíntota vertical. Determine la asíntota horizontal 4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal 8. Grafica (indicar dominio y rango 5. Determinar Intercepto en Y 6. Determinar el intercepto en x 9. Dominio y Rango 5
15 ( x) 5) y 5 6x 4 1. Fusione en una fracción 7. Tabla de Valores 2. Determine la asíntota vertical. Determine la asíntota horizontal 4. Verifique que no cruza la asíntota horizontal 8. Grafica (indicar dominio y rango 5. Determinar Intercepto en Y 6. Determinar el intercepto en x 9. Dominio y Rango 54
Podemos calcular el valor de y sustituyendo en ( 2 3) 1 y f( x) Nos queda
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