MÉTODOS 2: RESUMEN TEORÍA NIVELACION METODOS 1 Orden de las operaciones Recordemos la jerarquía de operaciones

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1 MÉTODOS : RESUMEN TEORÍA NIVELACION METODOS Orden de las operaciones Recordemos la jerarquía de operaciones potencia multiplicacion suma contar La operación de suma se superior al conteo La operación de multiplicación es superior a la suma La operación de potencia es superior a la multiplicación En orden inverso, una potencia se convierte en multiplicación y está en suma y está en conteo de unidades. Potencia a multiplicación = i Multiplicación a suma i = + + Suma a unidades = + + = (+ + ) + (+ + ) + (+ + ) Los paréntesis se usan para cambiar el orden de operación. OPERACIONES COMBINADAS POR MÉTODO LÓGICO : Este método convierte las operaciones de nivel superior a operaciones de nivel inferior = ( i + 4) i Paso : operar los paréntesis Paso : convertir potencias a multiplicación = ( i i + 4) i i i Paso : operar las multiplicaciones = (9 i + ) Paso 4: operar las sumas = (4) i = 8 = (7 i + (4 i 6)) Paso : operar los paréntesis = (7 i + ( i )) Paso : convertir potencias a multiplicación = (7 i + ( i )( i )( i )) Paso : operar las multiplicaciones = (7 i + ( i 8)) = (7 i 4) Paso 4: operar las sumas = ( i 7) Paso 5: convertir potencias a multiplicación = ( i 7)( 7) Paso 6: operar las multiplicaciones = 578 = 575 DESPEJE POR EL MÉTODO DE OPERACIÓN INVERSA. Ecuación: es un objeto matemático que relaciona la igualdad de dos expresiones algebraicas (contienen variables) x= 4 Reglas de operaciones a ambos lados: En general si se aplica la misma operación a todo lo que esta en cada lado de la ecuación, la igualdad se mantiene Caso sumas y restas:: Si a una ecuación se suma o resta a ambos lados un mismo valor se mantiene la igualdad Caso multiplicación y división: SI todo se multiplica o divide un mismo valor a todo lo del lado izquierdo y lo del lado derecho de una ecuación se mantiene la igualdad Caso potencia y raíz: si se aplica la potencia o la raíz a todo lo que esta en ambos lados de la ecuación, la igualdad se mantiene Ejemplo: Usar las operaciones inversas para despejar x x+ = 4x Súmanos (-) a ambos lados ( ) + x+ = 4x + ( ) x= 4x 5 Súmanos ambos lados (-4x) ( 4 x) + x= 4x 5 + ( 4 x) x= 5 Dividamos ambos lados entre (-) x 5 = 5 5 i x=, x= NOTA: La técnica de despeje por trasposición de términos que popularmente se llama la técnica de pasar, no es en realidad una técnica de la ciencia matemática, es una simplificación del

2 procedimiento matemático, que se ahorra varios pasos en uno TÉCNICA DE DESPEJE POR TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS (PASAR) Esta técnica correctamente se enuncia así: Si deseamos quitar una expresión algebraica que está SOLA y sumando a un lado de la ecuación, al trasladarlo al otro lado del signo igual se colocara SOLA Y sumando con signo opuesto Comparación de técnicas Por operación Por técnica de inversa pasar x+ = x+ = ( ) + x+ = + ( ) x+ 0= x= x= x= Si deseamos quitar una expresión algebraica que está multiplicando TODO a un lado de la ecuación, y al trasladarla cruzara el igual, la colocaremos dividiendo TODO Comparación de técnicas Por operación Por técnica de inversa pasar x= 4 x 4 = 4 () i x= 4 x= x= 4 4 x=

3 SIMPLIFIQUE LAS SIGUIENTES OPERACIONES (+ 6) ii 5 i 5(5 i + 76 ii ) 5 i 5(5( 5) ) 7 i + 4 ( i ( + 5) + ) DESPEJE LAS SIGUIENTES OPERACIONES 4x x 7= 5x+ x 4 4x 7= 8 4x 7 = 8 0 8x 4x =

4 FUNCIONES CONCEPTOS RELACIONADOS CON FUNCIONES CONJUNTO Es una colección de elementos que se denota por una letra mayúscula y cuyos elementos se expresan de dos maneras: a) Por extensión: describiendo todos los elementos: A= { rojo, verde} b) Por comprensión: describiendo la lógica detrás de los elementos A= {( x, y) RR x, y= x+ } Esto se lee: A es el conjunto de todos los pares de datos representados por (x, y) que pertenece al producto todos los pares ordenados de los reales, y que cumple la condición que y= x+ PARES ORDENADOS Es un conjunto de dos elementos en los cuales importa el orden y se representan por (x, y), de tal maneara que (,) no es lo mismo que (,). REPRESENTACIÓN GRAFICA DE UN PAR ORDENADO. El punto (4,) representa el par ordenado (x, y), de manera que x=4, y y=. Se parte del origen, y se mueve 4 unidades en la dirección de x, y unidades en la dirección de y y (4,) x PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano A B es un conjunto que resulta de combinar dos conjuntos simples A y B. A= {,,,4} B= { a, b} B= AxB a b (,a) (,b) A= (,a) (,b) (,a) (,b) 4 ( 4,a) ( 4,b) Relacion: es un subconjunto del producto cartesiano Del ejemplo anterior de producto cartesian o: C= relación de AxB = {(,a),(,b)} Función: es un subconjunto del producto cartesiano que cumple la regla, que todo elemento del dominio solo tiene como pareja un elemento del rango. D= función de AxB = {(,a),(,b)} APLICACIONES DE PRODUCTO CARTESIANO, Y FUNCION. José debe tener una decisión en dos etapas: La primera decisión es si se transporta en auto o en moto. La segunda decisión es si va al cine o aun restaurante. El conjunto de todas las posibilidad resulta ser un producto cartesiano. A X B restaurante cine moto (moto,restaurante) (moto,cine) auto (auto,restaurante) (auto,cine) Donde A= conjunto de los medios de transporte Donde B = conjunto de los destinos Una relación C seria = {(auto, restaurante), (auto, cine)} Para la decisión de ir en auto existen dos opciones, restaurante o cine. Por lo que es no es una decisión exacta 4

5 Una función D seria = {(moto, restaurante), (auto, cine)} Como se puede ver la relación produce decisiones dudosas, pero la función produce decisiones exactas: si se va en moto se va ira al restaurante si se va en auto se ira al cine FUNCIONES APLICADAS AL PLANO CARTESIANO. Las funciones en el campo de la matemática se pueden graficar en el plano cartesiano. CASO : PRODUCTO CARTESIANO DE PUNTOS Datos los conjuntos A={,,,4} graficado en el eje de las x B={,} graficado en el eje de las y Producen el producto cartesiano siguiente A X B (,) (,) (,) (,) (,) (,) 4 (4,) (4,) El cual se puede graficar asi en el plano cartesiano B (4,) CASO : PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS A= x,4 { ] [} { y ],[ } B= 4 A El producto cartesiano resultante será el siguiente:_ 4 EJEMPLO DE RELCIONES DENTRO DE AXB REGLA GENERAL: Se dice que una gráfica en el plano cartesiano representa una función si se cumple que al trazar una línea vertical solo suceden dos casos. Solo toca un punto, o no toca ningún punto. Si toca dos puntos en algún momento entonces no es una función es una relación. CASO : FUNCION La función A, es un grupo de puntos (x, y) que cumple la regla de la ecuación. y= /x+ / y los valores de x están limitados entre y 4, y los de y entre y Se expresa asi: A= {( x, y) talque, y= /x+ /, Y su grafica es: ] [ y ] [ x,4,,} 5

6 4 4 GRAFICA DE UNA FUNCIÓN: Una función de dos variables se grafica en el plano cartesiano. CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES EN EL PLANO CARTESIANO. Variable dependiente y. Variable independiente x (sola). Expresión algebraica y= = formula_ de_ x 4. Evaluación de una función y= = x+ Si: f () = () + = 8 f () = () + = 5. Dominio: es el conjunto de todas las x, que forman parte de la grafica. 6. Rango o Recorrido: es el conjunto de todas las y que forman parte de la grafica Línea vertical solo toca un punto: si se traza una línea vertical en cualquier parte de la función f(x) solo se tocara un punto. FUNCIONE POLINÓMICAS Lineal: = ax+ b Cuadrática: = ax + bx+ c CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO Las funciones pueden ser racionales e irracionales a las que también se les llama funciones algebraicas; asimismo, existen las funciones trascendentes dentro de las cuales se ubican las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Cubica: = ax + bx + cx+ d 6

7 FUNCIONES RACIONALES FUNCIONES IRRACIONALES (RAIZ CUADRADA) = a mx+ b+ c FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO = ax+ b ( x a)( x b) = a mx+ b + c 7

8 EJERCICIOS. Determine los dominios y rangos de las siguientes funciones observando solo a sus graficas: Dominio: Rango:. Determine el dominio de las siguientes funciones atendiendo únicamente a los valores prohibidos de x = f ( x ) = x = x x Recuerde: en una división el denominador no puede ser cero. Nota: Para determinar el rango despeje para x, y vea los valores prohibidos para y Dominio: Rango: Recuerde: los valores dentro de una raíz cuadrada no pueden ser negativos Nota: Para determinar el rango despeje para x, y vea los valores prohibidos para y Recuerde: no se puede dividir entre cero, y los valores dentro de la raíz cuadrada no puede ser negativo. Nota: Para determinar el rango despeje para x, y vea los valores prohibidos para y. Determine el dominio y rango de las siguientes relaciones, y determine si es función ( ) (,),(5,7),(4,7),(,5) ( ) (,),(,7),(4,8),(,8) f( x ) = (,),(,7),(4,8),(,8) f x = { } f x = { } { } Dominio: Dominio: Rango: 8

9 9

10 FUNCIÓN LINEAL Una función lineal es una función de la forma: f(x) = mx + b Características de la ecuación: El exponente de las variables es La función se acostumbra que y depende de x Características de la grafica: Intercepto en x: Ix(?, 0) Intercepto en y: Iy(0,?) Pendiente m, si m= positiva es creciente, si m = negativa es decreciente Características de la función Variable dependiente = x Variable independiente = y Dominio = reales Rango = reales Y su representación grafica es Para calcular la pendiente de una recta se toman dos puntos y se sustituye 0

11 Para determinar la ecucacion se sustituye un punto (x, y) en la siguiente formula: LÍNEA RECTA DE PENDIENTE VERTICAL: Cumple que para todo punto y, solo existe un valor en x. De manera que los puntos (,), (,4) pertenecen a la recta, y por tanto no es función. Si aplicamos la formula y y (4) () m= = = = indefinido x x () () 0 EJERCICIOS: CASO : Dados dos puntos determinar ecuación de la recta (, ) y (,5) Paso : determinamos X=, y= X=, y=5 Paso : aplicamos la fórmula: (5) () m= = () () Paso : determinar la ecuación de la recta aplicando

12 ( y ()) = () y = x y= x + y= x+ ( x ) Paso 4: verificación X= y= () + = 0/= 5 Se cumple (,5)

13 APLICACIONES LINEALES OFERTA: Paso : determine que variable es x, y que variable es y. Normalmente las unidades son x, y los precios son y. Tambien a las cantidades se les llama q, y al precio p. caso x y 0,000,000 40,000 5,000 La oferta se comporta así: Entre mas alto el precio, hay más personas interesadas en producir. Entre más bajo el precio a menos personas interesadas en producir. La grafica tiene pendiente creciente caso q p 0,000,000 40,000 5,000 Paso : aplique la formula de pendiente (5000) (000) m= = = = (40000) (0000) Paso 4: determine al ecuación ( y 5000) = ( x 40000) y= x y= x+ 5 5 m = precio de venta del productor q = cantidad de unidades producidas b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: Daniel desea poner un negocio de producción y venta de puertas de madera. El sabe que cuando el precio es alto de 5000 lps, hay 0 productores que desean poner el negocio porque la ganancia es alta. Pero cuando el precio es bajo 000 lps, solo productor desea producir porque la ganancia es baja. Si cada productor produce 0,000 unidades determine la ecuación de la oferta Paso : plante los dos casos en una tabla caso produccion precio 0,000,000 40,000 5,000 Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la oferta es 5000 y= x+ 5 5 Por cada 5 unidades aumenta el precio en unidades.

14 DEMANDA Paso : plante los dos casos en una tabla caso produccion precio, , Paso : determine que variable es x, y que variable es y. Normalmente las unidades son x, y los precios son y. También a las cantidades se les llama q, y al precio p. La demanda se comporta así: Entre mas bajo el precio, hay más personas interesadas en comprar entre mas alto el precio hay menos personas i interesadas en comprar. La grafica tiene pendiente decreciente. caso x y, , caso q p, , Paso : aplique la fórmula de pendiente (40) (50) 0 m= = = (4000) (000) m = precio unitario de compra q = cantidad de unidades adquiridas b = intercepto cuando cantidad = 0 (q = 0) EJERCICIO: El negocio de venta de café en tasa, Café Excelente ha observado que si la tasa de café vale 50 lps, venden 000 unidades al mes, pero si el café vale 40 lps, venden 4000 unidades al mes. Determine cuando podrían vender si el café se pone al precio de 45 lps. Paso 4: determine la ecuación ( y 50) = ( x (000) ) y= x y= x y= x+ 00 Paso 5: Redacte la solución matemática en términos aplicados. La ecuación de la demanda es 60 y= x+ 00 Por cada 00 unidades el precio disminuye en un lempira. Paso 6: calcule el valor de x (unidades) si Y (precio) vale 45 Si y= 45 despejamos 4

15 60 45= x = 00 x 5 00 i = x ( ) 500= x Paso 7: redacte la respuesta en términos aplicados. Si el precio es de 45 Lps la venta será de 500 unidades Punto de equilibrio oferta demanda Como pudimos ver los productores (ofertantes) y los consumidores (demandantes) se comportan de diferente manera, por eso sus graficas tienen pendientes diferentes. Cuando se ponen de acuerdo es logra el punto de equilibrio que es el precio al cual ambos venden y compran APLICACIONES DE INGRESOS, COSTOS Y UTILIDADES Los negocios comerciales normalmente funcionan u operan vendiendo productos o servicios, por lo cual reciben un ingreso, a cambio entregan productos o servicios para lo cual tuvieron que pagar costos. En un negocio comercial se manejan tres conceptos principales:. Ingreso: es el valor en dinero que recibe una persona o una empresa a cambio de un producto o servicio.. Costo: son los valores en los que tiene que incurrir una empresa o persona para poder ofrecer un producto o servicio. Utilidad: es la ganancia que logra una persona si vende algo a un valor más alto de lo que le costó. Estos tres conceptos se relacionan por la formula Utilidad = Ingreso Costo U = I - C Como la relación se representa una ecuación podemos expresarla también como Ingreso = costo + utilidad Los ingresos, costos y utilidad se pueden representar por la ecuación lineal. Y=mx+b Donde m es el valor unitario Donde b es el valor fijo A la parte mx se le llama la parte variable de la ecuación porque cambia con cada unidad A la parte b se le llama la parte fija porque se mantiene constante no importa el número de unidades NOTA: En economía en vez de llamarse m al precio unitario se le llama p y en vez de llamarse x a las unidades se les llama q 5

16 En resumen Concepto Total Variable Fijo Parte Y= m*x +b matemática Y= p*q + c Ingresos Yi= Costos Yc= Utilidades Yu= EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de camisetas en la universidad, cada camiseta la piensa vender a 00 lempiras, el compra las camisetas a 0 lempiras por unidad, y además debe pagar por un local la cantidad de 4000 lempiras. El está preocupado porque no sabe cuánto debe vender para poder tener ganancias. El quisiera ganar al mes 9000 lempiras. Yc=mx+b Yc=0x+4000 Paso : calcular la ecuación de utilidad Sabemos U=I - C Utilidad= Yi Yc =(00x+0)-(0x+4000) Utilidad =00x+0-0x-4000 Utilidad == Yu=80x 4000 Si graficamos las ecuaciones de ingreso y costo nos quedaría. Gráficamente lo que tenemos es 4000 zona de perdida zona de utilidad Recta de Ingreso recta del costo PASO : determine los datos y plantee la ecuacion Ingresos Precio unitario de venta = 00 Lps Ingreso fijo =0 Ingreso = Yi Y plantear la ecuación Yi=precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=mx+b Yi=00x+0 Nota: por lo general el ingreso fijo no existe, a menos que la empresa reciba un pago fijo por algo (alquiler, licencias, derechos, etc.= Costos Costo unitario = 0 Lps Costo fijo mensual=4000 Punto de equilibrio La ecuación de ingreso Yi= 00x+0 Nos dice que por cada unidad de x, los ingresos aumentan 00 lempiras. Si vendemos 0 unidades ganaríamos 000 lempiras, por eso se dice que 00x es la parte variable de la ecuación, porque varia o depende del valor de x (unidades) La ecuación de costo Yc= 0x+4000 Nos dice que por cada unidad tendremos que gastar 0 lempiras, si vendemos 0 unidades (x=0) el costo variable será de 00 lempiras. Se dice que es la parte variable, porque depende de cuánto se venda. Se dice que 4000 lempiras es la parte fija, porque venda o no venda igual debemos pagarlo. Y plantear la ecuación Yc=precio unitario (unidades)+costo + fijo La ecuación de utilidad Yu=80x

17 Nos dice que si no vendemos nada (x=0) tendremos una pérdida de 4000 lempiras. Nos dice también que por cada unidad ganamos 80 lempiras Punto de equilibrio: Es el momento en que. Ingresos son iguales al os costos. Utilidades son iguales a cero Calculamos Yu=80x-4000 Yu=0 = 80x-4000 Despejamos: x=4000/80 =50 Ahora ya sabemos que Daniel debe vender al menos 50 unidades para no tener pérdidas. 7

18 Función cuadrática Intercepto en x.= Ix(?,0) El intercepto se calcula cuando y =0 Intercepto en y.= Iy(0,?) El intercepto se calcula cuando x =0 ECUACIÓN Forma polifónica = ax + bx+ c Forma canónica = a( x h) + k Si: g( x) = mx+ b ( ) = a g( x) + c Forma en raíces = a( x x)( x x) CARACTERÍSTICAS DE LA GRAFICA Concavidad Si a = positiva Si a= negativa Vértice (h,k): es el punto máximo o mínimo de la grafica. SI a es positivo es mínimo, si a es negativo es máximo b h= a ( x + x) h= k = = a( h) + bh+ c EJEMPLO: = x + x 0 a=, b=,c=-0 Paso : calculamos el vértice (k,h) () h= = () () h= = () Paso : determine el intercepto en y x=0 k = f(0) = (0) + (0) 0= 0 Iy=(0,-0) Paso : determine el intercepto en y y=0 0= x + x 0 Factorizando 0=(x+5)(x-4) x = 5 x =+ 4 Ix=(0,-5) Ix=(0,4) Paso 4: Elaborar tabla de valores (opcional) x y / -8/4= Paso 5: graficar

19 Aplicaciones de la función cuadrática Recordamos las aplicaciones lineales. Ingreso = precio unitario (unidades)+ingreso fijo Yi=p*q+fijo p=precio unitario de vena q=unidades Costo = costo unitario (unidades)+costo fijo Yc=p*q+fijo p=precio unitario de vena q=unidades Utilidad=margen unitario (unidades) + utilidad fija Yu=p*q+fijo p=precio unitario de vena q=unidades SI el precio es constante es una aplicación lineal Nota: Cuando el precio incluye descuento por volumen, se convierte en una aplicación cuadrática EJEMPLO: Daniel piensa poner un negocio de venta de camisetas en la universidad, cada camiseta la piensa vender a 00 lempiras, el compra las camisetas a 0 lempiras por unidad, y además debe pagar por un local la cantidad de 4000 lempiras. El está preocupado porque no sabe cuánto debe vender para poder tener ganancias. El quisiera ganar al mes 9000 lempiras. Nota: esta aplicación lineal se vuelve cuadrática si aplicamos descuentos por volumen. Daniel piensa poner un descuento al precio por volumen de lempiras cada 00 unidades ( d = ), por lo que ahora el precio es 00 p= Tambien consiguió un descuento al precio del costo de lempira cada 00 unidades ( d = ),, por lo que ahora el precio es 00 p= 0 00 PASO : Planteamos las ecuaciones de ingreso y costo. INGRESOS: recordamos Yi=p(q)+fijo p= q=x ingreso fijo = 0 yi= 00 ( x) yi= 00x x 00 COSTOS: recordamos YC=p(q)+fijo p= 0 00 q=x ingreso fijo = 0 yc= 0 ( x) yc= 0x x 00 Paso : calculamos la utilidad U = I C U=Yi Yc U = 00x x 0x x

20 U = 00x x 0x+ x U = 80x x 00 PASO : Elaborar la grafica de utilidad U = x + 80x a=-/00 b=80 c=0 80 h= = k = f( h) = ( 4000) + 80(4000) K=60,000 PASO 4: Establecer la interpretación comercial de los resultados PUNTO MÁXIMO O MÍNIMO Como a = negativo, la grafica es cóncava hacia abajo, y por tanto el vértice representa el punto máximo. Que es la utilidad máxima de 60,000 lempiras para una producción de 4000 unidades UTILIDAD NULA. Cuanto la grafica intercpeta con el eje x, se producen las utilidades nulas, que ocurren en la producción 0 y la producción a Interceptas U = x( x+ 80) 00 X=0 X=8000 Tabla de valores x y Grafica

21 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Ejemplos Dominio = R =Reales Rango SI a es positivo [ k, + [ Si a es negativo ], k] Ecuacion y= a mx+ b + c Si g( x) = mx+ b Tambien Tenemos la forma y= a g( x) + c Forma de la grafica SI a es positivo Si a es negativo Característica de la grafica Vertice (h, k) h: es igual a x si g( x ) = 0 k: k= f(h)= = a m( h) + b + c k= f(h)= c Intercepto en y = Iy =(0,?) EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de y= x 6 + Paso : determinar vértice (h, k) g( x ) = 0 x-6=0 X=6/= y= () 6+ y= y= 0 + y=+ Paso : determinar intercepto en y Iy(0,?) X=0 y= (0) 6 + y= 6 + y= (6) + y= Iy(0,-) Paso : determinar el intercepto en x Ix(,0) Y=0 0= x 6 + = x 6 = x 6 = x 6 Intercepto en x = Ix =(?,0)

22 + - =+ x 6 = x 6 ( ) = x 6 + 6= x 9 = x x= Ix(, 0) Ix(, 0) Paso 4: elaborar grafica ( ) = x+ 6 x= + 6 x= x= x= Paso 5: determinar dominio y rango Dominio = R =Reales Rango: Como a es negativo ],]

23 FUNCIÓN RADICAL Ecuacion y= a mx+ b+ c Si g( x) = mx+ b Tambien Tenemos la forma y= a g( x) + c Forma de la grafica SI a es positivo y m es positivo. Si a es negativo Y m es positivo. Característica de la grafica Vertice (h, k) h: es igual a x si g( x ) = 0 k: k= f(h)= = a m( h) + b+ c k= f(h)= c Intercepto en y = Iy =(0,?) Intercepto en x = Ix =(?,0) Dominio SI m es positivo [h, + [ Si m es negativo ], h] EJERCICIO: Graficar y determinar dominio y rango de y= x 6+ Paso : determinar vértice (h, k) g( x ) = 0 x-6=0 X=6/= y= () 6+ y= 6 6+ y= 0+ y=+ Paso : determinar intercepto en y Iy(0,?) X=0 y= (0) 6+ y= 6+ No existe, porque no se puede calcular la raíz de un negativo. Paso : determinar el intercepto en x Ix(,0) Y=0 0= x 6+ = x 6 = x 6 = x 6 () = ( x 6) 9= x = x 5 = x x= 5 Ix(5,0) Rango SI a es positivo [ k, + [ Si a es negativo ], k]

24 Paso 4: elaborar grafica 4 y

25 FUNCIÓN RACIONAL Ecuación P( x) y= Q( x) Donde P(x) es un polinomio y Q(x) es un polinomio diferente de cero Ecuación factorizada P( x) p( x) ip( x) ip( x) y= = Q( x) q( x) iq ( x) iq( x) Donde P( x) = p( x) ip ( x) ip( x) Q( x) = q( x) iq ( x) iq( x) CARACTERISTICAS DE LA GRAFICA Asíntota Vertical (AV): es una línea vertical imaginaria a la que la gráfica se acerca por la derecha y por la izquierda pero jamás la toca o cruza. Sabemos que Q(x) no puede ser cero porque la división entre cero no existe. Y por tanto ningún factor de Q(x) puede ser cero. Si nos acercamos a este valor por la derecha o por la izquierda, lo que ocurrirá es que los valores de y tenderán a o + Ejemplo y= ( x ) AV ocurre cuando x-=0 despejando x= Verificamos por la izquierda X=.9999 y= (.9999 ) =-0,000 (tiende a - ) 5

26 Verificamos por la derecha X=.000 y= (.000 ) =0,000 (tiende a + infinito) Asíntota Horizontal y Oblicua: Es una línea recta horizontal u oblicua a la cual tiende la gráfica en los valores que infinito y + infinito. Lo que sucede en los valores cercanos a + infinito o infinito es que el resultado final esta determinado por la división de los términos principales de P(x) y de Q(x) x y = x + 00x y= x E+5 E+5 Por tanto la tendencia del y e - infinito o + infinito depende solo del termino principal. Caso horizontal y distinto de 0: cuando los grados de polinomio de P(x) y Q(x) son iguales la división de los términos será una constante: la cual determinara una recta horizontal a la que la gráfica tendera en infinito o + infinito: Ejemplos x + x = = 5x + 8x + 5x 5 La asíntota horizontal será y=/5 y su grafica: Podemos verificarlo con la tabla de valores 6

27 x + = x 5x + 8x Vemos que a medida que vamos a mas y menos infinito mas nos acercamos a /5=0.60 Caso horizontal y igual a 0 Cuando el grado del polinomio Q(x) es mayor que P(x),el resultado de dividir los términos principales es: k k k x, x, x, etc. Donde k es una constante Esto lo confirmamos con esta tabla de valores: Si k = k x y= x Como vemos la tendencia es acercarse a la recta horizontal y=0 Caso oblicuo: Cuando la división de los términos establece un término lineal se produce una asíntota con pendiente inclinada Ejemplo 4 4 7x + 9 7x 7x = = 5x + x + 0 5x 5 La asíntota será una recta con pendiente 7/5 Para determinar el valor exacto de la ecuación de la línea recta debemos hacer la división de ambos polinomios La ecuación de la asíntota horizontal será 7

28 Y la grafica será: Caso sin asíntota horizontal u oblicua: Si se tiene asíntota hozontal no se tiene oblicua y viceversa. Ocurre cuando el grado del polinomio del numerador de la función es dos o más grados superior al inferior. 4 4 x + 0 x x = = 5x + 5x 5 La grafica de la función es roja la gruesa, la gráfica en el infinito es la punteada. Nota: Después del caso lineal (asíntota oblicua) los demás casos se consideran que van a menos o mas infinito según sea Punto faltante: Cuando se puede cancelar un factor del denominador Q(x) con el del numerador P(x) se dice que ese factor crea un punto faltante. Ejemplo: ( x ) = = ( x+ )( x ) ( x+ ) En este caso es fácil ver que tenemos un factor común (x-), y es fácil de cancelar, sin embarfo si el problema se nos presenta asi 8

29 ( x ) = x + x 6 No podemos saber qué pasa. Lo que si podemos saber es que al sustituir x= nos queda: (() ) 0 0 = = = () + () La división 0/0 no está definida por tanto este punto no se puede graficar. Regla: siempre que al sustituir un valor de x nos quede el caso 0/0 sabemos que al menos existe un caso de un punto faltante REGLAS RESPECTO A LOS FACTORES DE P(X) Y Q(X) Los factores de P(X) solo pueden ser: Intercepto en x Punto faltante Los factores de Q(x) solo pueden ser Asíntota vertical Punto faltante SI un factor esta arriba y abajo y puede simplificarse en al dividirse entonces ese factor será punto faltante, y la formula de la función podrá simplificarse Ejemplo P( x) = = x Q( x) Paso : Factorizar y clasificar los factores En este ejemplo no se ocupa factoizar Concepto Factor Valor de x si factor =0 Tipo P(x) arriba - No aplica No aplica Q(x) abajo x- X= AV: asíntota vertical Paso : METODO DE TABLA DE VALORES Se elabora una tabla de valores que incluya los valores de x de la tabla de factores, y se agregue un valor de -0 o -00 que represente menos infinito y uno de +0 o +00 que represente más infinito. Y se debe agregar el intercepto de y, o sea cuando x=0. 9

30 Tipo x X Y -0 Iy 0 AV + +0 El problema con esta tabla de valores es que el valor de x= no esta definido porque /0 no esta definido por lo que no se puede evaluar y menos graficar. Por lo cual agregaremos a la tabla de valores un valor cercano a antes y despue y calculamos los valores de y Podemos ver que Tipo x X Y Iy 0 / AV-Δ AV No Aplica AV+Δ cuando x tiende a valores cercanos a menos infinito y tiende a valores de 0 positivos. cuando x tiende a valores cercanos a mas infinito y tiende a valores de 0 negativos. que cuando x se acerca a por la izquierda los valores de y tienen a mas infinito que cuando x se acerca a por la derecha los valores de y tienen a menos infinito Con esto ya podemos graficar estas tendencias: 4 0 AH:y= AV:x= Si unimos estas tendencias tendremos la grafica final 0

31 Dominio = R eales {} Notamos que son los reales menos los valores que hacen cero Q(x) Rango: Reales {0} EJEMPLO x x = x 9x Paso : factorizar x x x( x ) = = x 9 x x( x )( x ) Paso : identificar factores eliminables y Punto Faltante. x( x ) ( x ) = = x( x+ )( x ) ( x+ )( x ) Observamos que el factor x está arriba y abajo y puede simplificarse. Por tanto x=0 es un punto faltante (PF). Para averiguar cuanto vale en y sustituimos en la formula simplificada (0 ) f(0) == = = (0+ )(0 ) 9 9 PF=(0, /9) Paso : elaboramos tabla de factores y su clasificacion Concepto Factor Valor de x si factor =0 Tipo P(x) No aplica No aplica arriba x x PF x- X= Ix

32 Q(x) abajo x x PF x- X= AV: X+ X=- AV: Paso 4: diseñamos tabla de valores Tipo x X Y -00 AV - Iy, PF 0 Ix AV Paso 5: elaboramos tabla de valores Tipo x X Y AV - Δ AV - No Definido AV + Δ PF- Δ Iy, PF 0 0. PF+ Δ Ix AV- Δ AV No Definido AV + Δ Paso 6: determinamos asíntota horizontal /oblicua x x x = = x 9x x x Lo que nos da que la Asíntota Horizontal es AH: Y=0 Paso 7: graficamos

33 + METODO POR SIGNOS En vez de calcular toda la tabla de valore podemos utilizar la técnica de tabla signos En este método buscamos averiguar si la grafica es positiva o negativa, para lo cual averiguamos que signo produce cada factor en un punto dado de x. Por ejemplo ()(0 ) ( + )( ) f(0) = = = = ( + ) (0+ )(0 ) 9 ( + )( ) Sabemos que si el factor es Factor=X-, como funcion y =X- El signo que producirá sera x y=x signo Si el factor ubiera sido Factor =(-x + 4), como funcion Y= (-x + 4) x y=-x signo Observamos que si la x es negativa los signos cambian El objetivo al final es hacer ls siguiente tabla Valor de x AV IY,PF IX AV Tipo Factor si fac =0-0 + No aplica P(x) x x x- X= x x Q(x) x- X= X+ X= f(x)= Con esta tabla más la asíntota horizontal podemos hacer fácilmente la grafica

34 AV IY,PF IX AV AH:y=0 Uniendo las flechas nos queda AV IY,PF IX AV AH:y=0 Que es lo mismo que si hubiéramos usado valores Dominio: R eales {0,,-} Notamos que el dominio toma todos los reales menos los valores que hacen cero el denominador Rango: R eales El rango depende de la grafica 4