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2 FC 1125 Matemáticas III Ene - Mar 2009 Clase 1: Cónicas Profesor: David Coronado 1.1. Cónicas Las cónicas son curvas que se obtienen de la intersección de un plano con uno o cos conos. Parábolas La parábola es el conjunto de puntos P que equidistan de la directriz l y del foco F. Interpretando la denición tenemos que una parábola con directriz vertical tiene ecuación canónica y 2 = px. Por ejemplo, la ecuación y 2 = x genera la gráca de la derecha. Parabola horizontal 1-1

3 Clase 1: Cónicas 1-2 De manera análoga, la ecuación x 2 = 3y corresponde a una parábola de directriz horizontal y foco sobre el eje Y, como lo muestra la gráca a la izquierda. Parabola vertical Si sustituimos x por x x 0 y y por y y 0 tenemos las parábolas con foco en F (x 0, y 0 ) y correspodientemente directriz vertical y horizontal: (y y 0 ) 2 = p(x x 0 ) (x x 0 ) 2 = p(y y 0 ) Para gracarla, ubicamos el vértice, y dependiendo cual variable esté elevada al cuadrado y el signo, trazamos la parábola: Parabola vertical trasladada de ecuación y + = (x 2) 2 Parabola horizontal trasladada de ecuación x 1 = 2(y 2) 2 Elipses Una elipse es el conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano tales que la suma de sus distancias hasta dos puntos jos llamados focos F 1, F 2, es una constante 2a. La ecuación canónica de la elipse de centro (0, 0) y con vértices en (a, 0), (0, b), ( a, 0) y

4 Clase 1: Cónicas 1-3 (0, b) es x 2 a 2 + y2 Nuevamente, si sustituimos x por x x 0 y y por y y 0 nos queda la ecuación canónica de la elipse con centro (x 0, y 0 ) y vértices (a + x 0, y 0 ), (x 0, b + y 0 ), ( a + x 0, y 0 ) y (x 0 0, b + y 0 ): (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 Para gracarlas, dibujamos el centro, luego nos desplazamos en la horizontal la distancia a (hacia los lados) y en la vertical b (arriba y abajo), luego unimos los puntos: Las grácas correspondientes: Elipse centrada en el origen: x y2 9 = 1 Para gracar la elipse trasladada, primero gracamos los puntos claves y luego trazamos la curva, esto se muestra en las siguientes grácas: Puntos claves para la elipse (x 3) 2 + y+12 5 = 1 Gráca de (x 3)2 + y+12 5 = 1 Hipérbolas Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos P (x, y) en el plano tales que la diferencia de sus distancias hasta dos puntos jos llamados focos F 1, F 2, es una constante 2a.

5 Clase 1: Cónicas 1- La ecuación canónica de la hipérbola de centro (0, 0) y con vértices en (a, 0) y ( a, 0) es x 2 a 2 y2 Si por el contrario, tiene vértices (0, b) y (0, b) la ecuación resulta x2 a 2 + y2. Nuevamente, si sustituimos x por x x 0 y y por y y 0 nos queda la ecuación canónica de la elipse con centro (x 0, y 0 ) y vértices (a + x 0, y 0 ), ( a + x 0, x 0 ), (y 0, b + y 0 ) y (x 0, b + y 0 ) Veamos las grácas de dos hipérbolas: (x x 0 ) 2 a 2 (y y 0) 2 (x x 0) 2 a 2 + (y y 0) 2 Nuevamente, primero gracamos la Hipérbola centrada en el origen x2 9 y2 16 = 1 cajita, luego trazamos las asíntotas, y nalmente la curva: Elipse Trasladada de ecuación (x+2) 2 16 (y 1)2 25 = 1 Cajita para la hipérbola

6 Clase 1: Cónicas 1-5 Ejemplo 1.1. Graque las siguientes cónicas: 1. La gráca de y 2 = x es una parábola, de vértice (0, 0), ¾sabes hacia donde abre? 2. Nuevamente tenemos una parábola, 6y 2x 2 = y2 = 1 corresponde a una elipse centrada en el origen. Aquí, a = 6, b = 2. Ubicando los puntos claves a ubicar son P 1 (6, 0), P 2 (0, 2), P 3 ( 6, 0) y P (0, 2). 3. La gráca de x2 ¾Cómo queda la gráca. 9 y2 = 1: Centrada en el origen, a = 3, b =. Los 16 puntos claves son P 1 (3, 0), P 2 (0, ), P 3 ( 3, 0) y P (0, ). La cajita y las asíntotas. A continuación una hipérbola: x2 quedan: ¾Cómo queda la gráca. 5. Esta ecuación x2 Cajita de x2 9 y2 16 = y2 = 1, corresponde a la gráca una hipérbola con la misma 16 cajita del ejemplo anterior. ¾Cuál es la diferencia? 6. Como en la ecuación y 2 x 12y + 28 = 0, no aparece x 2, la misma corresponde a una parábola. Para llevarla a la forma canónica, debemos completar cuadrado en y, antes asociamos términos semejantes: y 2 x 12y + 28 = 0 Aquí notamos, del lado derecho, que y 2 x + 28 = y y x 28 = y 2 12y corresponde al cuadrado del primero y 12y corresponde a dos veces el primero por el segundo. Así que el segundo debe ser 6,

7 Clase 1: Cónicas 1-6 entonces debemos sumar y restar 36 (= 6 2 ): x 28 = y 2 12y = (y 2 12y + 36) 36 = (y 6) 2 36 x + 12 = (y 6) 2 (x + 3) = (y 6) 2 En efecto, una parábola vertical, de vértice V ( 3, 6) que abre hacia el lado positivo. 7. La ecuación Para gracarla: (x 1)2 9 (y 2)2 16 = 1, corresponde a una hipérbola, de centro C(1, 2). 8. Note que en la ecuación x 2 y 2 8x 6y 5 = 0, aparecen x 2 y y 2 con signos diferentes, entonces la gráca correspondiente es una hipérbola. Nuevamente, para llegar a la ecuación canónica, debemos completar cuadrados: x 2 y 2 8x 6y 5 = 0 (x 2 2x) (y 2 + 6y) = 5 (x 2 2x + 1 1) (y 2 + 6y + 9 9) = 5 (x 1) 2 (y + 3) 2 = (x 1) 2 (y + 3)2 = 0 Como la ecuación resultó igualada a cero, la gráca correspondiente es lo que llamamos una hipérbola degenerada: Su gráca: (x 1) 2 (y + 3)2 = 0 x 1 = ± y + 3

8 Clase 1: Cónicas 1-7 Hipérbola degenerada (x 1) 2 (y+3)2 = 0 9. La ecuación x 2 + y 2 + 6x 2y + 6 = 0 corresponde a una elipse (por aparecer x y y al cuadrado), es más, como aparecen con el mismo coeciente, es una circunferencia. completando cuadrados (como en el ejemplo anterior): x 2 + y 2 + 8x 2y + 6 = 0 (x 2 + 8x) + (y 2 2y) = 6 (x 2 + 8x ) + (y 2 2y + 1 1) = 6 (x + ) 2 + (y 1) 2 = (x + ) 2 + (y 1) 2 = 9 Una circunferencia de radio r = 3 y centro C(, 1