SOLUCIONARIO Ecuaciones de segundo grado

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1 SOLUCIONARIO Ecuaciones de segundo grado SGUICES00MT1-A16V1 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Ecuaciones de segundo grado Ítem Alternativa 1 E A E 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 C 10 A 11 B 1 A 1 E 14 C 15 B 16 A 17 D 18 E 19 A 0 C 1 E B Comprensión D 4 B 5 D

3 1. La alternativa correcta es E. x(x + 1) = 0 x + 1x 0 = 0 (x + 15)(x ) = 0 x + 15 = 0 x = 15 x = 0 x =. La alternativa correcta es A. x 1 = 5 y x = 11 x 5 = 0 ó x + 11 = 0 Luego, la ecuación es (x 5)(x + 11) = x 5x + 11x 55 = x + 6x 55 = 0. La alternativa correcta es E. Como (x ) = 9 x 4x = x 4x 5 = 0 (x 5)(x + 1) = 0 x 5 = 0 x = 5 x + 1 = 0 x = 1 4. La alternativa correcta es C. Con el cambio de variable a = x a = x a 9. Luego, 10 a x 9 10 x Resolviendo, resulta x + 9 = 10x x 10x + 9 = 0 (x 9)(x 1) = 0

4 x 9 = 0 x = 9 a = 9 a = x 1 = 0 x = 1 a = 1 a = 0 5. La alternativa correcta es D. 1 x 14 x + 1 = 14x x 14x + 1 = 0 (x 1)(x 1) = 0 x x 1 = 0 ó x 1 = 0 x = 1 ó x = 1 Luego, si x = 1 1 = 1 + = 4 y si x = 1 1 Por lo tanto, el menor valor para la expresión es La alternativa correcta es C. 1 m m = m m + m = 0 (m + )(m 1) = 0 m m + = 0 m = m 1 = 0 m = 1 7. La alternativa correcta es B. I) Tiene soluciones no reales, ya que al ordenarla a² + a + = 0, su discriminante es < 0 raíces no reales. 4

5 II) Tiene soluciones no reales, ya que al ordenarla b² b + 5 = 0, su discriminante es ( ) < 0 raíces no reales. III) No tiene soluciones no reales, ya que al ordenarla c² 5c + = 0, su discriminante es ( 5) > 0 raíces reales. Por lo tanto, solo I y II tienen soluciones no reales. 8. La alternativa correcta es A. Ordenando la ecuación: x x 1 x x 1 0. Aplicando la fórmula, queda: b x b 4ac a ( ) ( ) i 11i Como 1 i, entonces x 4 4 Es decir, las soluciones de la ecuación 1 1 x x 1 0 son i y 1 1 i. 9. La alternativa correcta es C. Siempre que una ecuación de segundo grado tiene una raíz compleja, entonces la otra raíz también es compleja y es conjugada con la primera. Entonces, si una de las soluciones es (1 + i), entonces la otra es (1 i). Luego, se cumple que x = 1 + i ó x = 1 i x 1 i = 0 ó x 1 + i = 0. Entonces, (x 1 i)(x 1 + i) = 0 Desarrollando, resulta x² x + xi x + 1 i xi + i + 4 = 0 x² x + 5 = 0 5

6 10. La alternativa correcta es A. Ordenando la ecuación m² = 4m 1 m² 4m + 1 = 0. Aplicando la fórmula, queda: b m b 4ac a ( 4) ( 4) i Como 1 i, entonces m Es decir, las soluciones de la ecuación m² = 4m 1 son i i y i. 11. La alternativa correcta es B. Como el cuadro es rectangular, entonces Largo Alto = Área. Reemplazando los valores del largo, alto y área, se tiene (x + 1) x = 0. Luego, reordenando la ecuación, queda x(x + 1) 0 = 0 x² + x 0 = 0 1. La alternativa correcta es A. Sea x el valor del largo. Como el sitio es rectangular, entonces: Largo Ancho = Área x (x 10) = 75 x 10x 75 = 0 Resolviendo la ecuación x 10x 75 = 0 (x 15)(x + 5) = 0 x 15 = 0 x = 15 x + 5 = 0 x = 5 Como el valor de x representa una distancia, entonces el valor de x es 15 (ya que no hay distancias negativas). Por lo tanto, el ancho mide (x 10) = (15 10) = 5 metros. 6

7 1. La alternativa correcta es E. Como la terraza es rectangular, entonces Largo Fondo = Área. Reemplazando los valores del largo, fondo y área, se tiene (x + 4) x = 1. Luego, reordenando la ecuación queda x(x + 4) 1 = La alternativa correcta es C. Sea x el valor del ancho. Como el jardín es rectangular, entonces: Largo Ancho = Área (x + ) x = 4 x + x 4 = 0 Resolviendo la ecuación x + x 4 = 0 (x + 6)(x 4) = 0 x + 6 = 0 x = 6 x 4 = 0 x = 4 Como el valor de x representa una distancia, entonces el valor de x es 4 (ya que no hay distancias negativas). Por lo tanto, el largo mide (x + ) = (4 + ) = 6 metros. 15. La alternativa correcta es B. Expresando la ecuación en su forma general, queda 5x(x + ) = k 5x + 10x k = 0 Para que la ecuación no tenga raíces reales, el discriminante debe ser menor que 0. Luego, al reemplazar en el discriminante: b 4ac < 0 (10) 4 5 k < k < < 0k 5 > k 7

8 16. La alternativa correcta es A. Para que la ecuación tenga raíces reales y distintas, el discriminante debe ser mayor que 0. Luego, al reemplazar en el discriminante: b 4ac > 0 ( 8) 4 a 16 > a > 0 64 > 64a 1 > a Por lo tanto, el valor de a deberá pertenecer al intervalo ], 1[. 17. La alternativa correcta es D. Como x kx + = 0, entonces a = 1, b = k y c =. Entonces, el discriminante es = b 4ac = ( k) 4 1 = k² 8. Luego: I) Verdadera, ya que = ² 8 = 4 8 = 4 < 0 raíces no reales. II) Falsa, ya que = ( )² 8 = 4 8 = 4 < 0 raíces no reales. III) Verdadera, ya que = ² 8 = 9 8 = 1 > 0 raíces reales y distintas. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas. 18. La alternativa correcta es E. Para que la ecuación tenga raíces reales e iguales, el discriminante debe ser igual a 0. Luego, al reemplazar en el discriminante: b 4ac = 0 (8 + k) 4 9 k = k + k² 6k = 0 k 0k + 64 = 0 Resolviendo dicha ecuación, resulta k 0k + 64 = 0 (k 16)(k 4) = 0 8

9 k 16 = 0 k = 16 k 4 = 0 k = La alternativa correcta es A. Por propiedad de las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado: b 7 c 5 x 1 x 7 y x 1 x 5 a 1 a 1 Luego, (x 1 + 1)(x + 1) = (x 1 x + x 1 + x + 1) = ( ) = La alternativa correcta es C. Reordenando la ecuación tenemos x 9x + 15 = 0, donde a = y b = 9. Por propiedad de las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado: b ( 9) 9 x 1 + x = a 1. La alternativa correcta es E. Como 7x 11 x = 0, entonces a = 1, b = 7 y c = 11. Luego: b 7 I) Verdadera, ya que x + x = 7 1 a 1 9

10 c 11 II) Verdadera, ya que x x = 11 1 a 1 III) Verdadera, ya que si el producto es positivo, significa que ambas raíces tienen igual signo, y si además la suma es positiva, significa que ambas son positivas. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.. La alternativa correcta es B. Comprensión Analizando la ecuación de segundo grado tenemos que a = r, b = s y c = t El producto de las soluciones está dado por c t r el recíproco del producto es a r t. La alternativa correcta es D. Por propiedad de las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado: c k x 1 x = 4 k + = 4k = 5k k a k 5 4. La alternativa correcta es B. (1) b < 0. Con esta información y la del enunciado, no es posible determinar si las raíces (o soluciones) tienen igual signo, ya que podrían ser ambas negativas o solo la de mayor valor absoluto. 10

11 () c < 0. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar que las raíces (o c c soluciones) tienen igual signo, ya que x1 x. Como es positivo, entonces x1 x a a también, lo que implica que x 1 y x tienen igual signo Por lo tanto, la respuesta es: () por sí sola. 5. La alternativa correcta es D. (1) El largo de la cancha mide 60 metros más que el ancho. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar el largo de la cancha, ya que si x es el ancho, se resuelve la ecuación x(x + 60) = () El perímetro de la cancha es 00 metros, sabiendo que el largo es mayor que el ancho. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar el largo de la cancha, ya que si x es el ancho, se resuelve la ecuación x(100 x) = Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola. 11