Ecuaciones e inecuaciones

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1 Ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS 00 Indica los elementos de estas ecuaciones. a) ( + ) ( 5) + 7 b) + ( ) 9 + a) Incógnita: Miembros: ( + ) ( 5) + ; 7 Grado: b) Incógnita: Miembros: + ( ) 9; + Grado: 00 Cuáles de los siguientes valores son solución + 5 de la ecuación? a) b) 5 c) d) La solución es la del apartado d). 00 Comprueba si estas ecuaciones tienen la misma solución, es decir, si son ecuaciones equivalentes. a) 7 y 0 b) 9 0 y ( ) 0 a) Tienen la misma solución,. b) No son equivalentes, ya que tienen una solución común ( ), pero la otra no. 00 Escribe una ecuación que tenga como solución: a) 0 b) c) a) 0 b) 5 8 c) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 8 6 c) b) d) a) 6 8 b) 7 ± 9 7 ± c) ± 96 9 ± 0 7 d) 0 ± ± 0 No tiene solución

2 SOLUCIONARIO 006 Opera y resuelve esta ecuación. ( ) ( + ) + 00 ( ) ( + ) ± 00 ± Encuentra una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean y 7. ( ) ( + 7) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 7 0 b) 0 c) 0 a) 7 7 b) c) Determina el número de soluciones que tienen estas ecuaciones. a) b) a) Δ Una solución b) Δ 5 < 0 Ninguna solución 00 Halla el valor de a en estas ecuaciones para que tengan dos soluciones. a) a + 0 b) + a 0 a) Δ 8a > 0 a < b) Δ a > 0 a > a > o a < 0 Escribe dos ecuaciones de segundo grado cuya única solución sea

3 Ecuaciones e inecuaciones 0 Calcula las soluciones de estas ecuaciones bicuadradas. a) c) b) d) a) + 7 z 0 z + 7z 0 z z ± z 7 6 z z ± 7+ 6 No tiene solución. b) 6 z + 0 6z z + 0 z ± z 8 z 7 9 z z 9 c) 5 z + 0 z 5z + 0 z 5 z, z ± 5 6 z z, d) 6 z + 0 z 6z + 0 z 6 z, z ± 6 z z, 0 Opera y resuelve. ( + ) 0 ( + ) 0 + z 0 z + z 0 5 z 5 z z ± + +, + 5 z 5 z No tiene solución. 8

4 SOLUCIONARIO 0 Escribe una ecuación bicuadrada que tenga como soluciones 0 y Resuelve estas ecuaciones. a) c) ( + ) ( 7) ( + ) b) d) ( ) ( + + ) ( + 5) 0 + ( + 6) a) b) ± 6 6 ± ( 6) ( ) ( ) ( ) ± + ± c) + 0 d) No tiene solución. 06 Resuelve. a) b) ( + ) 0 ( ) 9 a) ( ) 9 9 ( ) 9 ( ) ( ) 9 ( ) 6 ± ± b) 0 0 ( + ) 0 9

5 Ecuaciones e inecuaciones 07 Escribe una ecuación que tenga como soluciones,, 0 y 6. ( + ) ( + ) ( 6) Razona cuáles de los valores son solución de la ecuación a) c) b) d) La solución es la del apartado b). 09 Resuelve las ecuaciones. a) 9 + b) 6 a) ± 59 8 ± b) ± 69 ± Resuelve. a) b) a) b) ( ) 9 0 (9 )

6 SOLUCIONARIO 0 Escribe una ecuación con radicales que tenga como solución. + 0 Transforma cada inecuación, realizando la operación que se indica. a) Suma a <. b) Resta 5 a > +. c) Multiplica + por. d) Divide entre. e) Divide < entre. a) + < 5 b) 9 > c) d) e) 0 + < 0 Determina tres soluciones en cada caso. a) b) + > 0 c) + < d) + a) 7, 0, 6 b) >, 0, 5 c) < 6, 0, 6 d) 0, 0, 6 0 Escribe dos inecuaciones que tengan como solución 0. 7 < 5 8 > 05 Resuelve estas inecuaciones. a) + 5 > 6 b) 7 < 6 a) 6 > 5 7 > 6 < 7 b) < >

7 Ecuaciones e inecuaciones Calcula la solución de las siguientes inecuaciones. a) b) > c) < d) 6 a) ( ) 0 ( ) 0 0, La solución es el intervalo [0, ]. b) > ( ) > 0 ( ) 0 0, La solución es los intervalos (, 0) y (, + ). c) < ( ) < 0 ( ) 0, La solución es el intervalo (, ). d) 6 ( 9) 0 ( 9) 0, La solución es el intervalo [, ]. Resuelve estas inecuaciones. a) ( + ) 0 c) b) + ( ) < 5 d) < + a) ( + ) 0 0 b) + ( ) < 5 + < 5 < > c) 0 0, La solución es los intervalos (, ] y [, + ). d) < + < 0 0 0, La solución es los intervalos (, 0) y., + Escribe una inecuación cuya solución sea el intervalo [, + ). 5 EJERCICIOS 09 Identifica los elementos de cada ecuación, y completa la tabla en tu cuaderno. Ecuación. er miembro. o miembro Incógnita Grado ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( 5) ( 5) + y + y, y

8 SOLUCIONARIO Relaciona cada ecuación con sus soluciones. a) ) b) ( + ) 0 ) c) ( ) ( + ) 0 ) d) ) 0 e) ) 8 a) ) b) ) c) ) y ) d) ) y 5) e) ) Escribe una ecuación que cumpla estas condiciones. a) De grado y con solución 5. b) De grado, con paréntesis y fracciones. c) De grado y producto de dos factores. d) De grado y una de las soluciones 0. a) 0 0 c) ( ) ( + ) 0 b) ( 5) + 8 d) 0 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) + ( + ) 8 ( + ) 6 b) 6 5 ( ) ( ) 5 + c) + ( 6) 5 6 ( +) d) ( + 5) ( + ) + e) + + f) g) ( + ) ( + 6) h) a) b) c) d) e) f) g) h) 6 7 6

9 Ecuaciones e inecuaciones 0 Escribe una ecuación de primer grado cuya solución sea: a) c) e) 0 g),5 b) d) f) 5 5 h) Sin solución a) c) 0 e) g) 5 0 b) 0 d) 0 f) + h) + 0 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) e) i) + 7 b) f) 0 j) c) g) 8 5 d) + 0 h) + 0 a), b), c), d) 7 +, e) 5, f) 6, 5 5 g), 7 h) i) j) No tiene solución. 05 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES CUYOS COEFICIENTES SON MÚLTIPLOS DE UN MISMO NÚMERO? Fíjate en los coeficientes de esta ecuación y resuélvela. 8 0 PRIMERO. Cuando todos los coeficientes son múltiplos del mismo número, se calcula el máimo común divisor y se etrae factor común en la ecuación. m.c.d. (,, 8) ( ) 0 SEGUNDO. Se dividen los dos miembros de la ecuación entre el máimo común divisor. ( ) 0 0 TERCERO. Se resuelve la ecuación equivalente resultante. ± ( ) ± 5 6

10 SOLUCIONARIO Resuelve, sacando factor común. a) b) c) d) e) a) ( + + ) 0 b) ( + + ) 0, c) ( ) 0 9, d) ( ) 0, e) , Resuelve las siguientes ecuaciones. a) d) + 0 b) e) c) 5 0 f) 7 a) 0, 6 d) 0, b) 0, e) c) 0, f) Resuelve estas ecuaciones de segundo grado. a) 5 0 d) 8 b) 8 8 e) 5 00 c) 8 0 f) 0 0, 7 0, a), d), 5 5 b), e) 0, 0 c), f) 6, 6 5

11 Ecuaciones e inecuaciones 09 Indica el número de soluciones de las ecuaciones sin resolverlas. a) + 0 e) + 0 b) + 0 f) + 0 c) g) + 0 d) h) a) Δ 0 Una solución e) Δ 0 Una solución b) Δ 9 > 0 Dos soluciones f) Δ > 0 Dos soluciones c) Δ < 0 Sin solución g) Δ > 0 Dos soluciones d) Δ 7 < 0 Sin solución h) Δ < 0 Sin solución 00 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas y comprueba la solución. a) e) b) 9 0 f) + 8 c) 6 0 g) 0 d) h) + 7 a) + z 8 0 z + z 8 0 z z z ± z z 8 8 No tiene solución. b) 9 0 ( 9) 0 0,, c) z 6 0 z 6 0 z z, z z No tiene solución. d) 0 z z 0z z 0 ± 00 6 z 9 9, z z z, e) + 8 z z + 8z z z No tiene solución. z z 5 5 No tiene solución. f) + z 8 0 z + z 8 0 z z, z z 6 6 No tiene solución. 6

12 SOLUCIONARIO g) z 0 0 z z 0 0 z z 5 5 5, 5 z z No tiene solución. h) 7 z + 0 z 7z + 0 z z, z z, 0 Resuelve las ecuaciones mediante la regla que afirma que «el producto de etremos es igual al producto de medios». a) b) c) d) 7 a) + 8 (6 ) 70 5 b) ( ) 5 ( ) 7 7 c) ( + ) ( 6) 5 0 d) 7 (6 + ) ( ) Resuelve. 5 a) + + b) + ( + ) 5 a) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 5 ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) b)

13 Ecuaciones e inecuaciones 0 Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas. a) + d) 0 + b) 5 e) ( ) 6 c) f) a) b) , 5 ( ) 8 5 c) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 5 d) e) f) ( + ) + ( ) ( ) , ( ) 6 9 ( ) + 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 Resuelve las ecuaciones. a) ( 8) (8 ) 0 b) ( 5) 0 5 c) ( + 7) ( ) 0 d) ( + ) (5 ) 0 e) (7 ) ( ) 0 f) ( 9) (0 5) 0 8

14 SOLUCIONARIO a) d) b) 5 0 e) c) f) Calcula la solución de las siguientes ecuaciones. a) ( + ) ( + ) 0 e) ( ) 0 b) ( ) ( + ) 0 f) ( + ) ( ) 0 c) ( ) ( + ) 0 g) 0 d) ( ) 0 a) 0 0 e) ( ) 0 5 ( + ) 0 5 f) ( + ) 0 b) ( ) 0 ( ) 0 5 ( + ) 0 g) 0, c) 0 0 ( ) 0 0 ( + ) d) ( ) 0 ( + ) ( ) 0 ( + ) 0 ( ) 0 06 Resuelve las ecuaciones. a) ( ) ( ) b) ( + ) ( + ) ( ) a) z + 0 z 5z + 0 z z, z z, b) z + 0 z + 7z z + 7 z z z No tiene solución. No tiene solución. 9

15 Ecuaciones e inecuaciones 07 HAZLO ASÍ CÓMO RESOLVEMOS ECUACIONES DE GRADO CON ALGUNA RAÍZ ENTERA? Resuelve esta ecuación: + 0 PRIMERO. Se halla la raíz entera por la regla de Ruffini. 0 + ( ) ( + ) SEGUNDO. Se resuelve la ecuación obtenida al factorizar. ( ) ( + ) ± Halla la solución de estas ecuaciones de grado superior a, tal como se ha eplicado en la actividad anterior. a) e) + 0 b) f) c) + 0 g) + 0 d) a) , b) ( + 8) , c) ( + ) , d) ( 7 + 0) , e) + 0 ( + ) , 0

16 SOLUCIONARIO f) ( 6 + 8) , g) ( ) ( ) 0 0, 09 Resuelve las ecuaciones, factorizando el polinomio de la ecuación. a) 0 c) 5 0 e) 0 g) 0 b) 0 d) + 0 f) 5 0 h) a) ( ) b) ( ) ( + ) c) ( 5) ( + 5) d) ( + ) e) ( ) ( + ) f) ( 5) g) ( ) h) ( ) ( + ) Escribe ecuaciones con estas soluciones. a),, y b) y (solución doble) c) y (solución triple) d) 5, (solución doble) y (solución triple) e), y a) ( ) ( + ) ( ) ( ) 0 b) ( ) ( + ) 0 c) ( ) ( + ) 0 d) ( + 5) ( ) ( + ) 0 e) 0

17 Ecuaciones e inecuaciones 05 Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas. a) d) 0 g) b) e) 0 h) c). 0 f) 9 0 a) b) c) d) ( ) ( + + ) ( + ) ( ) ( + ) 0 6, ( ) ( + + 9) , 9 65 e) ( + 5) ( 5) ( + 5) 0 5 5, 5. 8 f) ( ) ( + + ) g) ( + 8) ( 8) ( ) 0, h) ( ) ( ) Calcula la solución de estas ecuaciones con fracciones algebraicas. a) c) ( + ) 5 b) d) + a) b) ( ) ( ) + ( + ) ( ) Sin solución Sin solución

18 SOLUCIONARIO c) 5 ( + ) ( + ) ( + ) 5 ( + ) , ( + ) ( ) d) + 0 ( + ) 0 0 No es solución porque anula al denominador + 0 8, 05 Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. a) e) 5 0 b) f) c) g) d) 0 h) a) ; no es solución porque b) , no es solución porque c) ; no es solución porque d) + 0 ; e) ; no es soluciòn porque f) ; 6 no es solución porque + ( 6) g) ; h) ;

19 Ecuaciones e inecuaciones 05 Halla la solución de estas ecuaciones con radicales. a) b) a) ( + ) ( ) + + 0, ninguna es solución porque al sustituir no verifican la ecuación. b) , no es solución porque ( ) 5 no eiste Asocia cada enunciado con su correspondiente desigualdad. a) es menor que 5. ) > b) es mayor que. ) 5 > c) es menor que. ) < 5 d) es mayor que 7. ) < 6 e) 5 es mayor que. 5) > 7 f) es menor que 6. 6) < a) ) c) 6) e) ) b) ) d) 5) f) ) Epresa cada enunciado como inecuación, como intervalo y gráficamente. a) Números menores que 9 y mayores o iguales que. b) Números menores o iguales que 0. c) Números mayores que y menores que. d) Números mayores o iguales que 6. e) Números menores que 5 y mayores que 0. f) Números mayores que 8 y menores o iguales que 0. g) Los años que tiene una persona mayor de edad. h) Los números de la matrícula de un coche. a) < 9 [, 9) e) 0 < < 5 ( 0, 5) b) 0 (, 0] f) 8 < 0 ( 8, 0] c) < < (, ) g) 8 [8, + ) d) 6 [ 6, + ) h) [0, 9.999] Completa, para, con el signo (<,, >, ) que corresponda. a) e) i) b) f) j) + c) g) d) h)

20 SOLUCIONARIO a) > f) > b) < g) > c) > h) > d) < i) < e) < j) > Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) verifica que +. b) 0 verifica que + <. c) verifica que + 5. d) 5 verifica que +. a) Verdadera c) Verdadera b) Falsa d) Verdadera 059 Resuelve las inecuaciones. a) < d) + < b) > + e) c) f) 0 a) < < > (, + ) b) > + > < (, ) 5 5 c) , d) + < < > (, + ) e) 5, f) 0 0 (, 0] 060 Resuelve estas inecuaciones. a) 5 + ( ) c) (7 + ) ( 8) < 9 b) + 6( 5) > + d) ( ) 5 0 a) (, ] b) > + > > 8 (8, + ) c) < < > , d) [, + ) 5

21 Ecuaciones e inecuaciones Halla la solución de las inecuaciones. + + a) b) c) d) < 6 0 e) f) > 6 7 a) (, ] b) (, ] 0 0 c) , d) < < 70 >, e) (, 60] 6 6 f) > > 7 >, Resuelve las inecuaciones de segundo grado. a) 0 e) < 0 b) ( ) ( + ) > 0 f) ( + ) ( ) 0 c) < 0 g) 6 < 0 d) ( + 5) 0 h) a) 0 0, La solución es los intervalos (, ] y [, + ). b) ( ) ( + ) > 0 ( ) ( + ) 0, La solución es los intervalos (, ) y (, + ). c) < 0 0, La solución es el intervalo (, ). d) ( + 5) 0 ( + 5) 0 0, 5 La solución es el intervalo [ 5, 0]. 6

22 SOLUCIONARIO e) < , 5 La solución es el intervalo (, 5). f) ( + ) ( ) 0 ( + ) ( ) 0, La solución es los intervalos (, ] y [, + ). g) 6 < , La solución es el intervalo (0, ). h) 0 0 0, La solución es el intervalo [0, ]. 06 Resuelve las inecuaciones de segundo grado. a) + < 0 b) c) d) e) < 0 f) a) + < No tiene solución. b) La solución es. c) 0 0, La solución es los intervalos (, ] y [, + ). d) La solución es toda la recta real. e) < No tiene solución. En todos los valores de es positiva, por lo que no tiene solución. f) No tiene solución. En todos los valores de es positiva, por lo que la solución es toda la recta real. 7

23 Ecuaciones e inecuaciones 06 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS? Resuelve la inecuación + y >. PRIMERO. Se considera la función lineal asociada a la inecuación, sustituyendo el signo > por. + y > + y y SEGUNDO. Se representa gráficamente la función que representa, que será una recta que divide el plano en dos partes. Y 0 y X y TERCERO. Se elige un punto en cada parte del plano y se comprueba si cumple la inecuación. Tomamos, por ejemplo, el punto (, 0): + 0 > Cumple la inecuación. El punto (0, 0) del otro semiplano: > No cumple la inecuación. Y (0, 0) (, 0) X Si un punto del semiplano cumple la desigualdad, entonces todos la cumplen. La solución es el semiplano de la derecha. 065 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) + y b) y < c) + y > d) + 5y 0 e) + y > y f) < + 8

24 SOLUCIONARIO a) Representamos y d) Representamos y 5 0 y 0 Y 0 5 y 0 Y X 5 X La recta es parte de la solución. La recta es parte de la solución. b) Representamos y e) Representamos y 0 y 0 y 0 Y Y X X La recta no es parte de la solución. La recta no es parte de la solución. c) Representamos y + f) Representamos y 6 0 y 0 Y 0 y Y X X La recta no es parte de la solución. La recta no es parte de la solución. 9

25 Ecuaciones e inecuaciones 066 Jorge tiene discos más que Marta, Marta tiene discos más que Alberto y Alberto tiene discos más que Sara. Entre los cuatro tienen 58 discos. Cuántos discos tiene cada uno? Discos de Sara: Discos de Marta: + 6 Discos de Alberto: + Discos de Jorge: Discos de Sara: 0 Discos de Marta: 6 Discos de Alberto: Discos de Jorge: Un matrimonio y sus tres hijos viajan en tren. Si el billete de adulto vale el doble que el de niño, y el coste total de los billetes es 8,75, cuánto ha costado cada billete? Billete de niño: Billete de adulto: + 8,75,5 Billete de niño:,5 Billete de adulto:, Claudia se ha gastado el 5% de sus ahorros en un regalo y todavía le quedan 0. Cuánto dinero tenía ahorrado? Dinero ahorrado: 0, tenía ahorrados. 069 En una tienda, Pedro observa unos pantalones que están rebajados un 0% y cuestan 8. Cuánto valían los pantalones antes de efectuar el descuento? Precio de los pantalones: 0,0 8,50 Los pantalones valían, Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 7. Números:,, Los números son 8, 9 y El transporte en tai cuesta,50 de bajada de bandera y,50 por cada kilómetro recorrido. Si en un trayecto hemos pagado, qué distancia hemos recorrido? Distancia recorrida (km):,50 +,50 7 km Hemos recorrido 7 km. TAXI 7 0

26 SOLUCIONARIO 07 Halla dos números consecutivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es.0. Números:, + + ( + ) , 6 Los números son 5 y 6, o 6 y Calcula dos números pares consecutivos, cuya diferencia de sus cuadrados sea 60. Números:, + ( + ) Los números son y El dividendo y el resto de una división de números enteros son 00 y 5, respectivamente. Halla el divisor y el cociente si se diferencian en dos unidades. Recuerda: D d c + R. Divisor: Cociente: ( ) , (solución negativa no válida) Divisor: 5 Cociente: 075 Halla el divisor y el cociente obtenido al efectuar una división si el dividendo es 0 y el resto es, sabiendo que el cociente es la mitad del divisor. Divisor: Cociente: Divisor: 6 Cociente: , 8 (solución negativa no válida) 076 Un jardín rectangular tiene m de superficie y mide 0 m más de largo que de ancho. Qué dimensiones tiene el jardín? Ancho: Largo: + 0 ( + 0) , 80 (solución negativa no válida) Ancho: 70 m Largo: 80 m

27 Ecuaciones e inecuaciones 077 Cuántos hermanos hay en una familia si por Navidad cada uno hace un regalo a cada hermano y entre todos reúnen 0 regalos? N.º de hermanos: ( ) , 5 (solución negativa no válida) Hay 6 hermanos. 078 Qué superficie ocupa el jardín que rodea la piscina? 8 m 8 m F 0, m 8 El radio de la piscina es: r 0, 8, m Área del jardín: 8 π,8 8,658 m 079 Si aumentamos la base de un cuadrado en 5 cm y su altura la disminuimos en cm, obtenemos un rectángulo de igual área que el cuadrado. a) Halla cuánto mide el lado del cuadrado. b) Cuáles son las dimensiones del rectángulo? a) ( ) ( + 5) 600 cm El lado del cuadrado mide 600 cm. b) Base: cm Altura: cm 080 La superficie de un rectángulo mide 60 cm. Aumentando su base en cm y disminuyendo su altura en cm, se obtiene un rectángulo de igual área que el primero. Halla las dimensiones de los dos rectángulos. 60 Base: Altura: ( + ) ( + ) (60 ) , (solución negativa no válida) Base: 0 cm Altura: 8 cm

28 SOLUCIONARIO 08 Un peregrino camina a una velocidad comprendida entre km/h y 6 km/h. Halla entre qué valores se encuentra la distancia recorrida, cuando hayan transcurrido: a) horas. b) 5 horas y media. c) días, si camina 7 horas diarias. a) Entre 6 km y km. b) Entre km y km. c) Entre 56 km y 8 km. 08 Carlos tiene entre 6 y 0 años, Javier tiene años menos que Carlos y María tiene 6 años más que Javier. Determina los intervalos en los que se encuentran las edades de Javier y María. La edad de Javier se encuentra comprendida entre y 6 años. La edad de María se encuentra comprendida entre 8 y años. 08 Calcula la medida del lado de los cuadrados cuya área sea menor que 8 cm. Entre qué valores se encuentra? < 8 8 < , 9 Como el lado debe ser positivo, el lado debe estar en el intervalo (0, 9). Los lados serán menores de 9 cm. 08 Halla las dimensiones de los cuadrados de área menor que 6 m. < 6 6 < , 6 Como el lado debe ser positivo, su valor debe estar situado en el intervalo (0, 6). Los lados serán menores de 6 cm. 085 Obtén los números tales que su triple menos es mayor que su cuádruplo menos. > > < Son los números menores que.

29 Ecuaciones e inecuaciones 086 En dos empresas, A y B, hay un puesto de comercial vacante. En la empresa A pagan de salario fijo 00, más 75 por cada venta realizada, y en la empresa B se cobra 5 por cada venta, sin salario fijo. Qué empresa interesa más? Ventas: Sueldo A: Sueldo B: > 5 < 6 Interesa más la empresa A si se realizan mas de 6 ventas, la empresa B si se realizan menos de 6 ventas y, en el caso de realizarse 6 ventas, no importa la empresa que sea El perímetro de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia mide 6 m. a) Cuánto mide el radio de la circunferencia? b) Y el área del triángulo? Lado m Altura m Por ser un triángulo equilátero, el baricentro coincide con el centro de la circunferencia y el radio es dos terceras partes de la altura. Radio m Área m En una playa alquilan sillas y tumbonas. Por una silla cobran cada hora, y por una tumbona cobran 5 fijos, más cada hora. A partir de cuántas horas es más económico alquilar una tumbona que una silla? Horas: Alquiler silla: > 5 + > 5 A partir de 5 horas es mas económico alquilar una tumbona. F m 089 La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 80 cm y el cateto menor mide más de 0 cm. a) Cuánto mide su cateto mayor? b) Cuál es su área? a) cateto mayor y cateto menor + y 80 0 < y Para y , 6 cm Para y , 57 cm 56,57 cm < 7,6 cm Más de 0 cm 80 cm

30 SOLUCIONARIO y b) A 80 Para 56,57 A.600 cm Para 7,6 A.,6 cm.,6 cm < A.600 cm Halla todos los números tales que: a) El cuadrado de su suma más es menor o igual que 8. b) El cuadrado de la suma de su doble más es mayor o igual que. a) Número: ( + ) , + Solución: 6 6, b) Número: ( + ) , 8 8 Soluciones: +,, + 8 y 8 Determina qué condición tienen que cumplir los coeficientes y los términos independientes de dos ecuaciones de primer grado: a + b 0 a' + b' 0 para que tengan la misma solución. b La condición que tienen que cumplir es: a b ' a' Encuentra la condición que se debe cumplir para que una ecuación de segundo grado de la forma a + a + 0 tenga: a) Dos soluciones. b) Una solución doble. c) Ninguna solución. a) Δ>0 a a > 0 a a 0 a (a ) 0 a 0, a a debe pertenecer a los intervalos (, 0) y (, + ). b) Δ0 a a 0 a 0, a Como la ecuación es de segundo grado, a. c) Δ<0 a a < 0 a a 0 a 0, a a debe pertenecer al intervalo (0, ). 5

31 Ecuaciones e inecuaciones Halla todos los valores que puede tomar c para que una ecuación de segundo grado de la forma + c 0 tenga: a) Dos soluciones. b) Ninguna solución. a) Δ>0 c > 0 c < c debe de ser menor que. b) Δ<0 c < 0 c > c debe de ser mayor que. Resuelve la ecuación mediante la conversión z. 6 7 z 8 0 z 7z 8 0 z z 8 8 z ± z z Resuelve la ecuación , realizando el cambio z. 8 7 z 8 0 z 7z 8 0 z z 8 8 8, 8 z ± z z No tiene solución. Resuelve la ecuación , efectuando el cambio 5 z z z 7z 8 0 z 5 z z ± z 5 z 5 Eplica cómo resolverías una ecuación de grado n de esta forma. a n + b n + c 0 a n + b n z n + c 0 az + bz + c 0 8 z b b ac ± a z z b b ac + a b b ac a z n b b ac n + a z n b b ac n a b b ac + n a b b ac n a 6

32 SOLUCIONARIO 098 Razona cuándo la inecuación de segundo grado + b + c 0: a) Tiene una solución. b) No tiene solución. c) Tiene solución para cualquier valor de. Si tiene raíces, la solución es: b + b c b b c, a) Cuando el intervalo es solo un punto; es decir, si la ecuación tiene una raíz doble, y el discriminante es igual a cero b c 0. b) Cuando la ecuación de segundo grado no tiene solución, y el discriminante es menor que cero b c < 0. c) Nunca, independientemente del valor de b y c, siempre hay valores de que hacen que + b + c > Razona como en la actividad anterior para esta inecuación. + b + c < 0 Si tiene raíces, la solución es: b + b ac b b ac, a a a) Cuando el intervalo es solo un punto, lo que es imposible por ser la desigualdad estricta. b) Cuando la ecuación de segundo grado no tiene solución, y el discriminante es menor que cero b c < 0. c) Nunca, porque siempre eiste algún valor de tal que + b + c > Resuelve la inecuación en forma factorizada. ( + ) ( ) ( + ) 0 Para ello utiliza la regla de los signos y comprueba para qué valores es positivo y negativo este producto ( + ) ( ) ( + ) + + La solución es los intervalos [, ] y [, + ). 7

33 Ecuaciones e inecuaciones 0 EN LA VIDA COTIDIANA En el Parque de La Luz van a construir dos rampas de hormigón para que los jóvenes practiquen con su monopatín. Para ello han consultado con los técnicos y con los epertos en seguridad. El armazón principal será un gran bloque cúbico y, adosadas a sus aristas, colocaremos las dos rampas. Para que la inclinación de la rampa para principiantes sea suave, su pie estará separado de la arista del cubo metros menos que la altura, y el pie de la rampa de epertos, 7 metros menos que la altura. Para calcular qué dimensiones debe tener la estructura han presentado un proyecto con los datos y han incluido un esquema. Calcula las dimensiones de la estructura ( + ) , La arista de la estructura cúbica mide 9 m. Longitud de la base de la rampa de epertos m Longitud de la base de la rampa de principiantes 9 6 m 8

34 SOLUCIONARIO 0 Un polideportivo realiza una oferta de abonos de entrada a sus instalaciones. ABONO SEMANAL ABONO MENSUAL Al recibir los resultados de las ventas del primer mes, los directivos han mostrado su satisfacción y han convocado una asamblea general para comunicar el éito de la oferta. En el mes de julio hemos tenido ingresos superiores a.500. La taquillera me ha dicho que hace dos días se terminó el primer taco de abonos semanales. Es decir, hemos vendido más de 5 bonos semanales. Para preparar la asamblea han representado gráficamente los datos que hasta ese momento tenían. Cuántos abonos mensuales, como mínimo, han vendido si la venta eacta de abonos semanales ha sido de 8? Y si ha sido de 0? (0, 60) (5, 0) (00, 0) Si los abonos semanales han sido 8: y >.500 5y >.080 y >, Como debe ser una cantidad entera, tenemos que y. El número de abonos mensuales ha sido, al menos, de. Si los abonos semanales han sido 0: y >.500 5y > 0 y >, Como debe ser una cantidad positiva, como mínimo no se habrá vendido ningún abono. 9