Método de Newton. Newton s Method for Approximating Roots of Equations. Universidad de Valparaíso 1

Transcripción

1 Universidad de Valparaíso 1 Método de Newton Muchos problemas en ciencias, ingenieria, matematicas consisten en el problema de encontarar la raíz de una ecuación de la forma f en donde f es una función diferenciable. Para una ecuación cuadrática como a b c eiste una mu conocida fórmula para la raíz: b b ac a Para ecuaciones de tercer cuarto grado ha también fórmulas para obtener las raíces pero son etremadamente complicadas. Si f es un polinomio de grado o superior, no eiste tal fórmula. No ha una fórmula que esté disponible para encontrar una raíz eacta de una ecuación trascendental como por ejemplo cos. Se han desarrollado métodos, sin embargo que dan una aproimación a las raíces de ecuaciones. Uno de estos métodos es el llamado método de Newton o de Newton-Raphson. Newton s Method for Approimating Roots of Equations El método de Newton está basado en la observación de que la línea recta tangente es una buena aproimación local a la gráfica de una función. Sea, f un punto en la gráfica de la función f. La línea recta tangente está dada por la ecuación: f f Esta línea corta al eje X cuando. El valor correspondiente de está dado por: f f En general, dada una aproimación n ala raíz de una function f, la línea recta tangente en el punto n, f n corta al eje X en el punto n 1, en donde n 1 n f n f n Dado, el método de Newton produce una lista 1,,, n de aproimaciones a la raíz de f. La función iteración Newton para una función f es la función g definida por: g f f Ejemplo de su aplicación:(partiremos con un ejemplo sencillo) Sea f 3 ; hallaremos las raíces de f() (los ceros),es decir los valores de "" que hacen f() Como auda se muestra su gráfica:

2 Universidad de Valparaíso Se puede observar que esta función posee dos raíces: 3, Solution is:., 1. Derivando la función f, tenemos: f 3 Armamos la función: g f f g 3 3 i i 1 g i 1. g f g f g f 1 1. g g 1 1 En la tabla se puede observar que la sucesión de valores converge a "1" Se puede observar ahora que: f 1 Partiremos ahora con i i i 1 g i g g g g g 1 1 Nuevamente la sucesión converge a 1;Eplicación gráfica:

3 Universidad de Valparaíso La gráfica nos auda a determinar el intervalo en donde se encuentran las raíces. Se realizará el mismo trabajo anterior, pero ahora situándonos cerca de - Partiremos ahora con i i i 1 g i g g g g... g.. Vemos que el valor al que converge la sucesión de sucesivas aproimaciones es "" Y Podemos comprobar que : f Se muestra la gráfica de f 3

4 Universidad de Valparaíso Resulta interesante observar la gráfica de g Esta función (la última) está asociada a un tema altamente interesante, que en la comunidad científica es conocido por el nombre de "caos", término acuñado por por un trabajo redactado por el matemático James A. Yorke, de la Universidad de Mariland en College Park.... Ejercicio: Deducir una fórmula para calcular n N

5 Universidad de Valparaíso Sea: N n N n, consideremos: f N n f n n 1 "armamos" la fórmula de recurrencia: i 1 i f f i 1 i N i n n 1 i 1 i N n i n 1 n i n i La que podemos aplicar para calcular: resultado dado por el SWP.) Aquí : f 3 3 g i 1 i 3 i 3 g Partiremos ahora con i 3, a que valor cercano a 3 3 i i i 1 g i 3 g g g g se podría seguir calculando.. se puede observar que f , 3716 en este caso, el programa está mostrando solamente hasta cuatro decimales,intente realizar el proceso con una calculadora.(tarea.)... Deducción de la fórmula i 1 i f ; a partir de la serie de Talor: f La serie de Talor, se puede representar por : f i 1 f i f i i 1 i f i i 1 i.... R! n Al truncar la serie de Talor, después de la primera derivada, se obtiene la siguiente aproimación: f i 1 f i f i i 1 i, en la intersección con el eje X ; se tiene f i 1, de este modo: f i f i i 1 i f i i 1 i f i i 1 i f i f i i 1 i f i f i Notabene: Recordar: f n f n a n! a n f f a f a 1! a f a! a f a 3! a Otros ejemplos:

6 Universidad de Valparaíso 6 Resolver la ecuación: e Sea f e derivando...f e 1 construimos la fórmula de recurrencia: g i i 1 i f i f i g f f g e e 1 g e e 1 Partiremos ahora con i 1 i i 1 g i g.. g g g se puede observar que : f , 16 Intente seguir el trabajo con la calculadora Deducción gráfica de i 1 i f i f i f Si consideramos i, f i como el punto de tangencia.en este ejemplo, el punto (6;1) al derivar la función f, se obtiene: f, la pendiente evaluada en 6 f 6 8; por ende la ecuación de la línea recta tangente vienbe dada por: 1 8 6,es decir: 8 36 Esta línea recta corta al eje en

7 Universidad de Valparaíso Con este valor. (bastante cerca a la raíz) calculamos la ordenada que corresponde a. f... Tenemos ahora un nuevo punto de la gráfica de la función,desde donde trazaremos una nueva línea recta tangente...f... La nueva línea recta tangente:.., Solution is: En la priemera iteración: la línea roja en la segunda la línea verde... La azul corresponde a la gráfica de la función cua raíz se está tratando de encontrar. Esta línea recta corta al eje X en el punto i 1, de ahí que se cumple: f f i i i 1 i, de donde, después de despejar i 1 se obtiene: i 1 i f i f i Al cambiar luego i (valor elegido en primera instancia) por i 1 (valor calculado), la línea recta tangente, corta al eje X en otro punto, esta vez más cercano a la raíz de f(), es decir en donde ésta corta al eje X.... Tarea: Resolver los ejercicios de la guía dada para el método de bisección, esta vez usando el método de Newton-Raphson.( mucha suerte..) Un último ejercicio eplicativo:

8 Universidad de Valparaíso 8 Encontrar una raíz para la ecuación: ln Definimos la función: f ln. Y derivamos obteniendo... : f 1 construimos la función de iteración de Newton: g i 1 i f i f i g f g ln f 1 g ln Partiremos ahora con i 1 i i 1 g i 1 g g g g la sucesión converge a ; para la primera raíz,se puede observar además que: f , 161. (obs: el SWP se puede trabajar con más decimales...) Partiremos ahora con i 9 i i 1 g i 9 g g g la sucesión converge a ; se puede observar que: f , 1639