Unidad 1 Funciones polinomiales
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- José Carlos del Río Gil
- hace 8 años
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1 Unidad 1 Funciones polinomiales 1. Introducción a la noción generalizada del concepto de función UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 1
2 Introducción. Una función es un conjunto de parejas ordenadas, en donde no hay dos parejas con el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de las parejas se les llama Dominio y al conjunto de los segundos elementos de las parejas se le llama Ámbito o Contra dominio. Para establecer la asociación entre los elementos del Dominio con los elementos del Contra dominio se emplea una Regla de Correspondencia. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES"
3 Función Polinomial: Las funciones se clasifican, de acuerdo con las reglas de correspondencia, como funciones Algebraicas (polinomicas, racionales y con radicales).eponenciales, Logarítmicas y trigonométricas. En esta unidad solo se trataran las funciones polinomiales. Eisten tres formas para mostrar el comportamiento de una función: Una tabla que muestra al conjunto de parejas, La formula o epresión algebraica de la regla de correspondencia y la grafica de la función. La grafica de una función es de gran ayuda para observar como se comporta dentro de su dominio o en algún intervalo de valores de este. Se empleara el sistema de coordenadas rectangulares para elaborar la grafica de la función UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 3
4 Para realizar la grafica de una función, primero se debe determinar cual es su Dominio. Aquí, se eplicara como obtener el dominio de una función y d que manera se puede elaborar la grafica de una forma rápida según el tipo de función que se tenga. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 4
5 En esta primera unidad veremos lo que son : Métodos de eploración para la obtención de ceros, aplicables a las funciones polinomiales de grado 3 y 4 y factorizables. Ecuaciones bicuadráticas. División sintética. Ecuaciones cúbicas que se resuelven por factorización directa. Método de bisección. Bosquejo de la grafica de una función polinomial. Intersección de la grafica con los ejes cartesianos. Análisis de comportamiento de las funciones polinomicas. Traslación horizontal y vertical.. Notación de intervalo. La no-interrupción de la grafica. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 5
6 Eisten muchas situaciones en la práctica en las que se establece la relación entre los elementos de dos conjuntos, por ejemplo: Si el Kg de azúcar tiene un costo de $5, Cuánto se pagara por, 3, 4.5, 5 y 6.5 Kg? Solución: (, $10) (3, $15) (4.5, $.5) (5, $5) (6.5, $3.5) Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 6
7 Definición de función Una función es un conjunto de parejas ordenadas, en donde no hay dos parejas con el mismo primer elemento El conjunto de los primeros elementos de las parejas se le llama dominio y al conjunto de los segundos elementos de las parejas se les llama ámbito o Contradominio. Y para establecer la asociación entre los elementos del dominio con lo elementos del Contra dominio se emplea una regla de correspondencia. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 7
8 Ejemplo: Dominio{Cecilia,Miguel,Joel,Francisco, Verónica, Alejandro, Jazmín, Norma, Juan, Fabiola} Regla de correspondencia calificaciones del primer mes en matemáticas Contra dominio {6, 5, 7, 8, 6, 7.5, 3, 6} Como se puede observar la regla de correspondencia puede ser una epresión verbal, un modelo matemático, que represente una situación real, o simplemente una epresión algebraica por ello se puede epresar otra definición mas formal de concepto de función: Una función es la regla de correspondencia en la cual todo elemento de un conjunto D (dominio) esta asociado con uno y solo un elemento de otro conjunto C (Contra dominio ) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 8
9 1..1 Notación de funciones Para denotar una función se emplea la siguiente notación: f: A B ( se lee como función de A en B ) A y B por lo general serán conjuntos de números reales y la Regla de Correspondencia se establecerá por medio de una epresión algebraica y se utilizara la notación: F() (se leerá como función de ) En donde, es un elemento del dominio, por ejemplo f()-. Al sustituir un valor del dominio se escribirá de la forma siguiente; por ejemplo si en la epresión anterior se considera 5; entonces, f(5)5-; f(5)3; por lo tanto se obtiene la pareja de (5,3) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 9
10 1.3 Concepto de función polinomial Las funciones se clasifican, de acuerdo con la regla de correspondencia, como: funciones algebraicas (polinomiales, racionales y con radicales), eponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Eisten tres formas para mostrar el comportamiento de una función: una tabla que muestre al conjunto de parejas, la formula o epresión algebraica de la regla de correspondencia y la grafica dela función. La grafica de una función es de gran ayuda para observar como se comporta dentro de su dominio o en algún intervalo de valores de este. Se emplea el sistema de coordenadas rectangulares para elaborar la grafica de la función. Para realizar la grafica de una función, primero se debe determinar cual es su dominio. Aquí, se eplicara como obtener el dominio de una función y de que manera se puede elaborar la grafica de una forma rápida según el tipo de función que se tenga. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 10
11 ECUACIONES BICUADRÁTICAS UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 11
12 ECUACIONES BICUADRÁTICAS La ecuación es una ecuación de grado cuarto, sin embargo se puede transformar y epresar en forma de una ecuación cuadrática al sustituir por otra letra. Si b, entonces 4 es igual a b. Por lo tanto la ecuación quedaría como: b - 8b+150 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 1
13 Después de esto la ecuación se resuelve como una ecuación cuadrática: b - 8b+150 (b-3) (b-5) b-30 b-50 b3 b5 Y como b se tienen que obtener las raíces de ambas ± 5 -. Y. ± Y 1.7 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 13
14 Y la gráfica de la función queda de este modo:0 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 14
15 EJERCICIOS: Determina las raíces de las siguientes ecuaciones a partir de los criterios de solución epuestos en esta sección. a) e) i) b) f) j) c) g) d) h) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 15
16 DIVISIÓN SINTÉTICA UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 16
17 La división sintética de la función entre -3 se realiza de este modo: 1.Se escriben los coeficientes del dividendo y el numero divisor (signo contrario) en el primer renglón de abajo como se indica..se escribe el primer coeficiente en el tercer renglón. 3.El primer coeficiente () se multiplica por el numero del divisor del primer renglón (3) y el producto 36 se escribe en el segundo renglón eactamente debajo del segundo coeficiente (-1) para después sumarlos. La sume se escribe en el tercer renglón 4.Se continua este proceso repitiendo el paso anterior, es decir, ahora se multiplica (5) por el numero del divisor del primer renglón (+3) y el producto de 5315 se escribe en el segundo renglón eactamente debajo del tercer coeficiente (-5) para después sumarlos. La sume de 15+(-5)10 se escribe en el tercer renglón. 5.Continuamos con este proceso hasta acabar con la división. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 17
18 La división queda así: Dividendo divisor X er renglón do renglón 3 er renglón UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 18
19 EJERCICIO: Realizar las divisiones siguientes aplicando la división sintética: a)( ) % (-) b)( ) % (-3) c)( ) % (+1) d)( ) % (+1) e)( ) % (+) f) ( ) % (+3) g) ( ) % (-4) h) ( ) % (-) i) ( ) % (+5) j) ( ) % (-5) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 19
20 ECUACIONES CÚBICAS QUE SE RESUELVEN POR FACTORIZACIÓN DIRECTA UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 0
21 Vamos a resolver la función f() Tomamos al termino que no tiene incógnita y buscamos sus posibles múltiplos: -1 1,,3,4,6,1.Tomamos a y lo despejamos: X+0 X- 3.Despues vemos si vale cero con la función de: F(-)0 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 1
22 4. Como nos dio de resultado cero eso quiere decir que es correcto y ahora lo que sigue es dividir la función entre el + que teníamos como resultado antes. Dividendo divisor X X Con esto nos queda la función cuadrática: +-6 Después de eso solo nos queda encontrar las ultimas dos raíces y eso se hace buscando dos números que multiplicados nos den 6 y sumados 1 y esos números son: (+3) (-) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES"
23 Con eso ya obtuvimos las tres raíces que son: (+) (-) (+3) Y las coordenadas quedan como: - -3 Después obtenemos el vértice con: F(0)-1 Encontramos los puntos en la gráfica que queda de este modo: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 3
24 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 4
25 EJERCICIO: Realizar las operaciones necesarias para encontrar el valor de las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones cúbicas X UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 5
26 MÉTODOS DE BISECCIÓN UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 6
27 Resolvamos la función f() y se propone que para esto se asignen los valores de 3,-,-1,0,1,,3 para obtener f(-3), f(-), f(-1), f(0), f(1), f(), f(3) f(-3) (-3) 3-7(-3) +(3)+10 f(-3) F(-3) P(-3,-110) f(-) (-) 3-7(-) +(-)+10 f(-) F(-) P(-,-36) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 7
28 f(-1) (-1) 3-7(-1) +(-1)+10 f(-1) f(-1) P(-1,0) f(0) (0) 3-7(0) +(0)+10 f(0) F(0) P(0,10) f(1) (1) 3-7(1) +(1)+10 f(1) f(1) P(1,6) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 8
29 f() () 3-7() +()+10 f() f() P(,0) f(3) (3) 3-7(3) +(3)+10 f(3) f(3) P(3,4) Después de esto buscamos todas esta coordenadas en nuestra gráfica y esta queda así: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 9
30 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 30
31 Se observa que la cueva perteneciente a la gráfica de la función f() corta al eje de las abscisas en tres puntos; los dos primeros eactamente, en 1-1 y, pero el tercero se encuentra en el intervalo (a,b)(,3) por lo que se determina el punto medio de este intervalo mediante. m a + b m +3 m 5 Se evalúa la función f() para Obteniendo: m 5 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 31
32 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 3 10 ) 5 ( ) 5 7( ) 5 ( ) 5 ( f 10 ) 5 ( ) 4 5 7( ) 8 15 ( ,0) 5 ( 0 ) 5 ( p f
33 Efectivamente el tercer punto donde la curva corta el eje de las abscisas tiene como coordenadas 5 (,0) En consecuencia, las raíces o ceros de la función son: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 33
34 EJERCICIO: Construya la gráfica con las funciones siguientes y a partir de ellas aplique el método de bisección para determinar sus raíces o soluciones 1.f() f() f() f() f() f() f() f() f() f() UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 34
35 BOSQUEJO DE UNA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 35
36 A partir de una gráfica de una función polinomial se puede realizar un análisis sobre el comportamiento de la misma. Si bien algunos de los elementos se han destacado en las secciones previas, es importante considerarlas nuevamente UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 36
37 1.5.1 Intersecciones de la gráfica con los ejes cartesianos. En una gráfica, para que esta se vaya, se necesitan ciertos puntos, los cuales al unirlos en un respectivo orden, formarán una gráfica, ya sea lineal, cuadrática, cúbica, cuarta, etc., y de esta manera estos puntos tendrán intersección con el valor de las incógnitas presentes en la ecuación. Cabe mencionar que dichos puntos tendrán intersecciones con los ejes, es decir, se ubicaran en los ejes, ya sea eje o eje y, lo cual permitirá la unión de estos, y así saber el valor de dichas incógnitas. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 37
38 Por ejemplo: Si tenemos la función cuadrática: X Esta se resolverá por la fórmula general: a1 1, b± b a 4 ac b15 c56 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 38
39 1, (15 ) ± (15 ) (1) 4(1)( 56 ) 1, 15 ± 5 4 1, 15 ± 1 1, 15 ± 1 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 39
40 , , 8 F(0)(0)+15(0)+56 F(0)56 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 40
41 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 41
42 En este caso, de acuerdo a la fórmula general obtuvimos las intersecciones en el eje X y en el eje Y, y así mismo estas las graficamos, obteniendo de esta manera la gráfica que muestra una parábola por el hecho de que la función es cuadrática. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 4
43 En forma resumida, podemos decir, que las intersecciones de la gráfica con los ejes cartesianos nos dan el resultado de la ecuación, es decir nos muestran el valor de las incógnitas presentes en la ecuación. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 43
44 Ejercicios: Resuelve los siguientes ejercicios y señala sus intersecciones con los ejes cartesianos. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 44
45 1.5. Análisis de comportamiento de las Funciones Polinomiales. Las Funciones Polinomicas son aquellas que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. A las Funciones Polinomicas de: grado 0 se les llama Funciones Constantes. grado 1 se les llama Funciones Lineales, grado se les llama Funciones Cuadráticas, grado 3 se les llama Funciones Cúbicas. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 45
46 Y cada una de estas funciones, igualmente de acuerdo al número de incógnitas que se presenten serán los valores encontrados en las ecuaciones. Cabe mencionar que en las Funciones Polinomiales la gráfica presentara un valor ya sea positivo o negativo, una cierta característica en la grafica ya sea creciente o decreciente, así como también presentara concavidad, que es la forma en que se dobla ala curva. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 46
47 Por ejemplo: Cabe señalar que en este tipo de graficas es importante encontrar el vértice, y este lo podremos encontrar con las siguiente formula: V b a UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 47
48 Desarrollándola de acuerdo a las valores que nos dan en la ecuación: V V b a 5 ( 1) V V 5.5 Enseguida este valor obtenido lo sustituimos en la ecuación original: -(.5)+5(.5) Dándonos la siguiente coordenada: (.5,.) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 48
49 Y sustituyendo los valores de la ecuación obtendremos esto: , b± b a 4 ac a 1 b 5 c 4 1, (5) ± (5) ( 1) 4( 1)( 4) 1, 5± , 5± 9 1, 5± 3 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 49
50 Estos valores obtenidos serán los que inserten en el eje de las X, mientras que para hallar el valor de Y basta con encontrar el vértice, y este se encontrara con la formula anteriormente mencionada, y una vez encontrado el vértice, este con su mismo valor nos estará mostrando el valor de Y, y una vez encontrado el vértice, encontraremos el punto mas alto de la gráfica. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 50
51 De acuerdo a la ecuación realizada anteriormente, veamos sus intersecciones el en plano cartesiano: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 51
52 Ejercicios. Resuelve las siguientes funciones polinomiales: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ( ( ( ( ) / ) / ) / ) / UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 5
53 1.5.3 Traslación horizontal y vertical. Traslación horizontal: Esta se observa al agregar la constante h, de la forma f(+h) genera que la grafica de la función f() se desplace hacia la izquierda, es decir horizontalmente. Veamos a 1 el siguiente ejemplo: f ( ) + 3 b c 3 Para obtener el vértice aplicamos la siguiente formula: V ( ) / ( 1) Sustituyéndolo de la siguiente manera: V / V 1 Enseguida ( 1) ( sustituyendo 1) este valor en la ecuación original para obtener las coordenadas del vértice. ( 1,4) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 53 Dándote así la siguiente coordenada:
54 1, 1, 1, 1, b± b 4 ac a ( ) ± ± 4+ 1 ± 4 ( ) ( 1) 4( 1)( 3) X1-3 y10 X1 y0 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 54
55 La forma en que la grafica se presenta es así: Observando que la traslación es horizontal. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 55
56 Traslación vertical: esta se producirá si se agrega la constante h de la forma f()+h, provoca que la grafica de la función se desplace hacia arriba, es decir verticalmente. Veamos a 1 el siguiente ejemplo f : ( ) + b 3 3 c 0 Para obtener el vértice aplicamos la siguiente formula: b V a V 3/ ( 1) Sustituyéndolo de la siguiente manera: V 3/ V 1.5 Enseguida ( 1.5) + 3(1.5) sustituyendo este valor en la ecuación original para.5 obtener las coordenadas del vértice. (1.5,.5) UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 56
57 Para obtener las coordenadas de (, y) y graficarlas, 1, 1, puedes utilizar la formula general: 1, 1, 1, b± 3± (3) b a ( 1) 3± ± 9 3± 3 4 ac 4( 1)( 0) X10 y10 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 57
58 La forma en que la grafica se presenta es así: Observando que su traslación es vertical. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 58
59 1.5.4 Noción de intervalo. En análisis, se denomina intervalo a todo subconjunto coneo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad: Si e y pertenecen a I, y, entonces para todo z tal que z y, z pertenece a I. Notación Para representar intervalos, usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los tal que a < b se puede representar [a; b) o bien [a; b]. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un etremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 59
60 Es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de una recta o segmento, el que se encuentra un ordenamiento interno entre ellos. Los intervalos es el espacio que se da de un punto a otro en el cual se toman en cuenta todos lo puntos intermedios. Por ejemplo: en una recta tenemos un intervalo:[-,]entre este espacio se encuentran los números (--1,0,1,) aquí se encuentra un intervalo...ya que el espacio abarca una serie de números También consecutivos eiste que una se regla corresponden mnemotécnica entre para sí. el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; ) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, ), o (0, 1] y [1, ) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 60
61 Clasificación: Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas ( intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos) o según sus características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita ). Y estos se clasifican cuando se presentan de la siguiente manera: (00) mas infinito o infinita (-00) menos infinito o finita (00, 00) nula UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 61
62 Ejemplo: { + 1,,6 ( + ) ( ) ( + 1) X UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 6
63 a 4 b 17 c 13 1, 1, 1, 1, ( 17 ) ± ( 17 ) (4) 17 ± ± ± (4)(13 ) 1 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 63
64 ( + ) ( ) ( + 1) Y para graficar, solo trazamos estos puntos en el pleno cartesiano y obtenemos ciertas funciones como las siguientes: F( 0) 6 F( 1) 0 F(- 1) 34 F( )-0 F(- ) 0 UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 64
65 Una vez obtenidos estos valores graficamos: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 65
66 Observando que su: Ma Crec. (-00,-1) Dec [-1,1] Min Dec [1,) Crec. [,00) Esta ecuación tiene 3 raíces reales. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 66
67 1.5.5 La no-interrupción de la gráfica. Una de las características propias de las funciones polinomiales es que sus graficas no presentan saltos a lo largo de su trayectoria, lo cual indica que se pueden clasificar como funciones continuas en todo su dominio. Veamos un ejemplo: X-6+9 X Y (-)-6(-)+9 (3)-6(3) (-1)-6(-1)+9 (4)-6(4) (0)-6(0)+9 (5)-6(5) (1)-6(1) enseguida hallamos el vértice: 5 4 ()-6()+9 v(-b/ a) v-(-6/(1)) v (6/) v 3 Para obtener la coordenada del vértice en el eje Y solo sustituyes el valor obtenido del vértice del eje X en la ecuación original: (3)-6(3) Dándote así la siguiente coordenada: (3,0) que corresponde a la coordenada del vértice. UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 67
68 Para graficar solo nos fijamos en los valores que nos dieron al tabular y el vértice, una vez esto, ubicamos los puntos en el plano cartesiano: UNIDAD 1 "FUNCIONES POLINOMIALES" 68
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