Raíces de ecuaciones no lineales

Transcripción

1 Matemática Superior Aplicada Raíces de ecuaciones no lineales Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz Jtp: Dr. Juan Ignacio Manassaldi Au. 1ra: Ing. Juan Pablo Camponovo Au. 2da: Sr. Alejandro Jesús Ladreyt

2 Problema Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos epresiones matemáticas en las que aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del álgebra. Encontrar el valor de / ln 4 0

3 Métodos de búsqueda Acotados Abiertos Gráfico Aproimaciones sucesivas Bisección Wegstein Regla falsa Secante Newton - Rhapson

4 Método Gráfico Para utilizar este método graficamos la ecuación y estimamos visualmente donde se encuentra la raíz

5 Método de la Bisección Teorema de Bolzano Sea f una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] con f(a) y f(b) de signos contrarios. Entonces eiste al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f(c)= 0.

6 Método de la Bisección Para utilizar este método necesitamos dos puntos donde la función cambie de signo. El nuevo punto corresponde a la mitad del intervalo y debe seleccionarse de manera de conservar la diferencia de signo. a c b

7 Método de la Bisección Debemos lograr que el intervalo sea lo mas pequeño posible en torno a la raíz. Cómo lo achicamos? Evaluamos el valor de la función en la mitad del intervalo Cuál es el nuevo intervalo? a c b

8 Método de la Bisección

9 Método de la Bisección a y b a f b 0 / f c a b 2 f c tol si c es raiz no f a f c 0 si b c no a c b a tol También se puede medir el error a partir del tamaño tol del intervalo. b a a

10 Método de la Bisección a b c f(a) f(b) f(c) error

11 Método de la Regla Falsa Para utilizar este método necesitamos dos puntos donde la función cambie de signo. El nuevo punto surge de la intersección de la recta que los une con el eje de las abscisas. b a c

12 Método de la Regla Falsa

13 Método de la Regla Falsa a y b / f a. f b 0 c a f f a a a f b b f c tol si c es raiz no a c

14 Método de la Regla Falsa a b f(a) f(b) c error

15 Aproimaciones Sucesivas Para utilizar este método necesitamos un punto y redefinir la ecuación de la siguiente manera: Dada la ecuación original del tipo: f 0 Debemos obtener una epresión en donde la incógnita es una función de si misma: F

16 Aproimaciones Sucesivas Sea la función: y f ( ) Se desea hallar * tal que y f * ( ) 0 Se debe definir una nueva función F() del tipo: F( ) F( ) Se obtiene sumando miembro a miembro en la epresión original Despejando de algún termino F ln 4 f ln 4 F F 4 ln 2 4 e

17 0 0 Aproimaciones Sucesivas A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor utilizando F() F 1 0 F 2 1 k1 k F k 1, 2,..., k k1 k k k1 k1 ma F r Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máimo de iteraciones

18 Interpretación Grafica

19 Aproimaciones Sucesivas 0 ; k 0 0 k1 k F k1 k k r si k 1 es raiz no k k1

20 Aproimaciones Sucesivas i i F( i ) Error

21 Método de Wegstein Mejora el proceso de sustitución directa. A partir del valor inicial se generan dos valores de manera tradicional y luego se aplica la siguiente ley recursiva: q q q k k1 F k k1 F 1 1 k 1 k k 1 k2 k1 F k 2, 3,..., k1 k k k1 k1 k ma F r Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máimo de iteraciones

22 Paso a paso para una mejor comprensión: F F F 3 2 Método de Wegstein F q F 2 1 q 1 q F 4 3 q 1 q q k k1 F k k1 F 1 k 1 k k 1 k2 k1 F k 2, 3,..., k1 k k k1 k1 k ma F r

23 Interpretación Grafica El nuevo valor generado en la iteración k, o sea corresponde a la intersección de la k k k1 k1 recta que une los puntos, F y, F con la recta y= k 1

24 Método de Wegstein F F F k k k1 F k k1 F q 1 q q 1 k 1 k k 1 k2 k1 F k1 k k r si k 1 es raiz no k k 1

25 Método de Wegstein i i i q Error

26 Método de la Secante Para utilizar este método solo necesitamos dos puntos y la recta que los une. El nuevo punto surge de su intersección con el eje de las abscisas. a b c

27 Método de la Secante

28 0 0 Método de la secante A partir de dos valores iniciales (puntos de arranque) se genera un nuevo valor que corresponde a la intersección de la secante a la curva con el eje de las abscisas k1 k f f f f f f k k k 1 k k1 f f f k 1, 2,..., k k1 k k k 1 f ma r Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máimo de iteraciones

29 Método de la Secante ; ; k k1 k k k k 1 k k1 f f f k1 k k si k 1 r es raiz no k k1

30 Método de la Secante i i f( i ) Error

31 Método de Newton-Rhapson Para utilizar este método solo necesitamos un punto y la derivada de la función. El nuevo punto surge de la intersección de la recta tangente con el eje de las abscisas. a b

32 Método de Newton-Rhapson

33 Método de Newton-Rhapson A partir de un valor inicial (punto de arranque o valor semilla) se genera un nuevo valor que corresponde a la intersección de la recta tangente a la curva con el eje de las abscisas f f ' f f ' k 1, 2,..., k ma k1 k f f ' k k k1 k k k 1 f r Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máimo de iteraciones

34 Interpretación Grafica

35 Método de Newton-Rhapson 0 ; k 0 0 k1 k f f ' k k k1 k k si k 1 r es raiz no k k 1

36 Método de Newton-Rhapson i i f( i ) f ( i ) Error

37 Modificación para múltiples raíces Las raíces múltiples corresponden a puntos en donde la función es tangente al eje. u f f ' Ralston and Rabinowitz (1978) propusieron la función u() que tiene las mismas raíces que f() Por lo tanto, al aplicar N-R a la nueva función u() se obtiene: luego, ' 2 u f f u' f ' f f '' k1 k u u' k k k1 k k k f f ' 2 k k k '' f ' f f k 1, 2,..., k k1 k k k 1 f ma r Se generan valores hasta satisfacer la tolerancia del error o alcanzar el numero máimo de iteraciones

38 Interpretación Grafica Nuevo punto según N-R modificado Nuevo punto según N-R

39 Interpretación Grafica

40 24 iteraciones N-R tradicional Interpretación Grafica (N-R tradicional)

41 5 iteraciones N-R modificado Interpretación Grafica (N-R modificado)

42 Método de N-R modificado 0 ; k 0 0 k1 k k k f f ' 2 k k k '' f ' f f k1 k k si k 1 r es raiz no k k 1

43 Método de Newton-Rhapson i i f( i ) f ( i ) f ( i ) Error

44 Técnica para resolver ecuaciones cúbicas de estado Cualquier polinomio cúbico (incluida las EoS) puede epresarse de la siguiente forma: 3 2 z az bz c 0 La primera raíz se encuentra utilizando la modificación de N-R para múltiples raíces. Se sugiere utilizar como valor semilla el factor de compresibilidad de los gases ideales z (0) =1 Se utiliza la primera raíz hallada para factorizar el polinomio: Debido a la factorización se cumple que: 3 2 z az bz c z 1 Qz 3 2 z az bz c z 1 Q z Ambos miembros tienen las mismas raíces por lo que las dos restante corresponden a las del polinomio Q(z) Q(z) es una cuadrática!

45 Técnica para resolver ecuaciones cúbicas de estado Factorización del polinomio original: 1 a b a a b c 3 2 z az bz c z 1 Qz a b a c b a Q z z a z b a (cero) 2 4 D a b a D 0 D<0 Las raíces restantes son reales Las raíces restantes son imaginarias (D<0)

46 Técnica para resolver ecuaciones cúbicas (Resumen) 3 2 z az bz c 0 1. La primera raíz se encuentra utilizando la modificación de N-R para múltiples raíces. Se sugiere utilizar como valor semilla z (0) =1 z k1 k k k f z f ' z 2 k k k '' z f ' z f z f z 2. Se analiza el discriminante de la nueva ecuación cuadrática 2 4 D a b a D a 2 1 a 2 D D z z v l ma min,, 1 2 3,, D<0 Las restantes raíces no son de interés físico