PRÁCTICA N 1 ECUACIONES NO LINEALES. Nota: en todos los casos hallar las soluciones con 15 dígitos significativos

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1 PRÁCTICA N 1 ECUACIONES NO LINEALES Nota: en todos los casos hallar las soluciones con 15 dígitos significativos 1. Utiliza el método de Bisección y calcula la soluciones de las siguientes ecuaciones: a. 2. a. Esboza las gráficas de e Utiliza el método de Bisección y calcula el primer valor positivo tal que 3. Utiliza el método de la Régula Falsi para calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones a. 4. Utiliza el método del punto fijo para calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones a. d. e. f. 5. Utiliza el método de Newton-Raphson para calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones a. d. e. f. g. 1

2 6. Utiliza el método de la Secante para calcular las soluciones de las siguientes ecuaciones a. 7. Utiliza el método del punto fijo para calcular 8. Utiliza el método de Bisección, el método del punto fijo, el método de la Secante y el método de Newton-Raphson para calcular: a. 9. Halla las primeras tres raíces positivas de la ecuación a. Usando el método de la Secante Usando el método de la Régula Falsi Usando el método de la Newton-Raphson d. Usando el método del punto fijo 10. Dado el polinomio Halla las raíces reales a. Usando el método del punto fijo Usando el método de la Régula Falsi Usando el método de la Newton-Raphson d. Usando el método de la Secante 11. La función tiene un cero ( ). Aprxima esta raíz a partir de y aplicando iteraciones de cada uno de los siguientes métodos. Qué método es mejor?, por qué? a. el método de Bisección el método de la Régula Falsi el método de la Secante 12. Retoma la función del ejercicio anterior:. Utiliza el método de Newton-Raphson para aproximar a la raíz: ( ), con a. Explica la razón de las diferencias observadas 2

3 13. Usa el método de Newton-Raphson para hallar la primera raíz positiva de la ecuación y explicar por qué surgen dificultades 14. Sea a. Con el método de Newton-Raphson encuentre los ceros de Encuentre algebraicamente las soluciones exactas de 15. Utiliza el método de Newton-Raphson para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones. En estos ejercicios la convergencia será más lenta de lo normal porque las raíces no son raíces simples a. ( ) ( ) 16. Repita el ejercicio 13 aplicando el método modificado de Newton-Raphson mejorado 17. Utilizando el método de Müller obtener todos los ceros reales de los siguientes polinomios a. d. e. f. 18. Repita el ejercicio 17 utilizando el método de Newton-Raphson 19. Utilizando el método de Müller obtener todas las raíces complejas de los siguientes polinomios a. d. e. 20. Repita el ejercicio 19 utilizando el método de Newton-Raphson (con aritmética compleja) 21. Aplique los métodos siguientes para obtener las raíces reales de la siguiente ecuación 3

4 a. Método de la bisección Método de la Newton-Raphson Método de la Secante d. Método de la Régula Falsi e. Método de Müller 22. Obtenga todas las raíces complejas de la ecuación del ejercicio anterior 23. Obtenga todas las raíces complejas de la función 24. Dado el polinomio Hallar todos los tales que 25. En 1685, John Wallis publicó un libro llamado Álgebra, en el que describió un método diseñado por Newton para resolver ecuaciones. En forma ligeramente modificada, este método también lo publicó Joseph Rapshon en Esta forma es la que ahora comúnmente se llama método de Newton-Rapshon. Newton mismo analizó el método en 1669 y lo ilustró con la ecuación. Wallis usó el mismo ejemplo. Encuentre la raíz real de esta ecuación y así preserva la tradición de que cada estudiante de métodos numérico debía resolver esta venerable ecuación. 26. Obtenga todas las raíces complejas de la venerable ecuación del ejercicio anterior 27. Halla el valor de para el cual se obtiene el punto de la gráfica que está más cerca del punto 28. La suma de dos números es. Si a cada número le sumamos su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es. Determina estos números. 29. La ecuación de Liley relaciona la presión de vapor de una sustancia a cualquier temperatura como sigue: donde,,, y son constantes específicas de cada sustancia, está en Pascales y en Kelvin. 4

5 Determina la temperatura a la cual la presión de vapor del propano es igual a la presión atmosférica ( ). Las constantes de la ecuación de Liley para el propano son: ; B ; ; ; 30. El capital acumulado en una cuenta de ahorro en la que se hacen depósitos periódicos regulares viene dado por la fórmula de capitalización [ ] En esta fórmula, es el capital acumulado en la cuenta, es la cantidad que se deposita periódicamente, es el interés por período y es el número de períodos transcurridos. Una ingeniera desearía haber acumulado un total de al retirarse dentro de años, pudiendo hacer depósitos mensuales de. Para alcanzar su objetivo, cuál es el interés mínimo de la cuenta de ahorro en la que debería invertir estas cantidades suponiendo que el interés se compone mensualmente? 31. Un objeto que cae verticalmente en el aire está sujeto a una resistencia viscosa y también a la fuerza de gravedad. Suponga que dejamos caer un objeto de masa desde una altura y que la altura del objeto después de segundos es ( ) donde y representa el coeficiente de resistencia del aire en. Supongamos que, y que. Calcule el tiempo que tarda este cuerpo en caer al suelo. 32. El crecimiento de una población numerosa puede modelarse durante períodos breves, con sólo suponer que ésta crece constantemente con el tiempo a una tasa que es proporcional al número de habitantes que existen en ese tiempo. Si denotamos con la cantidad de habitantes en el tiempo y con el índice constante de natalidad, la población satisface la ecuación diferencial La solución de esta ecuación es, donde denota la población inicial. Este modelo exponencial es válido sólo cuando la población se halla aislada, es decir, sin que exista inmigración proveniente del exterior. Si se permite la inmigración con una tasa constante la ecuación diferencial que rige la situación será 5

6 cuya solución es Supóngase que cierta población tiene inicialmente un millón de habitantes, que de ellos son inmigran hacia la comunidad durante el primer año y que se encuentran en ella al fin del año El jugador dejará en cero (por una puntuación de 21 a 0) al jugador en un partido de raquetbol con una probabilidad de donde denota la probabilidad de que gane un intercambio de tiros (independientemente del servicio). Determine el valor mínimo de que garantice que dejará en cero a al menos en la mitad de los partido que jueguen. 34. Se desea construir una caja sin tapa con una profundidad mayor a centímetro a partir de una hoja metálica rectangular, que mide por centímetros. Cuál debe ser el lado de los cuadrados que hay que recortar en cada esquina para que el volumen de la caja sea centímetros cúbicos? 35. Se denomina catenaria a la forma que adopta una cadena o un cable suspendido de sus dos extremos. Eligiendo adecuadamente el sistema de referencia, la ecuación de la catenaria es donde el origen de coordenadas está situado en la vertical del punto más bajo de la cadena, a distancia del mismo (ver figura) 6

7 Sea la diferencia de altura entre el punto de la cadena de abscisa igual a y el de altura mínima:. Conociendo, podemos determinar resolviendo la ecuación Supongamos. Determina el valor de, con 10 dígitos significativos, utilizando el método de Newton. 36. Se tiene un círculo de radio y se lo divide en dos partes con un segmento que tiene ambos extremos sobre la circunferencia. Estos puntos dividen a la circunferencia también en dos partes. Notablemente, la parte más grande en que queda dividida la circunferencia tiene el doble de la longitud del segmento trazado. Hallar la longitud del segmento. 37. Resuelve el siguiente sistema no lineal { 7